Produto Cartesiano(TN), Resumos de Teoria dos Números

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B.

PRODUTO CARTESIANO

Definição: Produto cartesiano (Conjunto produto) de dois conjuntos não vazios A e B

Sejam A e B dois conjuntos não vazios (simbolicamente A   e B  .

Produto cartesiano (Conjunto produto) de dois conjuntos não vazios A e B é o conjunto de todos os pares ordenados em que a 1 ª componente é um elemento do conjunto A e a 2 ª componente é um elemento de B. Simbolicamente: Pela definição A  B  ( a , b ) : a  A  b  B Leitura: A  B lê-se produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B ou simplesmenteproduto cartesiano A por B Exemplo 1: Sejam A  a , b , c e B  d , e dois conjuntos. Para encontrar o produto cartesiano, considera-se cada elemento do primeiro conjunto A  a , b , c e forma-se todos os pares ordenados com os elementos do conjunto

B  d , e .

Considerando o elemento a , forma-se os pares com os elementos do conjunto B  d , e 

e obtém-se os pares ( a , d ) e ( a , e ).

Considerando o elemento b , forma-se os pares com os elementos do conjunto B  d , e 

e obtém-se os pares ( b , d ) e ( b , e ).

Considerando o elemento c , forma-se os pares com os elementos do conjunto B  d , e 

e obtém-se os pares ( c , d ) e ( c , e ).

O produto cartesiano A  B é o conjunto ( a , d ), ( a , e ), ( b , d ), ( b , e ), ( c , d ), ( c , e ) isto é

A  B  ( a , d ), ( a , e ), ( b , d ), ( b , e ), ( c , d ), ( c , e ) formado por todos pares ordenados em

que a 1 ª componente é um elemento do conjunto A e a 2 ª componente é um elemento de

A  B  a , b , c  d , e  ( a , d ), ( a , e ), ( b , d ), ( b , e ), ( c , d ), ( c , e )

Definição: Produto cartesiano (Conjunto produto) de três conjuntos não vazios A ,B e C Sejam A, B e C três conjuntos não vazios. Produto cartesiano (Conjunto produto) de três conjuntos não vazios A ,B e C é o conjunto de todos os ternos ou triplas ordenadas em que a 1 ª componente é um elemento do conjunto A, a 2 ª componente é um elemento de B e a 3 ª componente é um elemento do conjunto de C. Simbolicamente: Leitura: Lê-se produto cartesiano A por B por C Pela definição A  B  C  ( a , b , c ) : a  A  b  B  c  C

1 2 3 n n ^ ^1 1 2 3 n n 

1 Definição: Produto cartesiano (Conjunto produto) de n conjuntos não vazios Sejam A 1 , A 2 ,A 3 ,...,An-1,An , n conjuntos não vazios com ( n  2 ). Produto cartesiano (Conjunto produto) de n conjuntos não vazios A 1 , A 2 ,A 3 ,...,An- 1 e An é o conjunto de todas n-uplas ordenadas em que a 1 ª componente é um elemento do conjunto A 1 , a 2 ª componente é um elemento do conjunto A 2 , …, a n a

• 1 componente é um elemento do conjunto An-1 e a nª componente é um elemento do conjunto de An. Leitura: n a -1 lê-se enesima menos um nª lê-se enesima Simbolicamente: Pela definição A  A  A ... A (^)  1  A  a 1 , a 2 , a 3 ,..., an  1 , an : a  A  a 2  A  a 2  A ... an  1  A (^)  1  an  A Leitura: A  A 2  A 3 ... An  1  An é o produto cartesiano do conjunto A 1 , pelo conjunto A 2 , pelo conjunto A 3 reticências pelo conjunto An- 1 e pelo conjunto An ou simplesmente produto cartesiano A 1 por A 2 por ,A 3 reticências An-1 por An Definição: Cardinal de um conjunto Cardinal de um conjunto é o número de elementos que o conjunto tem. Se o número de elementos for finito o cardinal é um número finito. Seja A um conjunto finito com m elementos. O cardinal do conjunto A é m. Simbolicamente:

