Introdução à Probabilidade: Conceitos Básicos e Aplicações, Notas de aula de Estatística

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Probabilidades

Universidade Estadual de Montes Claros/UNIMONTES

• Surgiu em conversas informais entre amigos; foi motivada pela vontade de

ganhar em jogos de azar;

• Posteriormente as ideias foram sendo lapidadas e formalizadas por diversos

cientistas;

• Atualmente é a base da teoria Estatística;
• Seu objetivo principal é quantificar a “chance” de acontecer os diferentes

resultados de determinados eventos aleatórios.

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Introdução

Espaço amostral 𝜴 : é o conjunto de todos os possíveis resultados de um

experimento.

Exemplos 2 : Considere os experimentos do Exemplos 1. O espaço amostral em

cada caso pode ser:

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Introdução

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Introdução

Evento: Um evento 𝐴, relativo a um particular espaço amostral , é um conjunto de

resultados possíveis. 𝐴 é um subconjunto de Ω.

Exemplos 3: Considerando o experimento 2- Lançamento de um dado- (Exemplos

1 ), alguns eventos possíveis são:

a. 𝐴 = “observar-se um número par”;

b. 𝐵 = “observar-se o número 2”;

c. 𝐶 = “observar-se um número ≥ 4 ”;

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Função probabilidade

Definição : Seja ℇ um experimento. Seja Ω um espaço amostral associado a ℇ. A

cada elemento 𝐴 ∈ ℱ associamos um número real 𝑃 𝐴 , chamado probabilidade

de 𝐴, de modo que os axiomas a seguir sejam satisfeitos:

3. Se 𝐴

1

𝑛

são disjuntos (2 a 2), então tem-se𝑃 ڂ

𝑘= 1

𝑛

𝑘

σ

𝑘= 1

𝑛

𝑘

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Probabilidades

Há pelo menos duas formas de se obter a probabilidade de um evento, a forma

clássica e a “frequentista”.

A forma clássica de probabilidade baseia-se no conceito de resultados igualmente

prováveis.

A “frequentista” baseia-se na experiência, comum a todos nós, da estabilidade da

frequência relativa de ocorrência de eventos, quando realizamos muitas

repetições de um experimento.

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Definições de Probabilidades

Probabilidade frequentista : número de vezes que 𝐴 ocorreu em 𝑛 repetições

independentes do experimento.

𝑃 𝐴 = lim

𝑛→∞

𝐴

𝐴

número de ocorrências de 𝐴 em 𝑛 “ensaios” independentes do

experimento.

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Propriedades de Probabilidades

𝟏

𝑐

𝑐

𝟐

𝟑

1

2

1

2

𝟒

𝑖= 1

𝑛

𝑖

σ

𝑖= 1

𝑛

𝑖

𝟓

− Se 𝐴 e 𝐵 forem dois eventos quaisquer, então

𝟔

− Seja 𝐴, 𝐵 e C três eventos quaisquer, então

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

𝐴

𝑐

é o evento

complementar do

evento 𝐴 e 𝐴 ∪ 𝐴

𝑐

= Ω

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Princípio fundamental da multiplicação

Se temos 𝑘 decisões 𝑑

1

2

𝑘

que podem ser tomadas de 𝑛

1

2

𝑘

maneiras, respectivamente, então o número de maneiras de tomar as decisões

1

2

𝑘

simultaneamente é 𝑛

1

2

𝑘

Exemplo 6 : Considere que numa sala há 3 homens (ℎ

1

2

3

) e 5 mulheres

1

2

3

4

5

). Quantos casais podem ser formados com essas pessoas?

Exemplo 7 : Quantos números naturais de três algarismos distintos existem?

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Exercícios

1. Em um prato há 4 pasteis de carne e 3 pastéis de frango. Dois pastéis são

retirados desse prato, sequencialmente e sem reposição. Qual a probabilidade

de:

a) Tirar dois pastéis de carne?

b) Tirar dois pastéis de frango?

c) Tirar dois pastéis de sabores diferentes?

2. Quantos números naturais com quatro algarismos existem?

Em muitas situações reais, o fenômeno aleatório pode

ser separado em etapas. O conhecimento de algo que

ocorreu em determinada etapa pode influenciar as

probabilidades de ocorrência nas etapas sucessivas.

Nesse caso há um “ganho” de informação para o

cálculo das probabilidades de interesse.

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Probabilidade condicional

Sejam 𝐴 ⊂ Ω e 𝐵 ⊂ Ω, sendo 𝑃 𝐵 > 0 , a probabilidade condicional de 𝐴 dado

𝐵, 𝑃 𝐴|𝐵 é dada por

Obs: Se 𝑃 𝐵 = 0 → 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴.

Decorre da definição que 𝑃 𝐴

𝑐

|𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴|𝐵 e 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 ∗ 𝑃 𝐵

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Probabilidade condicional

Cont. Exemplo 8 :

Note que a probabilidade encontrada é diferente da probabilidade do evento 𝐴

apenas, que é

Isso aconteceu porque houve um acréscimo de informação na probabilidade

condicional,𝑃 𝐴|𝐵 , e o evento que já ocorreu “influencia” o evento desejado.

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Probabilidade condicional

Exercício : Dois dados honestos são lançados. Sabe-se que os números observados

são ímpares. Qual a probabilidade de que a soma deles seja 8?

Resposta: Seja 𝐴 o evento de os números serem ímpares e 𝐵 a soma deles é oito.