PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
(LEQ, LEB E LQ)
NOTAS
SOBRE
ERROS E PROPAGAÇÃO DE ERROS
DE
CARLOS DANIEL PAULINO
E
PAULO SOARES
SETEMBRO DE 2004
SECÇÃO DE ESTATÍSTICA E APLICAÇÕES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Cálculo de propagação de erro
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
1 / 10
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe propagação de erro e outras Notas de estudo em PDF para Geologia, somente na Docsity!
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
(LEQ, LEB E LQ)
NOTAS
SOBRE
ERROS E PROPAGAÇÃO DE ERROS
DE
CARLOS DANIEL PAULINO
E
PAULO SOARES
SETEMBRO DE 2004
SECÇÃO DE ESTATÍSTICA E APLICAÇÕES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
cuidado deve ser colocado na sua detec¸c˜ao e, quando presentes, devem ser corrigidos (ou compensados) ou pelo menos minimizados, o que pode ser feito mediante a realiza¸c˜ao de ensaios em branco ou ensaios de calibra¸c˜ao.
Os erros acidentais s˜ao erros devidos a causas que n˜ao se conhecem exactamente e que s˜ao respons´aveis por pequenas e irregulares varia¸c˜oes nas medi¸c˜oes realizadas. Estes erros de car´acter fortuito s˜ao alternativamente denominados de erros alea- t´orios, justificando que v´arias medi¸c˜oes difiram algo umas das outras, em qualquer dos sentidos. A sua elimina¸c˜ao ´e naturalmente de todo imposs´ıvel embora possam ser atenuados `a custa de uma maior morosidade e/ou encarecimento dos ensaios.
O efeito dos dois tipos de erros referidos encontra-se ilustrado na Figura 1. A presen¸ca de um erro sistem´atico faz com que o conjunto de valores experimentais se afaste de μ 0 e a ac¸c˜ao de outras causas desconhecidas introduz um erro aleat´orio que provoca a dispers˜ao desses valores em torno de um valor m´edio μ 6 = μ 0 , tamb´em desconhecido. Ao erro aleat´orio atribui-se uma distribui¸c˜ao de probabilidade, sendo usual, na pr´atica, adoptar-se distribui¸c˜oes Normais cuja justifica¸c˜ao n˜ao ´e alheia a um importante resultado da Teoria da Probabilidade que d´a pelo nome de Teorema Limite Central (aflorado no Cap. 5 do programa).
Figura 1: Representa¸c˜ao esquem´atica dos erros sistem´aticos e acidentais.
A an´alise do efeito dos dois tipos de erros supracitados materializa-se na avalia¸c˜ao da exactid˜ao e da precis˜ao do m´etodo experimental. Note-se que, muitas vezes, os termos exactid˜ao e precis˜ao s˜ao erradamente usados como sin´onimos na linguagem quotidiana (e em alguma da linguagem t´ecnica).
A chamada exactid˜ao (accuracy) do m´etodo de determina¸c˜ao de μ 0 tem precisa- mente que ver com a magnitude dos erros sistem´aticos no sentido em que reflecte a propriedade de fiabilidade dos resultados da aplica¸c˜ao daquele m´etodo. Este ser´a tanto menos inexacto quanto menor for a diferen¸ca entre os seus resultados (que reflectem de algum modo o valor esperado de X) e o verdadeiro valor μ 0.
Como medidas de exactid˜ao tˆem-se os erros simples, absolutos e relativos. O erro simples de uma determina¸c˜ao x ´e definido por d = x − μ 0 , sendo o erro absoluto dado por |x − μ 0 |. Ambos se exprimem nas mesmas unidades de X (e.g., em % ou g/l). A razoabilidade da sua magnitude depende naturalmente da ordem de grandeza de μ 0. Por exemplo, na determina¸c˜ao da percentagem de um dado elemento numa dada substˆancia, |d| = 0.05% ser´a um valor substancial quando μ 0 = 0.01% mas j´a n˜ao o ´e quando μ 0 = 60%. Da´ı o recurso ao erro relativo e = |d/μ 0 |, para μ 0 6 = 0, que ´e uma medida adimensional habitualmente expressa em % ou em partes por mil. Quando h´a v´arias determina¸c˜oes os erros associados ao m´etodo podem definir-se pelas express˜oes correspondentes substituindo x pela m´edia ¯x dos resultados dessas determina¸c˜oes.