A  m

Leitura: Cardinal do conjunto A é igual a m Definição: Cardinal do produto cartesiano A  B Sejam A e B dois conjuntos não vazios. O cardinal do produto cartesiano A  B é o número de elementos que o conjunto A  B tem. Se os conjuntos forem finitos, o cardinal do produto cartesiano A  B é um número finito e pode ser calculado multiplicando o cardinal de A pelo cardinal de B. Se os conjuntos A e B forem infinitos, o conjunto A  B também é infinito. Sejam m e n os cardinais dos conjuntos finitos A e B respectivamente, isto é # A  m e

B  n

O cardinal de A  B é m  n Simbolicamente: #( A  B ) # A # B  m  n Leitura: #( A  B ) # A  # B lê-se cardinal de A por B é igual a cardinal de A vezes cardinal de B é igual a m vezez n.

1 Exemplo 3: Sejam A  a , b , c e B  d , e dois conjuntos. O produto cartesiano

A  B  ( a , d ), ( a , e ), ( b , d ), ( b , e ), ( c , d ), ( c , e )

O cardinal de A  B é 6 porque A  B tem seis elementos. O cardinal de A  B pode ser calculado multiplicando o cardinal de A pelo cardinal de B. Sendo Cardinal de A igual à 3 ( # A  3 ) e cardinal de B igual à 2 ( # B  2 ) então #( A  B ) # A  # B  3  2  6 Exemplo 4:

Sejam A  a , b , c e B  d , e  C   f , g três conjuntos. O produto

cartesiano A  B  C  ( a , d , f ), ( a , d , g ), ( a , e , f )( a , e , g ), ( b , d , f ), ( b , d , g ), ( b , e , f ), ( b , e , g ), ( c , d , f ), ( c , d , g ), ( c , e , f ), ( c , e , g ) O cardinal de A  B  C é 12 porque A  B  C tem doze elementos. O cardinal de A  B  C pode ser calculado multiplicando os cardinais de A, B e C. Sendo Cardinal de A igual à 3 ( # A  3 ), cardinal de B igual à 2 ( # B  2 ) e cardinal de C igual à 2 ( # C  2 ) então #( A  B  C ) # A  # B  # C  3  2  2  12 POTÊNCIA CARTESIANA Potência cartesiana é um caso particular do producto cartesiano. È um produto cartesiano do mesmo conjunto, isto é, é o caso em que A  A 2  A 3  ...  An  1  An  A. Definição: Potência cartesiana Por definição A^1  A Potência cartesiana An^ com ( n  2 ) é o produto cartesiano de um conjunto por si próprio n vezes.

A^2  A  A   a 1 , a 2  : a 1 , a 2  A 

Leitura: A^2 lê-se A dois e não A ao quadrado

A^3  A  A  A   a 1 , a 2 , a 3 : a 1 , a 2 , a 3  A 

Leitura: A^3 lê-se A três Em geral

An^  A  A  A ... A  A   a 1 , a 2 , a 3 ,..., an  1 , an : a 1 , a 2 , a 3 ,..., an  1 , an  A 

Leitura: An^ lê-se A ene

  

Observando o conjunto A  B , os pares ordenados em que o primeiro elemento é múltiplo do segundo elemento são 2 , 1 , 2 ,2 , 4 , 1 , 4 ,2 , 6 , 1 , 6 ,2 , 6 , 3 , 8 , 1 , 8 ,2. Logo a correspondência G representada por extensão é G  2 , 1 , 2 ,2 , 4 , 1 , 4 ,2 , 6 , 1 , 6 ,2 , 6 , 3 , 8 , 1 , 8 , A mesma correspondência G pode ser expressa do seguinte modo G  ( a , b )  A  B : b é divisor de a Exemplo 8: Para A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , seja H  ( a , b )  A  B : a  b Isto é o primeiro elemento é menor ou igual ao segundo elemento. Por extensão H  2 ,2 , 2 , 3 Exemplo 9: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( x , y )  A  B : y  x  2 O princípio ou a condição desta correspondência é que y  x  2 ou seja o y  B é calculado atraves da diferença x  2.

