Programação Dinamica, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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CAMILLA CANTUARIA BRAGA

RAPHAEL CANTUARIA BRAGA

PROGRAMAÇÃO DINÂMICA

MACAPÁ

CAMILLA CANTUARIA BRAGA

RAPHAEL CANTUARIA BRAGA

PROGRAMAÇÃO DINÂMICA

Trabalho apresentado à disciplina Pesquisa Operacional II do curso de Engenharia de Produção da Universidade do Estado do Amapá, sob orientação do Professor Valdemar Vilena.

MACAPÁ

1. PROGRAMAÇÃO DINÂMICA – PD

Programação dinâmica é uma técnica matemática muito útil para tomar uma seqüência de decisões inter-relacionadas.

Em contraste com a Programação Linear, não existe uma formulação matemática para o problema de Programação Dinâmica – PD. Ao contrário, a PD é uma abordagem genérica para resolução de problemas e as equações utilizadas devem ser desenvolvidas de acordo com cada situação particular.

Portanto, é importante conhecer os elementos básicos que caracterizam problemas de PD.

2. PRINCIPAIS ELEMENTOS DOS PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO

DINÂMICA

O objetivo da otimização é determinar a política ótima que otimize a função objetivo global do sistema nas suas n etapas.

Em cada Estágio de Decisão é possível definir o Estado da solução. O Estado é o ponto de situação em que se pode estar como consequência da decisão tomada no estágio anterior. Em cada Estágio decide-se, para cada Estado, qual o Estado do Estágio seguinte que oferece melhor retorno para a solução do problema.

“Para um dado estado do sistema, a política ótima para os restantes estados é independente da política de decisão adotada em estados anteriores”. (BELLMAN, Richard. Princípio da Otimidade , 1959)

3. CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS DE PD:

Determinísticos: o estado do estágio seguinte está completamente determinado pelos estados e decisões do estágio atual. Discreto Contínuo

Probabilísticos: existe uma distribuição de probabilidade para determinar qual será o estado no próximo estágio. Discreto Contínuo

3.1 Metodologia

Estruturar a solução ótima para o último estágio;

Procurar uma solução descendente (recursiva), para calcular o valor ótimo do resultado;

Calcular o valor ótimo de maneira ascendente;

Para melhor compreender o conceito e desenvolvimento deste problema, usaremos o exemplo a seguir.

Suponhamos que um acadêmico pretende minimizar o custo do transporte entre a sua residência e a faculdade utilizando vários meios de transporte disponíveis na rede seguinte:

O custo associado às relações existentes traduz-se nas seguintes matrizes de transição:

Sendo a casa do acadêmico o ponto inicial do percurso e a faculdade o ponto final temos quatro estágios ( n = 4 ) como mostra a figura a seguir:

A solução será da forma: A  X 1  X 2  X 3  X 4 = J

Sendo o custo de transporte associado à decisão, quando o acadêmico se encontra no Estado esta relação recursiva é da forma:

fn(s) = min {CSXn + fn+1 (xn} xn

fn(4), fn(3), fn(2), fn(1)

O quadro seguinte ilustra as decisões associadas ao Estágio 4 :

O quadro seguinte ilustra as decisões associadas ao Estágio 3 :

Problema com múltiplas soluções. Existem três caminhos distintos com o mesmo valor ótimo (com custo = 8 $. )

5. O PROBLEMA DA DILIGÊNCIA

Esse problema foi especialmente elaborado (Prof. Harvey M. Vagner) para introduzir os conceitos e ilustrar os elementos da PD.

Um caçador de tesouros do Missouri (região central dos EUA) decidiu participar da corrida do ouro na Califórnia (na metade do século 19). A viagem até a Califórnia seria realizada por diligência através de território inseguro, correndo-se riscos de ataque de assaltantes. Apesar de seu ponto de saída e destino serem fixos, o caçador de tesouros tinha uma liberdade considerável para escolher por quais estados ele deveria passar até chegar ao seu destino. O caçador era um homem prudente e estava preocupado com sua segurança ao longo da viagem. Depois de pensar um pouco, ele teve uma brilhante idéia para determinar a rota mais segura. Empresas de seguros ofereciam apólices de seguro de vida para passageiros de diligências. O custo das apólices para cada trecho percorrido era calculado de acordo com as condições de segurança daquele trecho. Quanto mais arriscada uma rota, mais caro o seguro. Assim, a rota mais segura deveria ser aquela que tivesse a mais barata apólice de segura de vida associada.

Os custos das apólices de seguros associados a cada possível trecho da viagem (do estado i para o estado j ), denotados por cij são:

O ponto de partida e o ponto de chegada são fixos, mas o viajante tem a liberdade de escolher os estados que quer passar. É preciso passar por 4 etapas para concluir a viagem.

As rotas possíveis são mostradas na Figura abaixo.

O objetivo é decidir qual a rota que minimiza o custo total.

Inicia-se a solução a partir do problema menor onde o caçador quase completou uma viagem e tem apenas mais um estágio a percorrer ( n=4 ). A solução óbvia para este problema é ir do seu estado atual (seja qual for – H ou I ) para seu destino final (estado J). A cada iteração subseqüente, o problema é ampliado aumentando-se em 1 o número de estágios restantes para completar a viagem. Para

Assim, a rota final da diligência é s  J. Tem-se que:

f 4 *(s) = f 4 (s,x 4 ) = f 4 (s,J) = cs,J + f4+1(J) = cs,J

Logo, a solução imediata para n=4 é:

Para n=3 tem-se:

Para n=2 tem-se:

xn 2

S

Probabilidade

Contribuição do estágio n

Estado: sn

Decisão

fn(sn,xn)

f*n+1(1)

f*n+1(2)

f*n+1(s)

A programação dinâmica probabilística diferencia-se da determinística no sentido que o estado no próximo estágio não é completamente determinado pelo estado e pela decisão política no estágio atual.

Existe uma distribuição de probabilidade que determinará qual será o próximo estado.

Contudo, essa distribuição de probabilidade é completamente determinada pelo estado e pela decisão política no estágio atual.

Estágio n Estágio n+

CONCLUSÃO

A Programação Dinâmica é uma técnica bastante útil para tomar decisões seqüencialmente inter-relacionadas.

Para tanto, faz-se necessário formular relações recorrentes apropriadas para cada problema individual.

Em suma, é uma ferramenta de Pesquisa Operacional de extrema importância quando se refere a tomada de decisões dentro de uma empresa e pode ser aplicada de diversas formas, abrangendo os mais diversos tipos de situações.