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CAPÍTULO 4
Programação Linear
4.1 Introdução
Este capítulo visa estudar alguns problemas de otimização que envolve maximizar ou minimizar uma função restrita a certas condições. Estamos sempre interessados em minimizar custos, maximizar lucros, rendimentos etc. A programação linear é uma técnica que permite a resolução destes problemas no caso específico em que as funções a serem analisadas são lineares.
4.2 Conjuntos Convexos
Definição 1 – Um subconjunto S de n é chamado convexo se para quaisquer dois pontos A e B
de S o segmento AB está inteiramente contido em S. Vale lembrar que sendo A e B dois pontos do
R^ n. O segmento de extremos A e B é o conjunto AB de pontos, dado por: AB = {(1 − t A ) + tB ; 0 ≤ t ≤1}
Exemplo 1. Observe as seguintes regiões de 2.
4.3 Região Poliedral Convexa Fechada
Definição 2 – Um conjunto que divide um espaço vetorial em dois semi-espaços é chamado de hiperplano.
Exemplo 2. Considere os seguintes espaços vetoriais:
No espaço tridimensional o hiperplano é um plano; No espaço bidimensional o hiperplano é uma reta; No espaço unidimensional o hiperplano é um ponto.
Observe que o hiperplano divide o espaço vetorial em 2 semi-espaços.
Para hiperplanos definidos por uma equação de mais do que três variáveis não teremos uma visão geométrica dos semi-espaços vetoriais como nos exemplos anteriores, mas estes conceitos são abordados da mesma maneira:
Hiperplano H = ( x 1 (^) , x 2 (^) , …, xn ) ∈ n ; a x 1 1 (^) + a x 2 2 + …+ a xn n = b
que divide o R n em dois semi-espaços fechados:
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
n n n n n n n n
H x x a x a x a x b e H x x a x a x a x b
−
Definição 3 – Uma região poliedral convexa fechada em n é uma interseção de uma quantidade finita de semi-espaços fechados do n.
4.4 Desigualdades Lineares
Exemplo 4. Observe a situação a seguir, onde há uma empresa que pretende otimizar a produção mensal de dois produtos A e B:
Nesta situação é necessária entender que:
O objetivo é maximizar o lucro total da venda da produção; A produção está superiormente limitada pelos 300 metros de madeira e 110 horas de trabalho disponíveis; São possíveis vários níveis de produção; Dos possíveis níveis de produção é necessário conhecer qual ou quais podem classificar-se de ótimos.
Como programar matematicamente esta situação (modelo matemático linear) para obter informações para a tomada de decisão?
Primeira pergunta: Quantas unidades de A e B podemos produzir?
Definir as duas variáveis de decisão:
x 1 como o número de unidades do produto A;
x 2 como o número de unidades do produto B.
Segunda pergunta: Que valores podemos admitir para as variáveis de decisão?
Em x 1 unidades de A consomem-se 30x 1 metros de madeira;
Em x 2 unidades de B consomem-se 20x 2 metros de madeira.
Não podemos ultrapassar os 300 metros de madeira disponíveis então 30 x 1 (^) + 20 x 2 ≤ 300.
Em x 1 unidades de A consomem-se 5x 1 horas de trabalho;
Em x 2 unidades de B consomem-se 10x 2 horas de trabalho.
Não podemos ultrapassar as 110 horas de trabalho disponíveis então 5 x 1 (^) + 10 x 2 ≤ 110.
E a restrição de não negatividade do problema x 1 (^) ≥ 0 e x 2 (^) ≥ 0.
Terceira pergunta: Qual o objetivo a ser alcançado com a produção de A e B?
O lucro da venda de 1 unidade de A é de $ 6;
O lucro da venda de 1 unidade de B é de $ 8.
O lucro total da venda de x 1 unidades de A e de x 2 unidades de B é de 6 x 1 (^) + 8 x 2.
O objetivo é conhecer o maior valor que é possível ao atingir o lucro total 6 x 1 (^) + 8 x 2 , ou seja, é
necessário calcular o máximo da função linear f ( x 1 (^) , x 2 (^) ) = 6 x 1 (^) + 8 x 2 , condicionado às restrições.
