prova 2007 RESUMO, Resumos de Informática

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POSCOMP – 2007

Exame de Sele¸c˜ao para P´os-Gradua¸c˜ao em

Ciˆencia da Computa¸c˜ao

Caderno de Quest˜oes

Nome do Candidato:

Identidade:

Instru¸c˜oes Gerais aos Candidatos

• O tempo total de dura¸c˜ao do exame ser´a de 4 horas.
• Vocˆe receber´a uma Folha de Respostas junto do Caderno de Quest˜oes. Confira se o seu Caderno de Quest˜oes est´a completo. O n´umero de quest˜oes ´e: (a) Matem´atica (MT): 20 quest˜oes (da 1 a 20); (b) Fundamentos da Computa¸c˜ao (FU): 20 quest˜oes (da 21a 40); (c) Tecnologia da Computa¸c˜ao (TE): 30 quest˜oes (da 41 `a 70).
• Coloque o seu nome e n´umero de identidade ou passaporte no Caderno de Quest˜oes.
• Verifique se seu nome e identidade est˜ao corretos na Folha de Respostas e assine-a no local apropriado. Se houver discrepˆancia, entre em contato com o examinador.
• A Folha de Respostas deve ser preenchida dentro do tempo de prova.
• O preenchimento do formul´ario ´otico (Folha de Respostas) deve ser feito com caneta esferogr´afica azul ou preta (n˜ao pode ser de outra cor e tem que ser esferogr´afica). E´ tamb´em poss´ıvel realizar o preenchimento com l´apis preto n´umero 2, contudo, o mais seguro ´e o uso de caneta. Cuidado com a legibilidade. Se houver d´uvidas sobre a sua resposta, ela ser´a considerada nula.
• O examinador avisar´a quando estiver faltando 15 minutos para terminar o tempo, e novamente quando o tempo terminar.
• Ao terminar o tempo, pare imediatamente de escrever. N˜ao se levante at´e que todas as provas tenham sido recolhidas pelos examinadores.
• Vocˆe poder´a ir embora caso termine a prova antes do tempo, mas isso s´o ser´a poss´ıvel ap´os a primeira hora de prova.
• As Folhas de Respostas e os Cadernos de Quest˜oes ser˜ao recolhidos no final da prova.
• N˜ao ´e permitido tirar d´uvidas durante a realiza¸c˜ao da prova.

4. [MT] E´ CORRETO afirmar

(a) que os autovalores de uma matriz n˜ao-singular s˜ao positivos. (b) que, para uma matriz A, λ ´e autovalor de A se, e somente se, λ^2 ´e um autovalor de A^2. (c) que, se uma matriz ´e igual a sua inversa, ent˜ao seus autovalores s˜ao iguais a 1. (d) que, se u e v s˜ao vetores n˜ao-nulos de Rn, ent˜ao u ´e autovetor da matriz uvT^. (e) que, se uma matriz quadrada tem entradas reais, ent˜ao seus autovalores s˜ao n´ume- ros reais.

5. [MT] Dados dois vetores −→u e −→v ∈ R^2 , o vetor −→u tem origem em (− 1 , 4) e extremidade em (3, 5) e o vetor −→v ´e igual a (− 10 , 7). Considere −→w o vetor em R^2 que apresenta comprimento igual a 5 e ´e perpendicular `a soma dos vetores −→u e −→v. Nesse caso, o vetor −→w pode ser expresso por (a) (3, 4) (b) (3, −4) (c) (− 4 , 3) (d) (4, 3) (e) (− 3 , −4)

6. [MT] Um trabalho de monitoramento do fluxo de acesso ao provedor de rede de deter- minada institui¸c˜ao foi efetivado durante uma hora, no per´ıodo das 19 as 20 horas. A taxa estimada R(t) segundo a qual ocorre o acessoa rede ´e modelada pela express˜ao

R(t) = 100(1 − 0 , 0001 t^2 ) usu´arios/minuto,

em que t indica o tempo (em minutos) a partir das 19 h. Considere as quest˜oes.

• Quando ocorre o pico no fluxo de acesso `a rede?
• Qual ´e a estimativa para o n´umero de usu´arios que est˜ao acessando a rede durante a hora monitorada? Assinale a alternativa que apresenta as melhores aproxima¸c˜oes contendo as respostas CORRETAS a essas quest˜oes. (a) Das 20 : 30 as 21 : 30 horas; mais de 5.000 usu´arios. (b) Das 20 : 30as 21 : 30 horas; menos de 5.000 usu´arios. (c) Das 19 : 30 as 20 : 30 horas; mais de 5.000 usu´arios. (d) Das 19 : 30as 20 : 30 horas; menos de 5.000 usu´arios. (e) Nenhuma das aproxima¸c˜oes cont´em as respostas.

