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Projeções COtadas - UERJ
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
O método das projeções cotadas foi idealizado por Fellipe Büache em meados do século XVIII com a finalidade precípua de executar o levantamento hidrográfico do canal da Mancha. Posteriormente, com o incremento das guerras napoleônicas, a utilização deste método foi estendida para usos militares e posteriormente aplicado em projetos de estradas, ferrovias e obras de terra. No método de Monge, a relação entre o valor da cota de um ponto e o do seu afastamento é limitada. Não é possível representar em épura as projeções de pontos em que haja disparidade considerável entre suas cotas e seus respectivos afastamentos. O método das projeções cotadas supre exatamente essa deficiência observada no método de Monge, embora a aplicação das operações fundamentais – projetar (por um ponto) e cortar (por um plano) – seja mantida. No método das projeções cotadas ou, simplesmente, em projeções cotadas, o centro projetivo é impróprio, as projeções são cilíndricas- ortogonais e só há um plano de projeção. Esse plano, suposto sempre horizontal, é chamado plano de comparação designado também por (π). As cotas são indicadas algebricamente tornando desnecessária a existência de outro plano de projeção para “amarrar” as figuras do espaço.
Figura 01
Em caso contrário trata-se de uma escala de ampliação. A representação gráfica de mecanismos de relógios de pulso é um exemplo de escala de ampliação. É costume adotar a indicação de escalas através de quocientes entre valores algébricos ou relações percentuais.
Exemplo:
Se na representação de um objeto adotou-se E = 1/25, pode- se escrever:
E = 1/25 ou E = 1:25 ou ainda E = 4%
As escalas podem ser também gráficas, bastando para isso que se indique no desenho a unidade gráfica adotada. Esse procedimento é comum nos mapas geográficos e nas cartas náuticas.
Exemplo:
figura 02
3.1 - ESTUDO DO PONTO
3.1 - REPRESENTAÇÃO
Como a representação gráfica é feita apenas sobre um plano de projeção – sobre o plano de comparação, como já foi dito – a representação de pontos em projeções cotadas é feita por letras maiúsculas com a indicação das respectivas cotas entre parênteses. A épura, nesse tipo de representação, é muito simples e não tem, obviamente, linha de terra.
figura 03
Se o ponto está acima do plano de comparação, sua cota é positiva. Se estiver abaixo é negativa. Se o ponto pertencer ao plano de comparação, sua cota é nula. O plano de comparação é o lugar geométrico dos pontos de cota nula.
3.2 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos objetivos (A) e (B), determinar a distância d{(A), (B)} é determinar o comprimento do segmento de reta que une (A) e (B) sendo conhecidas as projeções A(a) e B(b).
figura 04
Se um dos pontos tem cota negativa, o procedimento é o mesmo, porém deve-se atentar para que o rebatimento dos pontos seja feito em lados distintos do segmento que une as projeções dos pontos.
figura 06
d = d 1 + d 2 = A 1 O 1 + O 1 B 1
d 1 = [{A (a) O (o)}² + (-a)²]½
d 2 = [{O (o) B (b)}² + b²]½
d = [{A (a) O (o)}² + a²]½^ + [{O (o), B(b)}² + b²]½
Observando a figura pode-se afirmar também que:
d = [{A (a) B (b)}² + (a + b)²] ½
Uma reta fica definida quando se conhecem, pelo menos, dois de seus pontos. Assim, a representação de uma reta em projeções cotadas fica determinada quando são conhecidas as projeções de dois de seus pontos. Em épura, a projeção de uma reta é representada por um segmento retilíneo e identificada pelas projeções de dois de seus pontos ou por uma letra minúscula livre.
s(5)
figura 07
4.2 – POSIÇÕES DE UMA RETA EM RELAÇÃO AO PLANO DE COMPARAÇÃO
Supondo uma reta (r) dada pelas projeções de dois de seus pontos A (a) e B (b), em relação ao plano de comparação (π), a reta (r) pode estar:
Exemplo:
Dada a reta (r) pelos seus pontos cotados A(1,5) e B(3,7), determinar o ponto (C) de cota c = 2,5, sabendo-se que d (A,B) = 7,5. A solução tanto pode ser gráfica como analítica.
solução gráfica:
un: metro esc: 1:
figura 09
solução algébrica:
O problema é resolvido quando se determina a posição de C (2,5) em relação a A(1,5) ou B(3,7).
Da geometria elementar, temos:
d (A, C) / d (A, B) = (c-a) / (b-a) => d (A, C) = d (A, B) x (c-a) / (b-a)
d (A,C) = (7,5 x 1,0) / 2,2 = 3,41m
4.4 – PONTOS DE COTA REDONDA
São pontos da reta cujas cotas são números inteiros, tais como:
A(3), B(7), C(0), D(103), E(-7), E(-43), etc.