Nota 1: As express˜oes acima para os erros pouca utilidade tˆem em geral pelo facto de μ 0 ser desconhecido. Uma excep¸c˜ao ocorre quando na avalia¸c˜ao de um m´e- todo anal´ıtico se usa uma amostra padr˜ao de caracter´ısticas conhecidas. Na pr´atica usam-se valores aproximados obtidos substituindo μ 0 em d pelo valor referente a uma amostra padr˜ao, se dispon´ıvel, ou pelo valor obtido na amostra corrente por um m´e- todo comprovadamente bem estabelecido, se existente. Por vezes, μ 0 ´e substitu´ıdo no denominador de e pelo pr´oprio x, ou pela m´edia ¯x dos resultados de um prefe- rencialmente grande n´umero de determina¸c˜oes, pr´atica tanto menos recomend´avel quanto mais inexacto se esperar que seja o m´etodo.
Note-se que se se substituir em d e e μ 0 por ¯x as medidas resultantes j´a n˜ao reflectem a exactid˜ao mas sim a precis˜ao, pois os erros sistem´aticos ser˜ao eliminados em x − ¯x que, por isso, envolve apenas os erros acidentais.
Nota 2: Em face do exposto a avalia¸c˜ao da exactid˜ao de um m´etodo exige o co- nhecimento de μ 0. Uma forma de avaliar em termos aproximados se um m´etodo ´e exacto ser´a vista no Cap. 8 do programa atrav´es da formula¸c˜ao da hip´otese incisiva de que o valor m´edio da quantidade X determinada por esse m´etodo coincide com o valor μ 0 , e da adop¸c˜ao de um crit´erio de compara¸c˜ao desse valor com a m´edia dos valores experimentais obtidos com esse m´etodo (e.g., o teste sobre o valor esperado de uma distribui¸c˜ao Normal). Se esta m´edia emp´ırica estiver significativamente afas- tada daquele valor hipot´etico, h´a ind´ıcios de que o m´etodo n˜ao dever´a ser exacto (atente-se, no entanto, que a discrepˆancia entre ¯x e o valor postulado para μ poder´a tamb´em ser devida a erros acidentais, e n˜ao s´o a erros sistem´aticos).
A chamada precis˜ao (precision) do m´etodo de determina¸c˜ao da quantidade μ 0 (ou precis˜ao de X) est´a associada com a maior ou menor concordˆancia entre os
Exerc´ıcio 1^1 : Uma amostra padr˜ao de soro sangu´ıneo cont´em 42.0g de albumina por litro. Cinco laborat´orios fazem cada um 6 determina¸c˜oes da concentra¸c˜ao de albumina (em g/l) com os seguintes resultados.
A 42.5 41.6 42.1 41.9 41.1 42. B 39.8 43.6 42.1 40.1 43.9 41. C 43.5 42.8 43.8 43.1 42.7 43. D 35.0 43.0 37.1 40.5 36.8 42. E 42.2 41.6 42.0 41.8 42.6 39.
Comente sobre a precis˜ao e exactid˜ao de cada um deste conjuntos de resultados.
(R: A – preciso e exacto; B – impreciso e exacto; C – preciso e inexacto; D – impreciso e inexacto; E – preciso e exacto se o valor aberrante (outlier ) for considerado esp´urio e, como tal, removido.)
2. Propaga¸c˜ao de erros acidentais
Num trabalho experimental a quantidade escalar de interesse, agora denotada por Y , ´e uma vari´avel aleat´oria medida indirectamente a custa de outra(s) vari´avel(is) aleat´oria(s). Tem assim importˆancia avaliar (pelo menos, aproximadamente) a pre- cis˜ao na sua medi¸c˜ao, ou mais geralmente, a sua distribui¸c˜ao de probabilidade,a custa da correspondente caracter´ıstica das vari´aveis de que ´e fun¸c˜ao.