7. [MT] Considere a fun¸c˜ao f : R → R definida pela express˜ao:

f (x) =

{ (^) x (^2) , se x ≤ 0 , x^2 + 1, se x > 0 , Com base nesses dados, assinale a alternativa que apresenta a afirmativa VERDADEIRA: (a) limx→ 0 −^ f ′(x) = limx→ 0 +^ f ′(x) mas f ′(0) n˜ao existe. (b) limx→ 0 − f (x) = 0 e limx→ 0 + f (x) = 1 = f (0). (c) f (x) ´e cont´ınua mas n˜ao ´e diferenci´avel. (d) f ′(x) ´e decrescente e f (x) ≥ 0 se x ∈ (−∞, 0). (e) limx→∞ f (x) = ∞ e limx→−∞ f ′(x) = +∞.

10. [MT] Dados os conceitos de coerˆencia e completeza de um sistema dedutivo, analise as seguintes afirmativas. I. Existe pelo menos um sistema de dedu¸c˜ao coerente e completo para a L´ogica Proposicional. II. Todo sistema de dedu¸c˜ao para a L´ogica de Predicados de Primeira Ordem que ´e completo tamb´em ´e coerente. III. Existe pelo menos um sistema de dedu¸c˜ao coerente e completo para a L´ogica de Predicados de Primeira Ordem. A partir da an´alise, pode-se concluir que ´e(s˜ao) VERDADEIRA(S) (a) nenhuma das afirmativas. (b) somente as afirmativas I e II. (c) somente as afirmativas I e III. (d) somente as afirmativas II e III. (e) todas as afirmativas.

11. [MT] Considere a seguinte linguagem de primeira ordem:
    • constantes: a, b
    • vari´aveis: x, y
    • predicados un´arios: P
    • predicados bin´arios: R Considere a seguinte fun¸c˜ao de interpreta¸c˜ao I para essa linguagem, com valores no conjunto N dos n´umeros naturais:

• I(a) = I(b) = 0
• I(P ) = {n | n < 4 }
• I(R) = {(x, y) | x < y} Dadas as seguintes f´ormulas: I. P (a) II. ∀x, y : R(x, y) → R(y, x) III. ∃x : R(x, a) Em rela¸c˜ao `a fun¸c˜ao de interpreta¸c˜ao I definida acima, pode-se afirmar que ´e(s˜ao) VERDADEIRA(AS) (a) somente a f´ormula I. (b) somente as f´ormulas I e II. (c) somente a f´ormula III. (d) nenhuma das f´ormulas. (e) todas as f´ormulas.

15. [MT] Analise as seguintes alternativas e assinale a que apresenta uma afirmativa FALSA. (a) Se∑ (^) rA 1 , A 2 , · · · , Ar s˜ao conjuntos disjuntos, ent˜ao |A 1 ∪ · · · ∪ Ar ∪ B| = |B| + i=1(|Ai^ −^ B|). (b) 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + · · · + 2n^ = 2n+1^ − 1, para todo n ∈ N. (c) Cn p +p+1= ∑pr=0 Crn +r, para todo n ∈ N e p ∈ N. (d) Sejam k ∈ N e A ⊆ N. Se k ∈ A e (n ∈ A, n ≥ k ⇒ n + 1 ∈ A), ent˜ao A = N. (e) Existe exatamente uma alternativa falsa dentre as anteriores.
16. [MT] Analise as seguintes afirmativas.

I. Seja A = P(X) o conjunto dos subconjuntos de um conjunto X. A rela¸c˜ao  = {(a, a′) : a ∈ A, a′^ ∈ A, a ⊆ a′} ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial. II. Se R ´e uma rela¸c˜ao bin´aria sim´etrica e anti-sim´etrica, ent˜ao R = ∅. III. Seja R uma rela¸c˜ao reflexiva em um conjunto A. Ent˜ao, R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia se e somente se ((a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R ⇒ (c, a) ∈ R). IV. Se F e G s˜ao duas fun¸c˜oes invers´ıveis, ent˜ao G ◦ F ´e uma fun¸c˜ao invers´ıvel. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade de afirmativas CORRETAS. (a) 0 (zero) (b) 1 (uma) (c) 2 (duas) (d) 3 (trˆes) (e) 4 (quatro)

