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Prova de Cálculo Numérico 1 - a) Para o número a = 6.6667, representa-lo na forma da notação de ponto flutuante como: sinal: + mantissa: 66667 expoente: 0 Já para o número 1 3 , precisamos escrever como decimal em uma forma finita: B = 0,33333... Para representar b na aritmética de ponto flutuante, precisamos truncar ou arredondar o número para 5 dígitos significativos. Se truncarmos, temos: sinal: + mantissa: 33333 expoente: - 1 Agora, podemos calcular a expressão a^2 − 4ab + 2b^2 usando as representações de a e b na aritmética de ponto flutuante que encontramos acima: a² = (6.6667)² = 44. 4ab = 4 x 6.6667 x ( 1 3
2b² = 2 x ( 1 3
Substituindo na expressão: A² - 4ab + 2b² = 44.444889 - 8.8884788 + 0.222222 = = 35. b) Para estimar o erro absoluto ao representar o número x = 45721 53 na aritmética de ponto flutuante iremos logo representar o número na notação de ponto flutuante e, em seguida, calcular a diferença entre o número original e sua representação na aritmética de ponto flutuante. Começando a notação de x na notação decimal:
x = 86. Para representar x na aritmética de ponto flutuante, precisamos primeiro escrevê-lo na forma decimal com uma quantidade finita de dígitos. Se truncarmos x para 5 dígitos significativos, temos: sinal: + mantissa: 86226 expoente: 0 Isso ocorre porque a mantissa tem 5 dígitos e o expoente é 0, indicando que não é necessário deslocar a vírgula para representar o número na notação de ponto flutuante. Agora, podemos calcular a diferença entre x e sua representação na aritmética de ponto flutuante: erro absoluto = x - 86. = 0.00442... Ou seja, o erro absoluto ao representar x na aritmética de ponto flutuante que estamos considerando é de aproximadamente 0.00442. 2 – a) Para x temos: 0.1 x 2 = 0.2 - > 0 0.2 x 2 = 0.4 - > 0 0.4 x 2 = 0.8 - > 0 0.8 x 2 = 1.6 - > 1 0.6 x 2 = 1.2 - > 1 0.2 x 2 = 0.4 - > 0 0.4 x 2 = 0.8 - > 0 0.8 x 2 = 1.6 - > 1 0.6 x 2 = 1.2 - > 1 0.2 x 2 = 0.4 - > 0 Representação binária: x = 0.
1 x 2^- 9 (1 vezes 1/512) 0 x 2^-10 (0 vezes 1/1024) Somando todos os termos: 0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 + 0 x 2^-3 + 0 x 2^-4 + 1 x 2^-5 + 1 x 2^-6 + 0 x 2^-7 + 0 x 2^-8 + 1 x 2^-9 + 0 x 2^- 10 = 0 + 0.25 + 0 + 0 + 0.03125 + 0.015625 + 0 + 0 + 0.001953125 + 0 = 0.2988 28125 d) Para estimar o erro na soma podemos calcular a diferença entre a soma exata de x e y na base 10 e a soma da representação binária. Logo: x + y = 0.1 + 0.2 = 0. soma binária = 0.010011001100... = 0.299999... erro = x + y - soma binária = 0.3 - 0.299999... = 0.000000... 3 –
a) O código acima plota o gráfico da função no intervalo $(0.1, 10)$:
Para usar o método da bisseção, precisamos de um intervalo [a, b] que contenha a raiz r e para o qual a função muda de sinal. Como já encontramos um intervalo [a, b] contendo r com b - a <= 1/2, podemos utilizá-lo como nosso intervalo inicial. Agora, podemos utilizar essa função para encontrar uma aproximação x da raiz r que satisfaz as condições |f(x)| < 0.001 e |x - r| < 0.0001:
Aproximação encontrada: 1. Número de iterações: 11 4 – A função que estamos interessados em encontrar a raiz é f(x) = ln(x^2 + 1) - cos(x). Para usar o método da falsa posição, vamos escolher um intervalo inicial [a, b] que contenha a menor raiz positiva da função. Podemos observar pela figura que a raiz está entre 0 e 1. Vamos começar com a escolha do intervalo [0, 1]. Em seguida, vamos calcular o valor de c que intersecta a reta entre os pontos (0, f(0)) e (1, f(1)) com o eixo x. Temos: c = (af(b) - bf(a))/(f(b) - f(a)) c = (0f(1) - 1f(0))/(f(1) - f(0)) c = 0. Agora, vamos verificar se f(c) é suficientemente próximo de zero:
Agora, podemos definir a função que queremos resolver implicitamente e utilizar o método da bisseção para encontrar uma raiz próxima a x = 10: Logo, este código irá imprimir o valor de f(10) com erro absoluto menor que 0.005.