• Calcula-se o valor de y
• Forma-se o par ( x , y )
• Verifica se o par ( x , y )  A  B
• Se o par ( x , y )  A  B então esse par pertence a correspondência F
• Se o par ( x , y )  A  B então esse par não pertence a correspondência F. Cálculos: x  2 y  x  2  2  2  0 par ( 2 , 0 )  A  B x  4 y  4  2  2 x  6 y  6  2  4 par ( 4 , 2 )  A  B par ( 6 , 4 )  A  B x  8 y  8  2  6 par ( 8 , 6 )  A  B

F  ( 4 , 2 ),( 6 , 4 ),( 8 , 6 )

Exemplo 10: Sejam A  2 , 4 ,6, 8  e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8  e F  ( x , y )  A  B x : y  N  O princípio ou a condição desta correspondência é que x : y  N ou seja que o resultado da divisão de x por y seja um número natural.

• Calcula-se o quociente da divisão de x por y
• Verifica-se se o quociente é ou não um número natural
• Se o quociente for um número natural o par ( x , y )  A  B pertence a correspondência F
• Se o quociente não for um número natural o par ( x , y )  A  B não pertence a correspondência F F  ( 2 , 1 ),( 2 , 2 ),( 4 ,1),( 4 , 2 ),( 4 , 4 ),( 6 ,1),( 6 , 2 ),( 6 , 3 ),( 6 , 6 ),( 8 ,1),( 8 , 2 ),( 8 , 4 ),( 8 , 8 )

 

Exemplo 11: Considere a seguinte correspondência em A  1 , 2 , 3 , 4 , 5 :

F é uma a correspondência em A  1 , 2 , 3 , 4 , 5  tal que

( x , y )  F  " x  y é múltiplo de 3 " ou seja

F  ( x , y )  A  B : x  y é múltiplo de 3 

Simbolicamente F  ( x , y )  A  B : 3 x  y Aqui trata-se de uma correspondência num mesmo conjunto A. Portanto a correspondência F  A  A ou F  A^2 Os pares que pertencem a correspondência são aqueles cuja diferença x  y é múltiplo de 3 ou que 3 é divisor da diferença x  y. Calcula-se a diferença e se verifica se a diferença x  y for múltiplo de 3 o par ( x , y )  A  B pertence a correspondência, caso não o par não pertence a correspondência. F  ( 1 , 1 ),( 1 , 4 ),( 2 , 2 ),( 2 , 5 ),( 3 , 3 ),( 4 , 4 ),( 4 , 1 ),( 5 , 5 ),( 5 , 2 ) Definição: Objecto e imagem de um numa correspondência Seja F uma correspondência de A em B e ( a , b )  F , então a chama-se objecto de b na correspondência F e b chama-se imagem de a na correspondência F. (Diz-se que F faz corresponder ao elemento a , o elemento b ) Se a correspondência é de A em B ou seja o conjunto de partida é A e o conjunto de chegada é B, os objectos pertencem ao conjunto de partida A e as imagens ao conjunto de chegada B. Representação: ( a , b )  F ou aFb ou F ( a )  b As representações mais frequentes são ( a , b )  F e F ( a )  b , mas qualquer uma das representações pode ser usada. Leitura: ( a , b )  F ou aFb ou F ( a )  b lê-se:

• O par ( a , b ) pertence a F; ou
• F faz corresponder ao elemento a , o elemento b ; ou
• a é objecto de b na correspondência F; ou
• b é imagem de a na correspondência F F ( a ) significa imagem de a na correspondência F. É frequente usar-se as letras x e y em vez de a e b. Neste caso teremos a representação: ( x , y )  F ou xFy ou F ( x )  y Iremos passar a usar essas letras ao longo do texto

Por analogia se obtem I (^) F ( 4 )  y  B : F ( 4 )  y  5 quer dizer o 4 tem como imagem o 5 na correspondência F, logo o conjunto das imagens do 4 é formado pelo elemento 5

I F ( 6 )   y  B : F ( 6 )  y  7  quer dizer o 6 tem como imagem o 7 na correspondência