17. [MT] Sejam R e S rela¸c˜oes em um conjunto A o qual cont´em pelo menos trˆes elementos. Analise as seguintes afirmativas. I. Se R e S s˜ao sim´etricas, ent˜ao R ∩ S ´e sim´etrica. II. Se R e S s˜ao sim´etricas, ent˜ao R ∪ S ´e sim´etrica. III. Se R e S s˜ao reflexivas, ent˜ao R ∩ S ´e reflexiva. IV. Se R e S s˜ao reflexivas, ent˜ao R ∪ S ´e reflexiva. A an´alise permite concluir que est´a(˜ao) CORRETA(AS) (a) apenas a afirmativa I. (b) apenas as afirmativas I e II. (c) apenas as afirmativas II e IV. (d) apenas as afirmativas III e IV. (e) todas as afirmativas.
18. [MT] Um professor de programa¸c˜ao passa um trabalho e avisa a turma que vai utilizar um verificador autom´atico para detectar trabalhos copiados. Os alunos descobrem que o verificador n˜ao ´e capaz de identificar a c´opia se as linhas do programa n˜ao aparecem na mesma ordem. Al´em disso, eles tamb´em descobrem que uma rotina do trabalho de um de seus colegas continua funcionando corretamente se as linhas s˜ao trocadas de ordem, mas nenhuma linha aparecea distˆancia maior do que 1 de sua posi¸c˜ao original. Indique o n´umero de alunos que podem entregar uma c´opia do trabalho quando n = 7 (incluindo o pr´oprio autor do trabalho). (a) 32 (b) 21 (c) 14 (d) 128 (e) 64

QUEST OES DE FUNDAMENTOS DA COMPUTAC˜ ¸ AO˜

21. [FU] Um processador tem a seguinte hierarquia de mem´oria: uma cache com latˆencia de acesso de 1ns e uma mem´oria principal com latˆencia de acesso de 100ns. O acesso a mem´oria principal somente ´e realizado ap´os o valor n˜ao ser encontrado na cache. A MAIOR taxa de cache miss aceit´avel para que o tempo m´edio de acessoa mem´oria seja menor ou igual `a 2ns ´e (a) 10% (b) 5% (c) 50% (d) 1% (e) 2%
22. [FU] Observe o circuito l´ogico abaixo.

A express˜ao booleana de sa´ıda S do circuito representado ´e (a) A + B · C (b) A (c) B (d) A · B · C (e) A + B · C

23. [FU] Seja T uma ´arvore AVL vazia. Supondo que os elementos 5, 10, 11, 7, 9, 3 e 6 sejam inseridos nessa ordem em T , indique a seq¨uˆencia abaixo que corresponde a um percurso de T em p´os-ordem. (a) 3, 5, 6, 7, 9, 10 e 11. (b) 7, 5, 3, 6, 10, 9 e 11. (c) 9, 10, 7, 6, 11, 5 e 3. (d) 11, 10, 9, 7, 6, 5 e 3. (e) 3, 6, 5, 9, 11, 10 e 7.
24. [FU] Considere um arquivo texto que contenha uma mensagem de 10.000 caracteres utilizando os caracteres A, B e C, com probabilidades 0, 1, 0, 1 e 0, 8 respectivamente. Ao utilizar o algoritmo de Huffman para compress˜ao/codifica¸c˜ao do referido texto, as seguintes afirmativas s˜ao apresentadas. I. O comprimento m´edio dos c´odigos para os referidos caracteres ´e 1, 2. II. Se forem utilizados todos os pares poss´ıveis de s´ımbolos para a constru¸c˜ao da ´arvore de Huffman, ent˜ao o comprimento m´edio dos c´odigos para os referidos pares ´e menor que 1, 2 por caractere. III. A codifica¸c˜ao de Huffman a partir de todos os pares poss´ıveis de caracteres sempre produz c´odigos de menor comprimento m´edio. Os dados acima permitem afirmar que (a) apenas a afirmativa I ´e verdadeira. (b) apenas as afirmativas I e II s˜ao verdadeiras. (c) apenas as afirmativas I e III s˜ao verdadeiras. (d) apenas as afirmativas II e III s˜ao verdadeiras. (e) todas as afirmativas s˜ao verdadeiras.

27. [FU] Assinale a alternativa que apresenta a afirmativa FALSA.

(a) Uma linguagem L ´e aceita por uma M´aquina de Turing n˜ao determin´ıstica com k fitas, m dimens˜oes, n cabe¸cotes de leitura e grava¸c˜ao por fita se, e somente se, ela ´e aceita por uma M´aquina de Turing determin´ıstica com uma fita infinita em apenas um sentido e um cabe¸cote de leitura e grava¸c˜ao. (b) Um problema ´e dito ser decid´ıvel se a linguagem associada a esse problema ´e recursiva. (c) O conjunto de todos os programas que p´aram para uma dada entrada ´e um conjunto recursivo mas n˜ao recursivamente enumer´avel. (d) Uma fun¸c˜ao ´e parcialmente comput´avel se, e somente se, ela pode ser obtida a partir de fun¸c˜oes iniciais (por exemplo, sucessor, zero e proje¸c˜ao) por um n´umero finito de aplica¸c˜oes de composi¸c˜ao, recurs˜ao primitiva e minimaliza¸c˜ao. (e) Uma M´aquina de Turing Universal U toma como argumentos uma descri¸c˜ao de uma M´aquina de Turing qualquer M e uma entrada x para M , e executa as mesmas opera¸c˜oes sobre x que seriam executadas por M , ou seja, U simula M sobre x.