Resumindo:
Maximizar o lucro total das vendas f ( x 1 (^) , x 2 (^) ) = 6 x 1 (^) + 8 x 2 (função objetivo); Restrições do problema Madeira : 30 x 1 (^) + 20 x 2 ≤ 300 e Horas de trabalho : 5 x 1 (^) + 10 x 2 ≤ 110 ; Restrições de não negatividades x 1 (^) , x 2 ≥ 0.
Geometria do modelo de Programação Linear
Considere um sistema de eixos cartesianos com o eixo das abscissas associado a x 1 (produção de A) e o eixo das ordenadas associado a x 2 (produção de B). Relaxando a condição de desigualdade das restrições técnicas, estas passam a ser equações que definem retas. Cada uma destas retas
divide o espaço ^2 em dois semi-espaços.
A figura a seguir apresenta o sistema de eixos e as duas retas:
Qualquer ponto da região factível é uma possível solução, então agora resta saber qual deste ponto torna o valor máximo para a função objetivo.
Considere:
A função tem valor 0, a equação desta curva de nível é 6 x 1 (^) + 8 x 2 = 0 ; A função tem valor 24, a equação desta curva de nível é 6 x 1 (^) + 8 x 2 = 24 ; A função tem valor 48, a equação desta curva de nível é 6 x 1 (^) + 8 x 2 = 48.
Da análise da figura acima, verificamos que o valor da função aumenta à medida que nos afastamos da origem, então a última curva de nível que podemos traçar contendo um ponto da região factível é a correspondente ao máximo da função objetivo.
Obs: Se a última curva de nível pertencer a mais do que um ponto da região factível, haverá várias soluções ótimas alternativas, dizemos que a solução ótima é indeterminada ou múltipla.
A figura a seguir mostra que o ponto de interseção das retas 30 x 1 (^) + 20 x 2 = 300 e
5 x 1 (^) + 10 x 2 = 110 é o ponto ótimo com coordenada (4, 9) sendo o máximo da função objetivo: f (4,9) = 6 × 4 + 8 × 9 = 24 + 72 = 96
A produção ótima é, portanto de 4 unidades de A e 9 unidades de B a que está associada o lucro máximo de 96 dólares.
Vetor gradiente: O gradiente da função é perpendicular às curvas de nível da função e indica a direção e o sentido em que a função aumenta mais rapidamente, portanto podemos utilizá-lo para identificar o ponto ótimo na região factível.
O vetor gradiente é o conjunto das derivadas parciais de uma função e representaremos por:
∇ f ( , x y ) := ^^ dfdx^ , dfdx
Retornando ao exemplo, calculemos o gradiente da função objetivo.
∇ f ( , x y ) : = ^^ dfdx^ = 6, dfdx = 8
x primeiro adubo y segundo adubo Necessidades mínimas de adubo Fósforo 3 2 3 Nitrogênio 1 3 1, Potássio 8 2 4 Custo $ 10 Custo $ 8
Chamemos de x a quantidade em kg do primeiro tipo de adubo e y a do segundo tipo; Primeira restrição x ≥ 0 e y ≥ 0 ; Segunda restrição 3 x + 2 y ≥ 3 ; Terceira restrição x + 3 y ≥ 1,5; Quarta restrição 8 x + 2 y ≥ 4.
Colocando num gráfico as quantidades x (como abscissa) e y (como ordenada) temos:
Observe que para os valores x e y satisfazerem simultaneamente todas as desigualdades, o ponto (x, y) deve pertencer à região hachurada A (região factível). Note que esta região A é dada por uma interseção de semi-espaços fechados do 2. Além disso, queremos que o custo dado pela função f ( , x y ) = 10 x + 8 y (função objetivo)
seja mínimo, isto é, estamos procurando na região hachurada, qual é o ponto (x, y) no qual f ( , x y )
tem o menor valor.
Note que da maneira como foi definida uma região poliedral convexa fechada é sempre obtida por um sistema de desigualdades lineares, nesta região procuramos pontos especiais (os vértices).