F, logo o conjunto das imagens do 6 é formado pelo elemento 7

I F ( 8 )   y  B : F ( 8 )  y   Porque o 8 não tem imagem na correspondência F,

poratnto o conjunto das imagens de 8 é vazio Conjunto das imagens de um subconjunto A '^ de A Aqui trata-se do conjunto das imagens de um subconjunto A '^ de A na correspondência e não de todos elementos de A na correspondência Definição: Conjunto das imagens de um subconjunto A '^ de A Seja F : A  B uma correspondência. Se A '^ é um subconjunto de A , então F A '^ denota o conjunto das imagens dos elementos de A '^. Também se pode usar o símbolo I (^) F ( A '^ ) pois o I clarifica melhor que se trata de imagem. Simbolicamente:

F ( A '^ )  y  B : xFy , x  A '^ ou F ( A '^ )  y  B :  x , y  F , x  A '^ ou

F ( A '^ )  y  B : F ( x )  y , x  A '^ ou simplesmente F A '^  F ( x ) : x  A ' Leitura:

F ( A '^ )  y  B :  x , y  F , x  A '^ lê-se: F de A linha é o conjunto de todos os y que

pertencem a B tal que  x , y pertence a F com x que pertence a A linha.

F ( A '^ )  y  B : F ( x )  y , x  A '^ lê-se: F de A linha é o conjunto de todos os y que pertencem a B tal que F(x) igual a y com x que pertence a A linha. Exemplo 14: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( 2 , 3 ),( 2 , 5 ),( 2 , 4 ),( 4 , 5 ),( 6 , 7 )

Seja A '^  2 , 6 

F A '^ é o conjunto de todas imagens dos elementos 2 e 6 na correspondência F.

F  2   3 F  2  5 F  2  4 F  6  7. Então

F A '^  F ( x ) : x  A '^  3 , 4 , 5 , 7 ou

F A '^  F  2 , 6   F ( x ) : x  2 , 6 )  F (2), F ( 6 ) 3 , 4 , 5 , 7 

Conjunto dos objectos de um elemento y  B Dissemos que F ( x )  y significa que

• x é objecto de y na correspondência F; ou
• y é imagem de x na correspondência F

Numa correspondência um elemento y  B pode ter mais do que um objecto. Definição: Conjunto dos objectos de um elemento y  B O conjunto dos objectos ( x  A ) de um elemento ( y  B ) na correspondência F é o conjunto de todos os objectos que y  B possui na correspondência F. Representação: O conjunto dos objectos de y representa-se por OF ( y ) Simbolicamente:

OF ( y )  x  A : xFy ou OF ( y )  x  A : ( x , y )  F ou OF ( y )   x  A : F ( x )  y 

Exemplo 15: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( 2 , 3 ),( 2 , 5 ),( 2 , 4 ),( 4 , 5 ),( 6 , 4 ),( 6 ,7)

OF ( 1 )   x  A : F ( x )  1   quer dizer que 1 não é imagem de algum elemento de A na

correspondência F, portanto 1 não tem objecto, o conjunto dos objectos de 1 é vazio

OF ( 2 )   x  A : F ( x )  2   quer dizer que 2 não é imagem de algum elemento de A

na correspondência F, portanto 2 não tem objecto, o conjunto dos objectos de 2 é vazio

OF ( 3 )   x  A : F ( x )  3  { 2 } quer dizer que 3 é imagem de 2 na correspondência F, o

conjunto dos objectos de 3 é formado pelo elemento 2

OF ( 4 )   x  A : F ( x )  4  {2, 6 } quer dizer que 4 é imagem de dois elementos, 2 e 6 , o

conjunto dos objectos de 4 é formado por dois elementos 2 e 6.

OF ( 5 )   x  A : F ( x )  5  { 2 , 4 } quer dizer que 5 é imagem de 2 e 4 na

correspondência F, o conjunto dos objectos de 5 é formado pelos elemento 2 e 4.

OF ( 6 )   x  A : F ( x )  6   quer dizer que 6 não é imagem de algum elemento de A

na correspondência F, portanto 6 não tem objecto, o conjunto dos objectos de 6 é vazio

OF ( 7 )   x  A : F ( x )  7  { 6 } quer dizer que 7 é imagem de 6 na correspondência F, o

conjunto dos objectos de 7 é formado pelo elemento 6 Conjunto dos objectos de um subconjunto B '^ de B Aqui trata-se do conjunto dos objectos de um subconjunto B '^ de B na correspondência e não de todos elementos de B na correspondência. Definição: Conjunto dos objectos de um subconjunto B '^ de B Seja F : A  B uma correspondência. Se B '^ é um subconjunto de B , então F ^1 B '^ denota o conjunto dos objectos de A cujas imagens estão em B '^.

