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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
Instituto de Geociências - Departamento de Geodésia
Curso de Engenharia Cartográfica
Disciplina: Projeções Cartográficas
Aluno: Thiago Ualace Nascimento Paz – 00262792
Segunda avaliação semestral 2021/
1. (1,5) Tendo como base os conceitos e definições estudados sobre a teoria das
distorções, mostre geometricamente que: “O diâmetro conjugado de uma curva
plana é o lugar geométrico dos meios de todas as cordas paralelas a uma mesma
direção. Deste modo, toda a corda que passar pelo (meio) centro da elipse é um de
seus diâmetros. Dois diâmetros são ditos conjugados quando um deles divide ao
meio as cordas paralelas ao outro.” Explique a sua demonstração.
O conhecimento das propriedades geométrica das curvas cônicas nos ajuda a
solucionar os problemas gráficos, relativo a essas curvas cônicas, ao determinar o
ponto de tangência para essa solução. Essa resolução gráfica pode ser obtida através
de diâmetros conjugados das curvas que, assim como a elipse e a hipérbole, possuem
centro geométrico a partir da aplicação das cordas paralelas.
Analisando esse sistema de cordas paralelas e que as tangentes nos extremos do
diâmetro são paralelas entre si e às referidas cordas, podemos concluir que “um
sistema de cordas paralelas tem seus pontos médios sobre a mesma reta que é o
diâmetro conjugado do diâmetro paralelo a estas cordas;” e ainda ‘’se um diâmetro
encontra a cônica em dois pontos próprios, as tangentes em seus extremos são
paralelas e tem a direção do diâmetro conjugado daquele.’’ (Carvalho, B - Desenho
Geométrico, 1982).
De acordo com Carvalho (1982) podemos identificar um dos diâmetros conjugados ao
passar uma reta entre dois pontos médios de duas cordas paralelas, e através desta,
podemos obter o ponto médio para determinar a elipse e ainda possibilita traçar outro
diâmetro conjugado (uma reta) que passa perpendicular, pelo centro entre duas
cordas paralelas entre si.
Levando em conta o ponto de tangencia, podemos traçar uma reta tangente paralela à
direção dada como consta na demonstração geométrica a seguir:
Aplicação das cordas paralelas no problema de tangência em curvas cônicas
Através destas análises, podemos afirmar então, que a obtenção do ponto de
tangência e da reta tangente às curvas cônicas, é feita a partir da informação em qual
direção a reta está e utilizando as propriedades relativas as cordas paralelas entre si
(na figura acima, nos pontos p e q) e paralelas à direção da reta dada a partir da
interceptação de dois pontos na curva, e nos dois pontos nas cordas. E por fim
obtemos o ponto de tangência passando uma reta por estes dois pontos interceptando
a curva no ponto de tangência (T).
2. (1,0) Considerando que as escalas particulares sobre os meridianos são denominadas
pela letra h e as escalas particulares sobre os paralelos pela letra k, por que para as
projeções de aspecto normal pode-se assumir que:
(a) quando as projeções são conformes h = k; e
Quando é tangente ela tem um paralelo padrão, então sabemos que no aspecto
normal podemos considerar que h=k.
(b) quando as projeções são equivalentes h * k = 1,0.
Aplicando a equação acima:
Temos as coordenadas de projeção (x,y) e vamos calcular com as fórmulas já
fornecidas na questão.
