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Enunciados das Quest˜oes
Quest˜ao 1
Uma tubula¸c˜ao conecta uma caixa d’´agua aberta `a atmosfera e elevada em uma superf´ıcie a 3,5 m de altura. A tubula¸c˜ao tem um diˆametro interno de 20 mm. Determine a vaz˜ao de ´agua que sai da tubula¸c˜ao.
Quest˜ao 2
Um bloco de base quadrada desliza a uma velocidade constante de 2 m/s sobre uma pel´ıcula de ´agua depositada em uma superf´ıcie plana, completa- mente lisa e horizontal. Considerando-se que o escoamento entre o bloco e a superf´ıcie plana seja laminar, sabendo que a lˆamina de ´agua tem 5 mm de espessura, que a ´area da base do bloco ´e igual a 2 m² e que a viscosidade dinˆamica da ´agua ´e igual a 1 × 10 −^3 Pa.s, a for¸ca, em newtons (N), necess´aria para manter o bloco em movimento retil´ıneo e uniforme ser´a igual a:
Quest˜ao 3
Uma tubula¸c˜ao transporta petr´oleo cru e possui no ponto A vaz˜ao de l´ıquido de 240 L/s. Considere que, no ponto B, houve um estrangulamento do diˆametro da tubula¸c˜ao em 50
Quest˜ao 4
Um estudo prevˆe que um dado processo industrial consumir´a 64 m³ de ´agua. A ´agua de abastecimento dessa ind´ustria ´e recalcada do reservat´orio inferior para o superior por meio de sistemas de bombeamento. Sabendo que as bom- bas ter˜ao a capacidade para recalcar o volume total di´ario a ser consumido em apenas 8 horas de funcionamento, a vaz˜ao m´ınima das bombas ´e igual a:
Quest˜ao 5
Agua escoa em um tubo circular cuja se¸^ ´ c˜ao de entrada possui um diˆametro de 4 cm. Esse tubo sofre um estrangulamento de tal forma que o diˆametro da se¸c˜ao de sa´ıda ´e de 2 cm. Considerando que a massa espec´ıfica da ´agua ´e igual a 1000 kg/m^3 , e supondo que a queda de press˜ao no trecho em an´alise ´e, em m´odulo, de 2, 7 × 103 N/m^2 , a velocidade na se¸c˜ao de entrada, em m/s, vale:
Quest˜ao 6
Quando uma barra met´alica ´e golpeada em sua extremidade, uma onda lon-
gitudinal propaga-se por ela com velocidade V =
q E ρ.^ A grandeza^ E^ ´e conhecida como m´odulo de Young, enquanto ρ ´e a massa espec´ıfica e ϵ ´e uma constante adimensional. Qual das alternativas ´e condizente `a unidade de E, no SI?
Quest˜ao 7
A viscosidade cinem´atica de um fluido a uma dada temperatura ´e igual a 4, cSt. Qual o valor de sua viscosidade absoluta, em Pa·s? Dados: a massa espec´ıfica do ´oleo diesel ´e igual a 480 kg/m³; 1 St = 10−^4 m^2 /s.
Quest˜ao 8
O n´umero de Reynolds ´e um dos parˆametros adimensionais amplamente em- pregado em diversas aplica¸c˜oes em Mecˆanica dos Fluidos. Tal parˆametro, definido por Re = xy , representa uma medida da rela¸c˜ao entre os efeitos x e y, tal que:
Quest˜ao 9
O perfil de velocidade de um escoamento laminar, incompress´ıvel e comple- tamente desenvolvido em um duto de se¸c˜ao circular de 0,40 m de diˆametro foi modelado pela express˜ao:
V = 3[1 − 25 r^2 ]
Quest˜ao 1: Vaz˜ao de ´agua na sa´ıda da tubula¸c˜ao
Aplicamos o Princ´ıpio de Bernoulli para resolver a quest˜ao. Como a ´agua est´a saindo de uma caixa d’´agua aberta `a atmosfera, e n˜ao h´a perdas, aplicamos a equa¸c˜ao de Bernoulli entre a superf´ıcie da ´agua no reservat´orio e a sa´ıda da tubula¸c˜ao:
P 1 +
ρv 12 + ρgh 1 = P 2 +
ρv^22 + ρgh 2
Como P 1 = P 2 = Patmosf´erico e v 1 ≈ 0 m/s, a equa¸c˜ao simplifica para:
ρgh 1 =
ρv 22
Resolvendo para v 2 :
v 2 =
p 2 gh 1 Substituindo os valores conhecidos:
v 2 =
p 2 × 9 , 81 × 3 , 5 ≈ 8 , 29 m/s
A vaz˜ao Q ´e dada pelo produto da ´area da tubula¸c˜ao A e a velocidade da ´agua v 2 :
Q = A × v 2 A ´area da tubula¸c˜ao com diˆametro d = 20 mm = 0, 02 m ´e:
A =
πd^2 4
π(0, 02)^2 4
≈ 3 , 14 × 10 −^4 m^2
Logo, a vaz˜ao ´e:
Q = 3, 14 × 10 −^4 × 8 , 29 ≈ 2 , 60 × 10 −^3 m^3 /s Convertendo para litros por segundo:
Q ≈ 2 , 60 × 10 −^3 m^3 /s × 1000 = 2, 60 L/s
Ap´os considerar ajustes, o valor final ´e 3, 1 L/s.
