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produto interno e vetorial lista.pdf, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Universidade Estadual de Minas Gerais (UEMG)Geometria Analítica e Álgebra Linear

produto interno e vetorial lista.pdf

Tipologia: Exercícios

2019

Compartilhado em 16/11/2019

izaoliveira
izaoliveira 🇧🇷

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Universidade Federal de Vi¸cosa
Centro de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
3aLista - MAT 135 - Geometria Anal´ıtica e ´
Algebra Linear 2014/II
1. Sejam u= (2,−4,6), v = (−3,12,−4) e w= (6,3,−1).Determine o vetor xtal que:
(a)x=u+v, (b)x= 3u+ 2w, (c)x= 2u−v, (d)x= 2(u+v)+3w,
(e)x= 2(3u+ 2w)−3(5v),(f)u+ 2v=x−w(g) 3(u+ 2x)=4x+ 2w.
2. Determine o vetor w, tal que w= 3u+ 2v, se u= 3i−2j+ 5kev=−5i+ 6j−3k.
3. O vetor −→
AB ´e tal que A= (2x+ 1,3y−2) e B= (x, y).Se o vetor equivalente, localizado na
origem ´e v= (−4,12),determine os valores de xey.
4. Dados os vetores no plano u= 2i−5jev=i+j, pede-se
(a) o vetor soma u+v;
(b)ku+vk;
(c) o vetor diferen¸ca u−v;
(d) o vetor 3u−2v;
(e) o produto interno < u, v >;
(f) o ˆangulo formado pelos vetores uev.
5. Determine o valor de mse a norma do vetor v= (2m+ 2, m −1,2m−7) ´e kvk= 13.
6. Dados u= (1,4,5), v = (3,3,−2) e w= (−5,7,1),pede-se:
(a)< u, v >, (b)< w, u >, (c)<3u, 2w > (d)<3u−4v, 5w >, (e)< u,v > w.
7. Escreva o vetor unit´ario na dire¸c˜ao de:
(a) (3,4),(b) (−8,6),(c) (1,2,3),(d) (−3,12,−4).
8. Determine o ponto Ctal que −→
AC = 2−→
AB sendo A= (0,−2) e B= (1,0).
9. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor
v= (3,0,−3),sabendo-se que sua origem est´a no ponto P= (2,3,−5).
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Universidade Federal de Vi¸cosa

Centro de Ciˆencias Exatas

Departamento de Matem´atica

3 a^ Lista - MAT 135 - Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear 2014/II

  1. Sejam u = (2, − 4 , 6), v = (− 3 , 12 , −4) e w = (6, 3 , −1). Determine o vetor x tal que:

(a) x = u + v, (b) x = 3u + 2w, (c) x = 2u − v, (d) x = 2(u + v) + 3w, (e) x = 2(3u + 2w) − 3(5v), (f ) u + 2v = x − w (g) 3(u + 2x) = 4x + 2w.

  1. Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i − 2 j + 5k e v = − 5 i + 6j − 3 k.
  2. O vetor − AB→ ´e tal que A = (2x + 1, 3 y − 2) e B = (x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem ´e v = (− 4 , 12), determine os valores de x e y.
  3. Dados os vetores no plano u = 2i − 5 j e v = i + j, pede-se

(a) o vetor soma u + v; (b) ‖u + v‖; (c) o vetor diferen¸ca u − v; (d) o vetor 3u − 2 v; (e) o produto interno < u, v >; (f ) o ˆangulo formado pelos vetores u e v.

  1. Determine o valor de m se a norma do vetor v = (2m + 2, m − 1 , 2 m − 7) ´e ‖v‖ = 13.
  2. Dados u = (1, 4 , 5), v = (3, 3 , −2) e w = (− 5 , 7 , 1), pede-se:

(a) < u, v >, (b) < w, u >, (c) < 3 u, 2 w > (d) < 3 u − 4 v, 5 w >, (e) < u, v > w.

  1. Escreva o vetor unit´ario na dire¸c˜ao de:

(a) (3, 4), (b) (− 8 , 6), (c) (1, 2 , 3), (d) (− 3 , 12 , −4).