F^ ^ F 

F^  F

F F

D ( F )   x  A , y  B : F ( x )  y  lê-se domínio de F é o conjunto de x  A para os quais

existe pelo menos um y que pertence a B tal que F de x é igual a y. Exemplo 17: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( 2 , 3 ),( 2 , 5 ),( 2 , 4 ),( 4 , 5 ),( 6 , 7 )

I ( 2 )   y  B : F ( 2 )  y  3 , 4 , 5   I ( 4 )   y  B : F ( 4 )  y  5  

I F ( 6 )   y  B : F ( 6 )  y  7   I F ( 8 )   y  B : F ( 8 )  y  

Os elementos do conjunto A que têm imagem na correspondência F são 2 ,4,6, então

D ( F )  x  A : IF ( x )    x  A , y  B : F ( x )  y  2 , 4 , 6

Definição: Contra - domínio da correspondência F - CD ( F ) ou D '^ ( F )

O conjunto de y  B para os quais OF ( y )   chama-se contra - domínio da

correspondência F Quer dizer o contra-domínio de uma correspondência são elementos do conjunto de chegada que são imagems de algum elemento na correspondência F ou seja são elementos do conjunto de chegada que têm objecto na correspondência F O contra-domínio é um subconjunto de B, isto é CD  B ou D '^  B. Simbolicamente:

CD ( F )  y  B : OF ( y )    y  B , x  A : F ( x )  y

Exemplo 18: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( 2 , 3 ),( 2 , 5 ),( 2 , 4 ),( 4 , 5 ),( 6 , 7 )

O ( 1 )   x  A : F ( x )  1   O ( 2 )   x  A : F ( x )  2  

O ( 3 )   x  A : F ( x )  3  { 2 }   O ( 4 )   x  A : F ( x )  4  { 2 }  

OF ( 5 )   x  A : F ( x )  5  { 4 }   OF ( 6 )   x  A : F ( x )  6  

OF ( 7 )  x  A : F ( x )  7  { 6 }  

Os elementos do conjunto B que têm objecto na correspondência F são 3, 4 ,5,7 então

CD ( F )  y  B : OF ( y )    y  B ,  x  A : F ( x )  y  3 , 4 , 5 , 7

Definição: Correspondência de A sobre B Uma correspondência F de A em B em que CD ( F )  B , é chamada correspondência de A sobre B. Em linguagem mais comum uma correspondência de A sobre B é uma correspondência em que o contradomínio coincide com o conjunto de chegada. Definição: Igualdade de correspondências As correspondências F e G de A em B são iguais se e somente se tiverem os mesmos pares ordenados como elementos

Simbolicamente: F  G   x  A , y  B ( x , y )  F  ( x , y )  G Leitura: F  G   x  A , y  B ( x , y )  F  ( x , y )  G lê-se a correspondência F é igual a correspondência G, se e somente se, para qualquer x que pertence a A e y que pertence a B, o par x y pertence a F,se e somente se, pertence a G. Definição: Correspondência inversa - F

- Seja F uma correspondência de A em B. A correspondência inversa F-^1 de F é o conjunto de todos os pares ordenados ( y , x )  B  A para os quais ( x , y )  F Simbolicamente:

F ^1  ( y , x )  B  A : ( x , y )  F  ou simplesmente F ^1  ( y , x ) : ( x , y )  F 

F ^1 significa correspondência inversa de F. Leitura: F ^1 lê-se F a menos um Exemplo 19: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( 2 , 3 ),( 4 , 5 ),( 6 , 7 )

F ^1  ( 3 , 2 ),( 5 , 4 ),( 7 , 6 )

Exemplo 20: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( 2 , 3 ),( 2 , 5 ),( 2 , 4 ),( 4 , 5 ),( 6 , 7 )

F ^1  ( 3 , 2 ),( 5 , 2 ),( 4 , 2 ),( 5 , 4 ),( 7 , 6 )

Exemplo 21: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( x , y )  A  B : y  x  2

F ^1  ( y , x )  B  A : ( x , y )  F 

No lugar de ( x , y )  F pode-se escrever o principio que define x e y em F , ou seja

F ^1  ( y , x )  B  A : y  x  2 

Também se pode trocar as letras de modo a representar os pares de F ^1 por ( x , y ) , então no lugar de x se coloca y e no lugar de y se coloca x.