𝑥 = 𝑟𝑔 ∗ Δλ
Δ𝑥 = λ − 𝜆
0
y = rg ∗ ln [tan (45° +
)]
Para os pontos informados na questão, usamos a fórmula 𝑥 = 𝑟𝑔 ∗ Δλ e
y = rg ∗ ln [tan (45° +
𝜑
2
)] :
Ponto 1:
𝜑 = 30°N e λ = 30°E
𝑟𝑎𝑑
y = 53. 03 ∗ ln [tan (45° +
30°
2
)] (30° 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠)
y = 29 , 1636 mm
Ponto 2:
𝜑 = 45 °N e λ = 45 °E
𝑟𝑎𝑑
y = 53. 03 ∗ ln [tan (45° +
45°
2
)] (45° 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠)
y = 46 , 7936 mm
As fórmulas para calcular o valor de h e k são:
Ponto 1:
𝜑 = 30°N e λ = 30°E
ℎ = 𝑘 = sec 30 ° → ℎ = 𝑘 = 1 , 2
Ponto 2:
𝜑 = 45 °N e λ = 45 °E
ℎ = 𝑘 = sec 45 ° → ℎ = 𝑘 = 1 , 4
E por fim calculamos o exagero de área com a seguinte fórmula:
2
Ponto 1:
𝜑 = 30°N e λ = 30°E
2
2
Ponto 2:
𝜑 = 45 °N e λ = 45 °E
2
2
Tabela gerada
Aplicando a equação acima:
As coordenadas são calculadas a partir das fórmulas:
𝟎
𝒓𝒂𝒅
Ponto 1:
𝜑 = 30°N e λ = 30°E
𝑟𝑎𝑑
Ponto 2:
𝜑 = 45 °N e λ = 45 °E
𝑟𝑎𝑑
As fórmulas para calcular o valor de h e k são:
Ponto 1:
𝜑 = 30°N e λ = 30°E
𝑘 = sec(30°) → 𝑘 = 1 , 2
ℎ = cos(30°) → ℎ = 0 , 9
Ponto 2:
𝜑 = 45 °N e λ = 45 °E
𝑘 = sec(45°) → 𝑘 = 1 , 4
Para calcular o valor de ∆𝒖𝒎𝒂𝒙 =
(𝒔𝒊𝒏 𝝋)²
𝟏 + (𝒄𝒐𝒔 𝝋)²
fazemos:
Ponto 1:
𝜑 = 30°N e λ = 30°E
sin 30 °
2
1 + (cos 30 °)
2
Ponto 2:
𝜑 = 45 °N e λ = 45 °E
(sin 45 °)
2
cos 45 °
2
Calculando os raios das elipses temos:
Ponto 1:
𝜑 = 30°N e λ = 30°E
bem como para a determinação do exagero de área (p), para dois pontos cujas
latitudes e longitudes você pode escolher, com exceção do meridiano central e do
Equador terrestre. 𝑥 = 1 2 𝑙𝑛 ( 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝛥𝜆 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝛥𝜆 ) ∆λ = λ – λ0 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐
Onde ( 𝜑 , λ) são as coordenadas geográficas, latitude e longitude; rg é o raio do globo
gerador e Δλ é a diferença em longitude entre o meridiano do ponto e o meridiano
central do mapa; h e k são as escalas particulares na direção dos meridianos e dos
paralelos, respectivamente; e p é o exagero de área.
𝟎
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
Rg é o raio do globo e pode ser encontrado pela equação:
Sendo Rt o raio da Terra.
Escala 1 : 120. 000. 000
Aplicando a equação acima:
Podemos rearrumar as equações das coordenadas cartesianas regulares planas (x,y) da
seguinte forma:
𝟎
𝟎
Podemos simplifica-las ainda mais:
Começando com 𝜑 = 0°
Y = 0mm
Para 𝝀 = 𝟏𝟓°𝑬
Fazendo com 𝜑 = 3 0°𝑁
1
𝑐𝑜𝑠𝜆
então:
Para 𝝀 = 𝟏𝟓°𝑾
𝑦 = 53 , 09 ∗ 33 ,69006686° (converto de graus para radianos)
𝑦 = 53 , 09 ∗ 30 , 86747752 ° (converto de graus para radianos)
Calculando as escalas particulares com a fórmula:
Para 𝜆 = 0°
2
2
Para 𝜆 = 15 °
2
2
Para 𝜆 = 0°
2
2
2
2
Para encontrar o exagero de área usamos a fórmula:
𝟐
𝟐