28. [FU] Considere o seguinte enunciado e as possibilidades de sua complementa¸c˜ao. A regra de inferˆencia utilizada pela linguagem Prolog, denominada “regra de resolu- ¸c˜ao”, I. opera com f´ormulas contendo apenas quantificadores existenciais. II. ´e capaz de reduzir f´ormulas quantificadas `a suas correspondentes formas clausais. III. opera sobre f´ormulas em forma clausal pelo corte de literais de sinais opostos. IV. opera sobre f´ormulas em forma clausal pelo corte de literais de mesmo sinal. V. produz dedu¸c˜oes que evitam a constru¸c˜ao de ´arvores de dedu¸c˜ao lineares. Completa(m) CORRETAMENTE o enunciado acima (a) apenas o item II. (b) apenas o item III. (c) apenas o item IV. (d) apenas os itens I e II. (e) apenas os itens III e V.

29. [FU] Analise as seguintes afirmativas.

I. Encapsulamento ´e a capacidade de uma opera¸c˜ao atuar de modos diversos em classes diferentes. II. Polimorfismo ´e o compartilhamento de atributos e m´etodos entre classes com base em um relacionamento hier´arquico. III. Heran¸ca consiste no processo de oculta¸c˜ao dos detalhes internos de implementa¸c˜ao de um objeto. IV. Sobreposi¸c˜ao ´e a redefini¸c˜ao das fun¸c˜oes de um m´etodo herdado. Os m´etodos apresentam assinaturas iguais. V. Em JAVA, todos os m´etodos numa classe abstrata devem ser declarados como abstratos. A partir da an´alise, pode-se concluir que (a) apenas a afirmativa IV est´a correta. (b) apenas as afirmativas III e IV est˜ao corretas. (c) apenas as afirmativas I, IV e V est˜ao corretas. (d) apenas as afirmativas I, III e V est˜ao corretas. (e) todas as afirmativas s˜ao falsas.

31. [FU] Considere o problema do caixeiro viajante, definido como se segue. Sejam S um conjunto de n n ≥ 0 cidades, e dij > 0 a distˆancia entre as cidades i e j, i, j ∈ S, i 6 = j. Define-se um percurso fechado como sendo um percurso que parte de uma cidade i ∈ S, passa exatamente uma vez por cada cidade de S{i}, e retorna a cidade de origem. A distˆancia de um percurso fechado ´e definida como sendo a soma das distˆancias entre cidades consecutivas no percurso. Deseja-se encontrar um percurso fechado de distˆancia m´ınima. Suponha um algoritmo guloso que, partindo da cidade 1, move-se para a cidade mais pr´oxima ainda n˜ao visitada e que repita esse processo at´e passar por todas as cidades, retornandoa cidade 1. Considere as seguintes afirmativas. I. Todo percurso fechado obtido com esse algoritmo tem distˆancia m´ınima. II. O problema do caixeiro viajante pode ser resolvido com um algoritmo de com- plexidade linear no n´umero de cidades. III. Dado que todo percurso fechado corresponde a uma permuta¸c˜ao das cidades, existe um algoritmo de complexidade exponencial no n´umero de cidades para o problema do caixeiro viajante. Em rela¸c˜ao a essas afirmativas, pode-se afirmar que (a) I ´e falsa e III ´e correta. (b) I, II e III s˜ao corretas. (c) apenas I e II s˜ao corretas. (d) apenas I e III s˜ao falsas. (e) I, II e III s˜ao falsas.

32. [FU] Observe as fun¸c˜oes representadas no gr´afico abaixo.

f ( n )

g (^ n^ )

h ( n )

i( n )

Assinale a afirmativa FALSA sobre o crescimento assint´otico dessas fun¸c˜oes. (a) f (n) = O(h(n)) e i(n) = Ω(g(n)). (b) f (n) = Θ(h(n)) e i(n) = Ω(h(n)). (c) g(n) = O(i(n)) e h(n) = Ω(g(n)). (d) g(n) = O(i(n)), i(n) = O(f (n)) e, portanto, g(n) = O(f (n)). (e) h(n) = Ω(i(n)), logo, i(n) = O(h(n)).