A marcação de pontos de cota redonda de uma reta nada mais é do que determinar, na projeção da reta, projeções de pontos de cota conhecida, conforme visto anteriormente.
Exemplo:
Determinar os pontos de cota redonda de uma reta (r) situados entre dois de seus pontos (A) e (B).
dados: A (-1,3) B (3,4) d (A,B) = 8
Chama-se declividade de uma reta à tangente do ângulo (θ) determinado pela reta objetiva e sua projeção. Designa-se a declividade por p. Quando a diferença entre as cotas de dois pontos é igual à unidade, ou seja, h = 1, a distância correspondente é chamada intervalo. Designa-se o intervalo por i. Logo, a declividade é o inverso do intervalo. Como a declividade é uma relação entre cota e distância, costuma-se indicá-la de outras formas:
Exemplo:
d = 1/4 ou d = 1 : 4 ou ainda d = 25%
4.6 – GRADUAÇÃO DE RETAS
Graduar uma reta é determinar a sua escala de declive. Esta operação nada mais é do que marcar os pontos de cota redonda da reta que forem necessários para resolver o problema. O exemplo mostrado no item 4.4 é suficiente para tal.
4.7 – POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS
Duas retas quaisquer do espaço – retas objetivas, portanto – podem admitir, ou não, um ponto comum. Se as retas admitem ponto comum elas são concorrentes. Se o ponto comum é um ponto próprio as retas são ditas concorrentes em próprio ou, simplesmente, concorrentes. Se o ponto comum é impróprio, as retas são ditas paralelas. Se as retas não admitem ponto comum entre elas são reversas.
4.7.1 – RETAS CONCORRENTES
Quando duas retas são concorrentes, suas projeções são necessariamente concorrentes num ponto cuja cota será a mesma
para as duas retas naquele ponto, independente da escala de declive de cada uma delas. A figura 12, a seguir, mostra exemplos de retas concorrentes.
figura 12
4.7.2 – RETAS PARALELAS
Quando duas retas são paralelas, suas projeções são necessariamente paralelas e suas escalas de declive, além de iguais, tem o mesmo sentido. A figura 13, a seguir, mostra exemplos de retas paralelas
figura 13
4.7.3 – RETAS REVERSAS
Quando duas retas são reversas podem ocorrer os seguintes fatos:
1º) As projeções das retas concorrem num ponto. Nesta caso as retas tem cotas diferentes nesse ponto, tal como mostrado na figura 14.
Em ambos os casos, será necessário rebater o plano que contém as retas sobre um plano horizontal para solucionar o problema. Sejam então dadas as projeções e a escala de declive de uma reta (r) e o problema seja determinar a projeção e a escala de declive de uma reta (s) perpendicular a (r) num ponto de cota conhecido, sabendo-se que (r) e (s) pertencem a um mesmo plano vertical. O procedimento é o seguinte:
1º) Rebate-se a reta (r) sobre um plano horizontal que pode ser o próprio plano de comparação;
2º) Marca-se a escala das cotas;
3º) Localiza-se o ponto P 1 em r, e traça-se a perpendicular s, a r, por O 1 ;
4º) Na cota (p-1) traça-se uma paralela a r que corte r 1 em R 1 e o prolongamento de s 1 em S 1 ;
5º Traça-se por P 1 uma perpendicular a r que corta o segmento R 1 S (^1) em Q 1.
figura 16 No triângulo R 1 P 1 S 1 temos:
tg θ = P1Q1 / R1Q1 ∴ tgθ = 1 / i (^) r = p (^) r
tgθ = Q1S1 / P1Q1 ∴ tgθ = i (^) s / 1 = 1 / p (^) s
Então, teremos:
p (^) r = 1 / p (^) s
Ou seja: a declividade de uma reta é o inverso da declividade de outra reta que lhe seja perpendicular. Se o plano das retas é um plano qualquer, o procedimento é semelhante mas este caso será visto após o estudo de planos.
5 – ESTUDO DO PLANO
5.1 – REPRESENTAÇÃO
Em projeções cotadas um plano fica perfeitamente caracterizado por sua reta de maior declive. Sua representação é feita por dois segmentos retos paralelos, devidamente graduados. Normalmente, um dos segmentos é mais espesso que o outro, mas ambos devem estar bem próximos.
figura 17
Como resultado de sua própria definição, as retas de maior declive de um plano são todas paralelas entre si e perpendiculares a todas as retas horizontais do plano considerado.
Qualquer perpendicular a essas horizontais será uma reta de maior declive desse plano, cuja graduação fica determinada pela cota de cada horizontal.
figuras 18-a e 18-b
5.3 – PERTINÊNCIA DE PONTO A PLANO
Para que um ponto pertença a um plano, basta que o ponto pertença a uma reta desse ponto. No método das projeções cotadas, para que um ponto pertença a um plano, basta que o ponto pertença à horizontal do plano cuja cota é a mesma do ponto. A figura 19 mostra tal condição.
