Programando em Python - Recursao, Notas de estudo de Informática

Baixe Programando em Python - Recursao e outras Notas de estudo em PDF para Informática, somente na Docsity!

Claudio Esperança

Python:

Recursão

Recursão

 É um princípio muito poderoso para construção de

algoritmos

 A solução de um problema é dividido em

 Casos simples:

 São aqueles que podem ser resolvidos trivialmente

 Casos gerais:

 São aqueles que podem ser resolvidos compondo soluções de casos mais simples

 Semelhante à prova de teoremas por indução

 Casos simples: O teorema é verdadeiro trivialmente

 Casos genéricos: são provados assumindo-se que todos os

casos mais simples também são verdadeiros

Exemplo: Busca binária

 Um exemplo clássico de recursão é o algoritmo conhecido

como busca binária que é usado para pesquisar um valor em

uma lista ordenada

 Chamemos de imin e imax os índices mínimo e máximo da

lista onde a busca será feita

 Inicialmente, imin = 0 e imax = len( lista)-

 O caso base corresponde a imin == imax

 Então, ou o valor é igual a lista [imin] ou não está na lista

 Senão, podemos dividir o intervalo de busca em dois

 Seja meio = (imin+imax)/

 Se o valor é maior que lista [meio] , então ele se encontra

em algum dos índices entre meio+1 e imax

 Caso contrário, deve se encontrar em algum dos índices

entre imin e meio

Busca binária: implementação

def testa(lista,valor): def busca_binaria(imin,imax): if imin==imax: return imin else: meio=(imax+imin)/ if valor>lista[meio]: return busca_binaria(meio+1,imax) else: return busca_binaria(imin,meio) i = busca_binaria(0,len(lista)-1) if lista[i]==valor: print valor,"encontrado na posicao",i else: print valor,"nao encontrado"

>>> testa([1,2,5,6,9,12],3) 3 nao encontrado >>> testa([1,2,5,6,9,12],5) 5 encontrado na posicao 2

Eficiência de funções recursivas

 Quando uma função é chamada, um pouco de memória é

usado para guardar o ponto de retorno, os argumentos e

variáveis locais

 Assim, soluções iterativas são normalmente mais

eficientes do que soluções recursivas equivalentes

 Isto não quer dizer que soluções iterativas sempre sejam

preferíveis a soluções recursivas

 Se o problema é recursivo por natureza, uma solução

recursiva é mais clara, mais fácil de programar e,

freqüentemente, mais eficiente

Pensando recursivamente

 Ao invés de pensar construtivamente para para obter uma

solução, às vezes é mais simples pensar em termos de

uma prova indutiva

 Considere o problema de testar se uma lista a é uma

permutação da lista b

 Caso básico: a é uma lista vazia

 Então a é permutação de b se b também é uma lista vazia

 Caso básico: a [0] não aparece em b

 Então a não é uma permutação de b

 Caso genérico: a [0] aparece em b na posição i

 Então a é permutação de b se a [1:] é uma permutação de b do qual foi removido o elemento na posição i

Estruturas de dados recursivas

 Há estruturas de dados que são inerentemente recursivas, já

que sua própria definição é recursiva

 Por exemplo, uma lista pode ser definida recursivamente:

 [] é uma lista (vazia)

 Se A é uma lista e x é um valor, então A+ [ x ] é uma lista com

x como seu último elemento

 Esta é uma definição construtiva, que pode ser usada para

escrever funções que criam listas

 Uma outra definição que pode ser usada para analisar listas é:

 Se L é uma lista, então:

 L == [] , ou seja, L é uma lista vazia, ou

 x = L .pop() torna L uma lista sem seu último elemento x

 Esta definição não é tão útil em Python já que o comando

for permite iterar facilmente sobre os elementos da lista

Exemplo: Subseqüência

def e_subseq(a,b):

""" Retorna True sse a é subseqüência de b, isto é, se todos os elementos a[0..n-1] de a aparecem em b[j(0)], b[j(1)]... b[j(n-1)] onde j(i)

Exemplo: computar todas as

permutações de uma lista

def permutacoes(lista):

""" Dada uma lista, retorna uma lista de listas, onde cada elemento é uma permutação da lista original """ if len(lista) == 1: # Caso base return [lista] primeiro = lista[0] resto = lista [1:] resultado = [] for perm in permutacoes(resto): for i in range(len(perm)+1): resultado += [perm[:i]+[primeiro]+perm[i:]] return resultado

Torres de Hanói

 Jogo que é um exemplo clássico de problema recursivo  Consiste de um tabuleiro com 3 pinos no qual são encaixados discos de tamanho decrescente  A idéia é mover os discos de um pino para outro sendo que:  Só um disco é movimentado por vez  Um disco maior nunca pode ser posto sobre um menor

Torres de Hanói: Implementação

def hanoi(n,origem,destino,temp):

if n>1: hanoi(n-1,origem,temp,destino)

mover(origem,destino)

if n>1: hanoi(n-1,temp,destino,origem)

def mover(origem,destino):

print “Mover de“, origem, “para”,\

“destino”

 Com um pouco mais de trabalho, podemos redefinir a

função mover para que ela nos dê uma representação

“gráfica” do movimento dos discos

Torres de Hanói: Exemplo

| | |

• | | *** | | ***** | | ======================= | | | | | | *** | | ***** * | ======================= | | | | | | | | |

======================= | | | | | | | | * ***** | *** =======================

| | | | | | | | * | ***** *** ======================= | | | | | | | | |

======================= | | | | | | | *** |

• ***** | ======================= | | | | * | | *** | | ***** | =======================