Baixe Exercícios de Cálculo III: Soluções e Pontuações e outras Provas em PDF para Física, somente na Docsity!
UAB - UFJF - GABARITO da AP2 de C´alculo III Professor: Grigori Chapiro
Quest˜ao 1 (30 pts.). Sejam g : R → R e f : R^2 → R dadas por
g(t) = sen(t), f (x, y) = x − y.
(a) Determine a fun¸c˜ao g ◦ f. (b) Calcule as derivadas parciais de g ◦ f na origem usando a regra da cadeia. (c) Seja h(x, y) = g ◦ f (x, y). Calcule as derivadas de terceira ordem: ∂xxyh(x, y) e ∂yyyh(x, y).
Solu¸c˜ao: (a) g ◦ f : R^2 → R, dada por g ◦ f (x, y) = sen(x − y). (b) ∂(g ◦ f ) ∂x
dg dt
(f (x, y)) ·
∂f ∂x
= cos(x − y),
∂(g ◦ f ) ∂y
dg dt
(f (x, y)) ·
∂f ∂y
= − cos(x − y).
(c)
∂^3 (g ◦ f ) ∂xxy
(x, y) =
∂^2
∂xx
∂(g ◦ f ) ∂y
(x, y) =
∂^2
∂xx
(− cos(x − y)) =
∂x
(sen(x − y)) = (cos(x − y)).
∂^3 (g ◦ f ) ∂yyy
(x, y) =
∂^2
∂yy
∂(g ◦ f ) ∂y
(x, y) =
∂^2
∂yy
(− cos(x − y)) =
∂y
(−sen(x − y)) = (cos(x − y)).
Pontua¸c˜ao: (a) Acertou a fun¸c˜ao 10 pts. (b) Cada uma das derivadas 5 pts. (Erro de conta - 5 pts.) (c) Cada uma das derivadas 5 pts. (Erro de conta - 5 pts.)
Quest˜ao 2 (20 pts.). Seja a fun¸c˜ao f : R^2 → R dada por f (x, y) = sen(xy). Determine a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico da f no ponto que corresponde a (x, y) = (1, π).
Solu¸c˜ao: Calculando o valor da fun¸c˜ao no ponto (x, y) = (1, π) ´e f (1, π) = 0, as derivadas parciais no ponto (x, y) = (1, π):
∂f ∂x
(1, π) = cos(xy) · y|(1,π) = −π;
2
∂f ∂y
(1, π) = cos(xy) · x|(1,π) = − 1.
A equa¸c˜ao do plano tangente ´e dada por:
z = f (1, π) +
∂f ∂x
(1, π) · [x − 1] +
∂f ∂y
(1, π) · [y − π] = 0 − π[x − 1] − [y − π],
reescrevendo: πx + y + z = 2π.
Pontua¸c˜ao: Calcular o valor da fun¸c˜ao 5 pts. Calcular cada uma das derivadas 5 pts. Acertar a equa¸c˜ao do plano 5 pts.
Quest˜ao 3 (30 pts.). Dada fun¸c˜ao f : R^2 → R, f (x, y) = x^2 − 2 y^2 − 1. (a) Encontre o gradiente de f. (b) Calcule a derivada direcional da f no ponto (x, y) = (1, 2) na dire¸c˜ao ~v = (− 1 , 1) usando o gradiente. (c) Calcule a mesma derivada direcional usando a defini¸c˜ao.
Solu¸c˜ao: (a) Calculando
∇f (x, y) =
∂f ∂x
∂f ∂y
= (2x, − 4 y).
(b) Sabemos que
∂f ∂~v
(x, y) =
∇f (x, y) · ~v ||~v||
(2x, − 4 y) · (− 1 , 1) √ 2
− 2 x − 4 y √ 2
2(x+2y).
Logo ∂f ∂~v
(c)
∂f ∂~v
(x, y) = lim t→ 0
f ((x, y) + t(− 1 , 1)) − f (x, y) t||(− 1 , 1)||
= lim t→ 0
f (x − t, y + t) − f (x, y) t
lim t→ 0
(x − t)^2 − 2(y + t)^2 − 1 − x^2 + 2y^2 + 1 t
lim t→ 0
− 2 xt + t^2 − 4 yt − 2 t^2 t
lim t→ 0 (− 2 x − 4 y − t) =
− 2 x − 4 y √ 2
Assim ∂f ∂~v
A resposta coincidiu porque a fun¸c˜ao polinomial ´e diferenci´avel.
