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Prova 1 - Cálculo III: Questões Resolvidas com Equações Diferenciais e Laplace, Provas de Cálculo

Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)Cálculo

Documento contém as questões e soluções de uma prova de cálculo iii (vespertino) da universidade estadual de campinas, relacionadas a equações diferenciais ordinárias e transformadas de laplace. As questões abordam diferentes tipos de equações, como equações de bernoulli, equações homogêneas e não-homogêneas, e problemas de valor inicial. Além disso, o documento fornece instruções para realização da prova e explicações sobre as propriedades da tabela de transformadas de laplace.

Tipologia: Provas

2021

Compartilhado em 21/03/2021

gabrielmendessilva17
gabrielmendessilva17 🇧🇷

2 documentos

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bg1
IMECC Universidade Estadual de Campinas
Prova 1
MA311 - Vespertino — Cálculo III
1o. Semestre de 2020
Instruções
ATENÇÃO: ANTES de iniciar a resolução das questões, determine quais lhe correspondem!
•Para determinar quais questões devem ser resolvidas por você, utilize a planilha Google Sheet
anexa a esta Prova na plataforma Google Classroom. Nela, insira seu RA no campo em amarelo , aperte
Enter e observe as questões indicadas.
•NÃO altere quaisquer outras células da planilha.
•Para cada questão A, B, C, D, existem três possibilidades 0, 1, 2.
Anote quais lhe correspondem de acordo com a planilha.
•Para o caso (improvável) de você acidentalmente apagar a sua cópia da planilha sem ter anotado as questões,
oGoogle Classroom lhe apresenta a opção de “fazer uma cópia” novamente.
•É SUA responsabilidade assegurar-se de que você resolverá as questões designadas a você.
•Caso você resolva questões diferentes das que lhe forem designadas, elas nem sequer serão
corrigidas.
1. Para esta Prova, estima-se que 1h40 são suficientes para se realizar a resolução das questões e transcrevê-las
de forma adequada para submissão.
2. Você terá ainda 50 minutos adicionais que devem ser alocados para você poder calmamente escanear e
submeter sua Resolução via Google Classroom da forma como têm sido submetidas as Listas Avaliativas.
3. O horário LIMITE para realizar sua submissão é 16:30hs. Não serão corrigidas Resoluções entregues com
atraso em nenhuma hipótese e nem se forem enviadas por qualquer outro meio eletrônico!
4. Por se tratar de avaliação de conhecimentos adquiridos por cada aluno, a resolução desta Prova
deve ser um trabalho individual sem consulta direta or indireta a outras pessoas.
Qualquer tentativa de cola ou fraude acarretará nota zero nesta Lista para todos os
implicados, além das sanções previstas no Regimento Geral da UNICAMP (em particular, o
Art. 227, inciso VII, e os Art. 228 a 231).
5. Justifique detalhadamente todas as respostas. Indique as propriedades que estão sendo utiliza-
das em cada passo, e mostre suas contas de forma organizada.
6. As submissões devem seguir estritamente o seguinte formato:
(a) As resoluções devem ser manuscritas, sem rasuras, escaneadas, formando um único documento PDF.
(b) No topo da primeira página das suas resoluções, coloque seu nome e RA de forma bem legível e, em
seguida, a sua assinatura conforme esta conste em seu RG ou CNH.
(c) Inicie a resolução de CADA questão no topo de uma nova página indicando o número da questão
claramente.
(d) É sua responsabilidade garantir que o arquivo escaneado seja legível. Para isso, recomenda-se o uso de um
aplicativo para celular (Android ou iOS) como Adobe Scan (ou CamScanner ou Office Lens ou similar)
para escanear as páginas manuscritas e, em seguida, fazer os devidos ajustes de contraste. Esses Apps
facilitam a inclusão de múltiplas páginas em um único PDF.
(e) Submissões constituídas meramente de arquivos de fotos (jpg,png, etc.), serão desconsideradas e rece-
berão nota zero.
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Baixe Prova 1 - Cálculo III: Questões Resolvidas com Equações Diferenciais e Laplace e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!

IMECC Universidade Estadual de Campinas

Prova 1

MA311 - Vespertino — Cálculo III

1 o. Semestre de 2020

Instruções

ATENÇÃO: ANTES de iniciar a resolução das questões, determine quais lhe correspondem!