F ^1  ( x , y )  B  A : x  y  2 ou ainda fazendo transformações algebricas

F ^1  ( x , y )  B  A : y  x  2 

Repare que agora o x  B e o y  A O princípio ou a condição desta correspondência é que y  x  2 ou seja o y  A é calculado através da soma x  2 onde o x  B.

• Calcula-se o valor de y
• Forma-se o par ( x , y )

b) Diagrama de Venn Quando os conjuntos são finitos com poucos elementos pode-se respresentar uma correspondência por meio de um diagrama de Venn. Representa-se os conjuntos A e B por meio de um diagrama de Venn e o par ( x , y )  F é indicado por uma flecha com origem em x e extremidade em y Exemplo 23: Sejam A  2 , 4 ,6, 8 e B  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e F  ( 2 , 3 ),( 4 , 5 ),( 6 , 7 )

1 ^ ^ ^ ^ ^ ^2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

3 ^ ^ ^ ^ ^ 

4 5 7 8

EXERCÍCIOS

1. Considere os conjuntos A  0 , 2 , 4 , 6 , 8 e B  1 , 3 , 5 , 9 a) Apresente A  B b) Justifique se são ou não correspondências de A em B os seguintes conjuntos: F  0 ,2 , 4 , 3 , 8 , 9 F  0 , 1 , 2 ,2 , 6 , 5 , 8 , 9 F  0 , 3 , 4 , 3 , 8 , 7

F   0 , 3 ,  4 , 3 , 8 , 3  F  A  B F 6  A F  B  A F  A^2

c) Para cada uma das correspondências encontre I (^) F ( x ) e OF ( y ) d) Para cada uma das correspondências encontre o domínio e o contra-domínio e) Para cada uma das correspondências encontre a correspondência F ^1 f) Para cada uma das correspondências F ^1 encontre I (^) F  1 ( x ) e OF  1 ( y )

2. Considere os conjuntos A  0 , 2 , 4 , 6 , 8  e B  1 , 3 , 5 , 7 , 9 

Seja F ={(x, y) A  B : y = x + 1 } a) Justifique que F é uma correspondência de A em B b) Apresente alguns elementos da correspondência de três formas c) Apresente a correspondência por extensão d) Apresente o domínio e contra-domínio da correspondência e) Apresente a correspondência inversa f) Encontre: F( 2 ) F( 6 ) F( 0 ) F 0 , 6 OF ( 9 ) OF ( 1 ) OF ( 3 , 9 ) F-^1 ( 8 ) F-^1 (A)

3. Considere os conjuntos A  0 , 2 , 4 , 6 , 8  e B  1 , 3 , 5 , 9 

Seja F = {(x, y) A  B : x  y } a) Justifique que F é uma correspondência de A em B b) Apresente alguns elementos da correspondência de três formas c) Apresente o domínio e contra-domínio da correspondência d) Apresente a correspondência inversa e) Encontre: F( 0 ) F( 4 ) OF ( 5 ) OF ( 1 ) OF ( 0 ) OF 5 , 9

4. Considere os conjuntos A  0 , 2 , 4 , 6 , 8  e B  1 , 3 , 5 , 7 , 9 

Seja F ={(x, y) A  B : y = 2 x }. Não considerando o conjunto vazio: a) Justifique se F é ou não uma correspondência de A em B b) Justifique se F é ou não uma correspondência de B em A c) Em caso afirmativo, apresente as correspondências por extensão

5. Seja A um conjunto constituído por 5 elementos e F   0 , 1 , 1 ,2 ,  2 , 3 ,  3 ,4

uma correspondência em A. a) Quais são os elementos de A? b) Qual o domínio e contra-domínio de F? c) Quais os elementos de D e D’ de F

• ? d) Construa os gráficos de F e de F-^1.