A determina¸c˜ao exacta destas caracter´ısticas de Y apresenta, em geral, grandes dificuldades de ordem anal´ıtica. Por exemplo, se Y = g(X) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua complicada da vari´avel aleat´oria cont´ınua X, a avalia¸c˜ao de
E(Y ) =
−∞
g(x)fX (x)dx
est´a longe, em geral, de ser tranquila. A fortiori, o mesmo acontece se Y for uma fun¸c˜ao complicada de duas ou mais vari´aveis. Contudo, se Y for uma fun¸c˜ao ma- tematicamente bem comportada ´e poss´ıvel obter express˜oes anal´ıticas aproximadas para a sua m´edia e variˆancia em particular, sem grande esfor¸co. E isto que se indica´ nos resultados seguintes.
Proposi¸c˜ao 1. Seja X uma vari´avel aleat´oria com valor m´edio μ e variˆancia σ^2 e Y = g(X) uma fun¸c˜ao continuamente diferenci´avel (pelo menos at´e `a 3a^ ordem) em (^1) Fonte: Miller and Miller (1993). Statistics for Analytical Chemistry. 3rd (^) ed.. Ellis Horwood. Chichester.
x = μ. Ent˜ao E(Y ) ' g(μ) + g′′(μ)σ^2 / 2 V ar(Y ) ' [g′(μ)]^2 σ^2.
Dem. (esbo¸co): Expandindo g(x) para qualquer ponto do seu dom´ınio numa s´erie de Taylor de 2a^ ordem em torno de μ tem-se
Y = g(μ) + g′(μ)(X − μ) + g′′(μ)(X − μ)^2 /2 + R 2
onde o resto de ordem 2, R 2 , ´e uma quantidade desprez´avel quando comparada com (x − μ) `a medida que x −→ μ. Desprezando esta quantidade e tomando o valor esperado de ambos os membros, obt´em-se a 1a^ rela¸c˜ao.
Considerando agora a expans˜ao de Taylor de 1a^ ordem de g(·) tem-se
Y = g(μ) + g′(μ)(X − μ) + R 1
De novo desprezando o resto, R 1 , de 1a^ ordem e aplicando o operador variˆancia a ambos os membros, obt´em-se a 2a^ rela¸c˜ao.
Observa¸c˜ao: Se se usar a expans˜ao de 1a^ ordem para a avalia¸c˜ao de E(Y ) obt´em-se a aproxima¸c˜ao menos precisa E(Y ) ' g(μ) que, em certos casos, pode coincidir praticamente com a do resultado anterior.
Exemplo: Seja μ = 0.501 e σ = 0.001 o valor m´edio e o desvio padr˜ao da transmi- tˆancia X de uma solu¸c˜ao (raz˜ao entre a intensidade da luz transmitida e a intensi- dade da luz incidente). Ent˜ao o valor m´edio e o desvio padr˜ao da absorvˆancia dessa solu¸c˜ao, Y = − log X (log denota logaritmo decimal) s˜ao aproximadamente dados por
E(Y ) ' − log 0.501 +
2 × 0. 5012 ×^10
− 6 = 0.300 + 0. 865 × 10 − 6 ' 0. 300
σ(Y ) ' (0. 4343 / 0 .501) × 10 −^3 = 8. 6710 −^3 ,
onde 0.4343 = 1/ ln 10 = log e (note-se que (log u)′^ = (^) u ln 10u′ e (log u)′′^ = uu
′′−(u′) 2 u^2 ln 10 ). Como a concentra¸c˜ao da substˆancia em quest˜ao na referida solu¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao linear da absorvˆancia, segundo a lei de Lambert-Beer, facilmente se obtˆem neste pressuposto as express˜oes da m´edia e da variˆancia da concentra¸c˜ao com base em E(Y ) e V ar(Y ).
