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Produto Vetorial e Produto Misto
Tipologia: Notas de estudo
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A introdução do produto vetorial é motivada pelo fato de que, para a solução de vários problemas em Geometria, é necessário encontrar um vetor ortogonal a dois outros vetores não colineares u e v dados. Para isso, geometricamente, basta tomar o plano determinado pelas duas retas que contêm os vetores u e v, em seguida, considerar uma terceira reta perpendicular a esse plano.
Do ponto de vista algébrico, chama-se produto vetorial dos vetores u e v o vetor denotado por u x v, dado pelo determinante:
u x v =
i j k
1 1 1 2 2 2
= ( y 1 z 2 - z 1 y 2 ) i - ( x 1 z 2 - z 1 x 2 ) j + ( x 1 y 2 - y 1 x 2 ) k
Onde, u = x 1 i + y 1 j + z 1 k e v = x 2 i + y 2 j + z 2 k
Observação:
Para vetores v e w no espaço, sabemos que seu produto vetorial v × w ainda é um vetor no espaço. Desse modo, dado um terceiro vetor u, também no espaço, pode-se fazer o produto escalar de u por v × w, obtendo-se um número real. Esse produto é dito o produto misto dos vetores u, v, e w, que é representado por u · (v × w). Sejam u =(x1,y1,z1),v =(x2,y2,z2) e w =(x3,y3,z3), o produto misto u · (v × w) é calculado por:
I. ( u, v, w) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois são colineares, ou se três são coplanares. Se um dos vetores é nulo ou se dois são colineares, então uma linha do determinante é nula, ou uma linha é múltipla da outra. Em ambos os casos, o determinante é igual a zero. Se os três vetores são coplanares, então v x w é ortogonal a v e a w, logo v xw é ortogonal a todos os vetores do plano determinado por v e w , e , em particular, a u. Daí temos : II. ( u, v, w ) = u. ( v x w ) = 0. III. O produto misto independe da ordem circular dos vetores: ( u,v,w) = (v,w,u) = (w,u,v) Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos, isto é:
( u,v,w) = - (v, u ,w)
IV. u. (v x w) = ( u x v). w V. k (u, v, w ) = ( k u, v, w ) = ( u, v, k w ) , para todo escalar k.
O valor absoluto do produto misto representa o volume do paralelepípedo determinado por u, v, e w, descrito na figura a seguir:
Seja V o volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores u, v e w.