P 1 ( 0, 2 ,) P 2 ^15 , 65 ^ , P 3 ^67 , 143 ^ e P 4 ^32 , 0
Observe que estes pontos são dados por interseção de duas retas que definem os semi- espaços.
P 2 é dado pela solução do sistema
x y x y
^ +^ =
Note que o ponto (0, 3 / 2) é solução do sistema ^3 x^^ x^^ +^2 y == 03
, mas não pertence à região A.
Obs: Depois de resolver um sistema, a fim de verificar se o ponto está na região, testamos para ver se ele satisfaz todas as desigualdades.
Vamos resolver este problema pelo método geométrico.
Calculemos o vetor gradiente da função objetivo ∇ f ( , x y ) : = ^^ dfdx^ , dfdx
(lembremos que o
vetor gradiente aponta para a direção e sentido em que a direção e o sentido da função é maior); ∇ f ( , x y ) =(10,8)
Observe que f é constante nas retas perpendiculares ao vetor gradiente (10, 8) ; Note que partindo da origem na direção do vetor gradiente (10, 8) , o valor da função f torna-se cada vez maior; Evidentemente quanto menor o deslocamento na direção do vetor gradiente (10, 8) , a função f assume valores cada vez menores;
(d)
x y x y y x
^ +^ ≤
Exercício 2. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função lucro L = 15 x + 25 y , sujeita
às seguintes condições:
(a)
x y x y
^ ≥
(b)
x y x y
^ ≥
(c)
x y x y x y
^ ≥
Exercício 3. Determine o máximo da função expressa por 2 x + y , sujeita às restrições x ≥ 0 ,
y ≥ 0 , x + y ≤ 3 e 4 x + y ≤ 0 :
Exercício 4. (Problema de economia) Um comerciante vende dois tipos de artigos, A e B. Na venda do artigo A tem um lucro de 20 por unidade e na venda do artigo B, um lucro de 30. Em seu depósito só cabem 100 artigos e sabe-se que por compromissos já assumidos, ele venderá pelo menos 15 artigos do tipo A e 25 do tipo B. O distribuidor pode entregar ao comerciante, no máximo, 60 artigos A e 50 artigos B. Quantos artigos de cada tipo deverão o comerciante encomendar ao distribuidor para que, supondo que os venda todos, obtenha o lucro máximo?
Exercício 5. (Problema de transporte) Uma firma comercial tem 40 unidades de mercadoria no depósito D1 e 50 unidades no depósito D2. Deve enviar 30 unidades ao cliente A e 40 ao cliente B. Os gastos de transporte por unidade de mercadoria estão indicados no esquema abaixo. De que maneira deve enviar essas mercadorias para que o gasto com transporte seja mínimo?
Exercício 6. (Problema de dieta) Dois produtos P e Q contêm as vitaminas A, B e C nas quantidades indicadas na tabela a seguir. A última coluna indica a quantidade mínima necessária de cada vitamina para uma alimentação sadia, e a última linha indica o preço de cada produto por unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione uma alimentação sadia com o mínimo custo? P Q A 3 1 12 B 3 4 30 C 2 7 28 3 2
Exercício 7. Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A é de no mínimo 80% do total de vendas de ambos. Contudo, a empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matéria-prima cuja disponibilidade máxima diária é 240 lb. As taxas de utilização da matéria-prima são 2 lb por unidade de A e 4 lb por unidade de B. Os lucros unitários para A e B são $ 20 e $ 50, respectivamente. Determine a quantidade de cada produto para que o lucro seja máximo.
Exercício 8. Uma empresa fabrica chapas e barras de alumínio. A capacidade máxima de produção estimada são 800 chapas ou 600 barras por dia. A demanda máxima diária são 550 chapas e 580 barras. O lucro por tonelada é $ 40 por chapa e $ 35 por barra. Determine a quantidade ótima de produção diária.
Exercício 9. Um indivíduo quer investir $ 5.000 no próximo ano em dois tipos de investimento: o investimento A rende 5% e o investimento B rende 8%. Pesquisas de mercado recomendam uma
