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UAB - UFJF - GABARITO da AP1 de C´alculo III Professor: Grigori Chapiro
Aluno(a):
Polo: Data: 25/09/
Obs.: Cont´em 4 quest˜oes. Prova individual sem consulta e sem calcu- ladora. Resposta final a caneta.
Quest˜ao 1 (25 pts.). Dada a fun¸c˜ao f : R^2 → R definida por
f (x, y) =
x^3 x^2 + y^2
(x, y) 6 = (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
(a) Determine o dom´ınio de continuidade desta fun¸c˜ao. (b) Calcule (se poss´ıvel) as derivadas parciais na origem.
Solu¸c˜ao: (a) A fun¸c˜ao f (x, y) ´e cont´ınua para todos os pontos onde x^2 + y^2 6 = 0, portanto basta verificar se f (x, y) ´e cont´ınua na origem. Para isso efetuamos o seguinte c´alculo (usado v´arias vezes na apostila) ∣ ∣ ∣ ∣
x^3 x^2 + y^2
∣ =^ |x|
x^2 x^2 + y^2
∣ ≤ |x| ·^ 1 =^ |x|.
Portanto
0 ≤ lim (x,y)→(0,0)
x^3 x^2 + y^2
∣ ≤^ (x,ylim)→(0,0)^ |x|^ = 0.
Logo lim (x,y)→(0,0)
x^3 x^2 + y^2
∣ = 0 e conseq¨uentemente^ (x,ylim)→(0,0)
x^3 x^2 + y^2
Dom´ınio de continuidade ´e R^2.
(b) Substituindo na defini¸c˜ao:
∂f ∂x
(0, 0) = lim h→ 0
f (0 + h, 0) − f (0, 0) h
= lim h→ 0
h^3 h^2 +0 −^0 h
= lim h→ 0
∂f ∂y
(0, 0) = lim h→ 0
f (0, 0 + h) − f (0, 0) h
= lim h→ 0
0 0+h^2 −^0 h
= lim h→ 0
Pontua¸c˜ao: Erro de conta (-5pts). Resposta sem justificativa 0 pts. (a) 15 pts. Quem lembrou da defini¸c˜ao de continuidade ganhou 10 pts. (b) 10 pts. Quem lembrou da defini¸c˜ao da derivada parcial ganhou 5 pts.
Quest˜ao 2 (25 pts.). Definimos uma regi˜ao no espa¸co por: R = {(x, y, z) ∈ R^3 , − 1 ≤ x ≤ 1 , x > y^2 + z^2 }. (a) Responda, justificando, se os pontos (2, 1 , 1) e (0, − 1 , 1) s˜ao pontos de acumula¸c˜ao de R. (b) Fa¸ca um esbo¸co desta regi˜ao.
Solu¸c˜ao: (a) x = y^2 +z^2 ´e a equa¸c˜ao de um parabol´oide el´ıptico regular. Portanto a regi˜ao R ´e a regi˜ao limitada pelo parabol´oide e pelo plano x = 1. Um ponto ´e de acumula¸c˜ao se estiver no interior ou na fronteira da regi˜ao R. Testando o ponto A = (2, 1 , 1): 2 > 1, A est´a fora da regi˜ao R. Testando o ponto B = (0, − 1 , 1): 0 < (−1)^2 + 1^2 , B est´a fora da regi˜ao R.
(b) Embora n˜ao era necess´ario, eu coloquei os pontos A e B na figura abaixo. OBS: A informa¸c˜ao que − 1 ≤ x ´e desnecess´aria pois y^2 + z^2 ≥ 0, ∀y, z.
Figura 1. A regi˜ao R ´e o interior do “copo”.
Pontua¸c˜ao: (a) 15 pts. Lembrou da defini¸c˜ao do ponto de acumula¸c˜ao ou algum resultado equivalente 5 pts. Teste para os pontos A e B (5 pts.) cada. Resposta sem justificativa ou com justificativa errada (0 pts.) (b) Esbo¸co da regi˜ao (tem que aparecer o parabol´oide) 10 pts.
Quest˜ao 4 (25 pts.). Encontre a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f : R^2 → R, f (x, y) = y cos(xy) no ponto (x, y, z) = (1, π, −π).
Solu¸c˜ao: Primeiramente temos que verificar se o ponto dado ´e realmente um ponto da superf´ıcie. f (1, π) = πcos(1 · π) = −π. As derivadas parciais da fun¸c˜ao no ponto (1, π, −π) s˜ao: ∂f ∂x
= −y^2 sen(xy),
∂f ∂x
(1, π) = −π^2 sen(1 · π) = 0;
∂f ∂y
= cos(xy) − xysen(xy),
∂f ∂y
(1, π) = cos(π) − 1 · πsen(π) = − 1.
Usando a equa¸c˜ao da apostila temos:
z = f (1, π) +
∂f ∂x
(1, π)(x − 1) +
∂f ∂y
(1, π)(y − π).
z = −π + 0(x − 1) + (−1)(y − π) = −π − y + π = −y.
Equa¸c˜ao do plano: z + y = 0.
Pontua¸c˜ao: Dei 5 pts. para quem lembrou da equa¸c˜ao mas n˜ao tem menor id´eia o que fazer com ela. Erro de conta -5pts.