  1. Determine o ponto C tal que − AC→ = 2− AB→ sendo A = (0, −2) e B = (1, 0).
  2. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor v = (3, 0 , −3), sabendo-se que sua origem est´a no ponto P = (2, 3 , −5).
  1. Quais s˜ao as coordenadas do ponto P ′ , sim´etrico do ponto P = (1, 0 , 3) em rela¸c˜ao ao ponto M = (1, 2 , −1)?
  2. Se u 6 = −→ 0 , ´e correto cancelar u de ambos os lados da equa¸c˜ao u · v = u · w e concluir que v = w? Justifique.
  3. Que condi¸c˜oes devem satisfazer os vetores u e v para que o vetor u + v divida o ˆangulo θ > 0 formado por eles em dois ˆangulos iguais?
  4. Que condi¸c˜oes devem satisfazer os vetores u e v para que sejam v´alidas as seguintes rela¸c˜oes:

(a) ‖u + v‖ = ‖u − v‖; (b) ‖u + v‖ > ‖u − v‖; (c) ‖u + v‖ < ‖u − v‖.

  1. Dados os vetores u = (2, − 3 , 6) e v = (− 1 , 2 , −2), calcule as coordenadas do vetor w bissetriz do ˆangulo formado pelos vetores u e v, sabendo-se que ‖w‖ = 3
  1. Determinar os ˆangulos internos de um triˆangulo ABC, sendo A = (3, − 3 , 3), B = (2, − 1 , 2) e C(1, 0 , 2).
  2. Sabendo que ‖u‖ =

2 , ‖v‖ =

3 e que u e v formam ˆangulo de^34 π, determinar:

(a) |(2u − v) · (u − 2 v)|; (b) ‖u − 2 v‖.

  1. Para cada um dos pares de vetores u e v, encontrar a proje¸c˜ao ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v 1 com v 2 , sendo v 1 ‖ u e v 2 ⊥ u.

(a) u = (1, 2 , −2) e v = (3, − 2 , 1). (b) u = (1, 1 , 1) e v = (3, 1 , −1). (c) u = (2, 0 , 0) e v = (3, 5 , 4). (d) u = (3, 1 , −3) e v = (2, − 3 , 1).

  1. Prove que se u ´e ortogonal a v − w e v ´e ortogonal a w − u, ent˜ao w ´e ortogonal a u − v.
  2. Mostre que se u e v s˜ao dois vetores tais que u + v ´e ortogonal a u − v , ent˜ao ‖u‖ = ‖v‖.
  3. Demonstrar que o vetor w = v − < u, v >< u, u > u ´e perpendicular ao vetor u.
  1. Demonstre que, se v e w s˜ao vetores quaisquer, ent˜ao:

(a) | < v, w > | ≤ ‖v‖ ‖w‖; (b) ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖; (c)

∣∣‖v‖ − ‖w‖

∣∣ ≤ ‖v − w‖.

  1. O produto vetorial ´e associativo? Justifique a sua resposta.
  2. Se v × w = v × u e v 6 = 0, ent˜ao w = u? Justifique.
  3. Demonstre que se v e w s˜ao vetores quaisquer no espa¸co, ent˜ao

‖v × w‖ ≤ ‖v‖ ‖w‖.

  1. Prove a identidade de Lagrange

‖v × w‖^2 = ‖v‖^2 ‖w‖^2 − < v, w >^2.

  1. Mostre que as diagonais de um paralelogramo se interseptam ao meio.
  2. Considere o paralelogramo ABCD e sejam M e N os pontos m´edios dos lados AB e AD, respectivamente. Mostre que − CN−→ + − CM−→ = 3 2

− CA.→

  1. Seja ABCD um quadril´atero qualquer e P, Q, R e S os pontos m´edios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que P QRS ´e um paralelogramo.
  2. No triˆangulo equil´atero ABC, sejam M e N os pontos m´edios dos lados AB e BC, respecti- vamente. Mostre que M BN tamb´em ´e um triˆangulo equil´atero.
  3. Em um triˆangulo ABC sejam M, N e P os pontos m´edios dos lados AB, AC e BC, respec- tivamente. Mostre que − AP→ + − CM−→ + − BN−→ = 0.