  • Para determinar quais questões devem ser resolvidas por você, utilize a planilha Google Sheet anexa a esta Prova na plataforma Google Classroom. Nela, insira seu RA no campo em amarelo , aperte Enter e observe as questões indicadas.
  • NÃO altere quaisquer outras células da planilha.
  • Para cada questão A, B, C, D, existem três possibilidades 0, 1, 2. Anote quais lhe correspondem de acordo com a planilha.
  • Para o caso (improvável) de você acidentalmente apagar a sua cópia da planilha sem ter anotado as questões, o Google Classroom lhe apresenta a opção de “fazer uma cópia” novamente.
  • É SUA responsabilidade assegurar-se de que você resolverá as questões designadas a você.
  • Caso você resolva questões diferentes das que lhe forem designadas, elas nem sequer serão corrigidas.
  1. Para esta Prova, estima-se que 1h40 são suficientes para se realizar a resolução das questões e transcrevê-las de forma adequada para submissão.
  2. Você terá ainda 50 minutos adicionais que devem ser alocados para você poder calmamente escanear e submeter sua Resolução via Google Classroom da forma como têm sido submetidas as Listas Avaliativas.
  3. O horário LIMITE para realizar sua submissão é 16:30hs. Não serão corrigidas Resoluções entregues com atraso em nenhuma hipótese e nem se forem enviadas por qualquer outro meio eletrônico!
  4. Por se tratar de avaliação de conhecimentos adquiridos por cada aluno, a resolução desta Prova deve ser um trabalho individual sem consulta direta or indireta a outras pessoas. Qualquer tentativa de cola ou fraude acarretará nota zero nesta Lista para todos os implicados, além das sanções previstas no Regimento Geral da UNICAMP (em particular, o Art. 227, inciso VII, e os Art. 228 a 231).
  5. Justifique detalhadamente todas as respostas. Indique as propriedades que estão sendo utiliza- das em cada passo, e mostre suas contas de forma organizada.
  6. As submissões devem seguir estritamente o seguinte formato: (a) As resoluções devem ser manuscritas, sem rasuras, escaneadas, formando um único documento PDF. (b) No topo da primeira página das suas resoluções, coloque seu nome e RA de forma bem legível e, em seguida, a sua assinatura conforme esta conste em seu RG ou CNH. (c) Inicie a resolução de CADA questão no topo de uma nova página indicando o número da questão claramente. (d) É sua responsabilidade garantir que o arquivo escaneado seja legível. Para isso, recomenda-se o uso de um aplicativo para celular (Android ou iOS) como Adobe Scan (ou CamScanner ou Office Lens ou similar) para escanear as páginas manuscritas e, em seguida, fazer os devidos ajustes de contraste. Esses Apps facilitam a inclusão de múltiplas páginas em um único PDF. (e) Submissões constituídas meramente de arquivos de fotos (jpg, png, etc.), serão desconsideradas e rece- berão nota zero.

QUESTÃO A

A.0. Mostre que a seguinte equação é de Bernoulli e indique qual a substituição (i.e. mudança de variável) que a torna linear. Resolva-a pelo método de Bernoulli. xy′^ − y = x^2 y^6 x > 0.

A.1. Mostre que a seguinte equação é homogênea e resolva-a com a substituição y(x) = xv(x):

dy dx

x − y x + y

x > 0.

A.2. Resolva a seguinte e.d.o. por redução de ordem com a substituição v(y(x)) = y′(x):

y^2 y′′^ − (y′)^3 = 0 y > 0 , y′^ > 0.

QUESTÃO B

B.0. Dada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, encontre a solução complementar da equação homogênea as- sociada. Em seguida, encontre a solução particular da equação diferencial pelo método de Coeficientes Indeterminados. y(4)^ + y′′′^ = 2x + sen 2 x.

B.1. Dada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, encontre a solução complementar da equação homogênea as- sociada yc(x) = c 1 (x)y 1 (x) + c 2 (x)y 2 (x) + c 3 (x)y 3 (x). Em seguida, encontre a solução particular yp(x) = u 1 (x)y 1 (x) + u 2 (x)y 2 (x) + u 3 (x)y 3 (x) da equação diferencial pelo método de Variação de Parâmetros. y(3)^ − 2 y′′^ − y′^ + 2y = e^4 x.

Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema: (^)  



u′ 1 (x)y 1 (x) + u′ 2 (x)y 2 (x) + u′ 3 (x)y 3 (x) = 0 u′ 1 (x)y 1 ′(x) + u′ 2 (x)y 2 ′(x) + u′ 3 (x)y′ 3 (x) = 0 u′ 1 (x)y 1 ′′ (x) + u′ 2 (x)y′′ 2 (x) + u′ 3 (x)y′′ 3 (x) = f (x)

B.2. Dada a seguinte e.d.o. linear não-homogênea, mostre que y 1 (x) = 1 + x e y 2 (x) = ex^ são soluções da e.d.o. ho- mogênea associada. Em seguida, encontre a solução particular para a e.d.o. usando o método de Variação de Parâmetros. xy′′^ − (1 + x)y′^ + y = x^2 e^2 x, x > 0. Não utilize fórmulas prontas, mas mostre como se chega à solução da e.d.o. acima usando a regra de Crammer para o sistema: (^) { u′ 1 (x)y 1 (x) + u′ 2 (x)y 2 (x) = 0 u′ 1 (x)y′ 1 (x) + u′ 2 (x)y′ 2 (x) = f (x)

Tabela de Transformadas de Laplace

Propriedade f (t) F (s)

s

(2) eat^

s − a

(3) tn^

n!

sn+

(4) ta^

Γ(a + 1)

sa+

(5) sen at

a

s^2 + a^2

(6) cos at

s

s^2 + a^2

(7) senh at

a

s^2 − a^2

(8) cosh at

s

s^2 − a^2

(9) eatsen bt

b

(s − a)^2 + b^2

(10) eatcos bt

(s − a)

(s − a)^2 + b^2

(11) tneat^

n!

(s − a)n+

Propriedade f (t) F (s)

(12) uc(t) = u(t − c)

e−cs

s

(13) uc(t)f (t − c) e−csF (s)

(14) ectf (t) F (s − c)

(15) f (ct)

c

F

( s

c

)

∫ (^) t

0

f (t − τ )g(τ )dτ F (s)G(s)

(17) δc(t) = δ(t − c) e−cs

(18) f (n)(t) snF (s) − sn−^1 f (0) −... − f (n−1)(0)

∫ (^) t

0

f (τ )dτ

F (s)

s

f (t)

t

∫ (^) ∞

s

F (σ)dσ

(21) (−t)nf (t) F (n)(s)

(22) f (t), período p

1 − e−ps

∫ (^) p

0

e−stf (t)dt