Proposi¸c˜ao 2. Seja (X 1 , X 2 ) um par aleat´orio com valores m´edios μi = E(Xi), des- vios padr˜oes σi =
V ar(Xi), i = 1, 2 e covariˆancia σ 12 = E [(X 1 − μ 1 )(X 2 − μ 2 )], e
Dem.: Omitida (basta seguir o racioc´ınio da demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao anterior, com base nas expans˜oes de Taylor de uma fun¸c˜ao de n vari´aveis reais).
Nota 4: Como os parˆametros indicados de Xi s˜ao geralmente desconhecidos as f´ormulas anteriores s˜ao usadas na pr´atica substituindo {μi},{σ i^2 } e {σij } pelas suas contrapartidas amostrais obtidas das m, digamos, determina¸c˜oes xik das vari´aveis Xi, respectivamente dadas por ¯xi =
k xik/m,^ s^2 i^ =^
∑^ k^ (xik^ −^ ¯xi)^2 /(m^ −^ 1) e^ sij^ = k (xik^ −^ ¯xi)(xjk^ −^ x¯j^ )/(m^ −^ 1), e encarando os correspondentes segundos membros como aproxima¸c˜oes da m´edia e da variˆancia das decorrentes determina¸c˜oes yk = g(x 1 k,... , xnk) de Y. As respectivas express˜oes do desvio padr˜ao (ou da variˆancia ou do coeficiente de varia¸c˜ao) exprimem a denominada lei de propaga¸c˜ao (ou da acumula¸c˜ao) dos erros (acidentais).
Exerc´ıcio 2: Demonstre os resultados aproximados abaixo discriminados relativos a fun¸c˜oes que surgem frequentemente em an´alises qu´ımicas (a, b e n s˜ao constantes):
Y E(Y ) σ(Y ) Y = a + bXn^ a + bμn^ + bn(n 2 − 1)μn−^2 σ^2 bnμn−^1 σ Y = ea(X−b)^ ea(μ−b)^ + a 22 ea(μ−b)σ^2 aea(μ−b)σ Y = aX 1 X 2 a (μ 1 μ 2 + σ 12 ) a
√ μ^22 σ^21 + μ^21 σ^22 + 2μ 1 μ 2 σ 12 Y = aX 1 /X 2 ∗^ a
( (^) μ 1 μ 2 +^
σ^22 μ 1 μ^32 −^
σ 12 μ^22
) (^) a μ 2
√ σ^21 + σ^2 μμ 2221 − 2 σ^12 μ 2 μ^1 Y = aX 1 X 2 /(X 3 X 4 ) ∗∗^ a μ μ^13 μμ^24 a μ μ^13 μμ^24
√∑ 4 i=1 (σi/μi)^2
- (μ 2 > 0); ** ({Xi} indep., {μi > 0 })
Quando se reconhece a existˆencia de erros sistem´aticos e, n˜ao sendo poss´ıvel elimin´a- -los, se consegue majorar alguma das medidas de exactid˜ao mencionadas, ent˜ao tamb´em se pode analisar a propaga¸c˜ao desses erros ao longo dos v´arios c´alculos mas a sua acumula¸c˜ao segue regras diferentes pelo facto de estes erros ocorrerem num sentido definido (e conhecido), enquanto os erros aleat´orios podem neutralizar-se numa certa medida. Com efeito, se as determina¸c˜oes de X 1 e X 2 forem afectadas de um erro sistem´atico de +1, o erro sistem´atico acumulado em Y = X 1 + X 2 ser´a de +2. Por´em, se X 1 e X 2 forem afectadas de um erro aleat´orio de ±1, o erro aleat´orio acumulado em Y n˜ao ´e ±2 porque poder´a haver determina¸c˜oes de X 1 e X 2 com erros aleat´orios de +1 e −1, respectivamente (ou vice-versa), resultando no cancelamento do erro na correspondente avalia¸c˜ao de Y.
Devido `a n˜ao aleatoriedade dos erros sistem´aticos, as regras da sua propaga¸c˜ao n˜ao ser˜ao aqui abordadas, pelo que se remetem os interessados neste t´opico para livros de An´alise Qu´ımica Quantitativa, por exemplo.