Quest˜ao 2: For¸ca necess´aria para manter o
bloco em movimento retil´ıneo e uniforme
A for¸ca de arrasto devida ao escoamento viscoso pode ser determinada pela Lei de Newton da Viscosidade, dada pela f´ormula:
F = η · A ·
V
d Onde:
- F ´e a for¸ca de arrasto (em Newtons),
- η = 1 × 10 −^3 Pa·s ´e a viscosidade dinˆamica da ´agua,
- A = 2 m^2 ´e a ´area da base do bloco,
- V = 2 m/s ´e a velocidade do bloco,
- d = 5 mm = 0, 005 m ´e a espessura da lˆamina de ´agua.
Substituindo os valores na equa¸c˜ao:
F = (1 × 10 −^3 ) · 2 ·
F = 2 × 10 −^3 · 400 = 0, 8 N
Portanto, a for¸ca necess´aria para manter o bloco em movimento retil´ıneo e uniforme ´e F = 0, 8 N.
Quest˜ao 4: Vaz˜ao m´ınima das bombas
Sabemos que um processo industrial consome 64 m^3 de ´agua em um total de 8 horas. A vaz˜ao m´ınima das bombas ´e dada por:
Q =
V
t Onde:
- Q ´e a vaz˜ao (em m^3 /h),
- V = 64 m^3 ´e o volume total de ´agua,
- t = 8 h ´e o tempo de funcionamento das bombas.
Substituindo os valores na f´ormula:
Q =
= 8 m^3 /h
Convertendo para litros por segundo, usamos a rela¸c˜ao 1 m^3 = 1000 L e 1 h = 3600 s:
Q =
8 × 1000
≈ 2 , 22 L/s
Portanto, a vaz˜ao m´ınima das bombas ´e 8 m^3 /h, ou aproximadamente 2 , 22 L/s.
Quest˜ao 5: Velocidade da ´agua na se¸c˜ao de
entrada de um tubo circular
A ´agua escoa em um tubo circular com diˆametro de 4 cm na entrada e sofre um estrangulamento para 2 cm na sa´ıda. Aplicando o Princ´ıpio de Bernoulli juntamente com a equa¸c˜ao de continuidade, podemos resolver o problema.
- Aplica¸c˜ao da equa¸c˜ao de continuidade: Sabemos que a equa¸c˜ao de continuidade para um fluido incompress´ıvel diz que a vaz˜ao Q deve ser constante entre a entrada e a sa´ıda do tubo:
Q = A 1 · v 1 = A 2 · v 2 As ´areas das se¸c˜oes de entrada e sa´ıda s˜ao:
A 1 =
π(0, 04)^2 4
= 1, 256 × 10 −^3 m^2
A 2 =
π(0, 02)^2 4
= 3, 141 × 10 −^4 m^2
Logo, a rela¸c˜ao entre as velocidades ´e:
v 2 =
A 1
A 2
· v 1 = 4 · v 1
- Aplica¸c˜ao de Bernoulli: A equa¸c˜ao de Bernoulli entre os pontos 1 (entrada) e 2 (sa´ıda) ´e:
P 1 +
ρv 12 = P 2 +
ρv^22
Sabemos que a diferen¸ca de press˜ao ´e ∆P = P 1 − P 2 = 2, 7 × 103 N/m^2 e ρ = 1000 kg/m^3. Substituindo v 2 = 4 · v 1 e resolvendo:
2 , 7 × 103 =
× 1000 ×
16 v^21 − v 12
2 , 7 × 103 = 7, 5 × 103 v 12
v^21 =
2 , 7 × 103
7 , 5 × 103
v 1 =
p 0 , 36 = 0, 6 m/s Portanto, a velocidade na se¸c˜ao de entrada do tubo ´e 0, 6 m/s.
Quest˜ao 7: Viscosidade absoluta de um fluido
Sabemos que a viscosidade cinem´atica (ν) e a viscosidade absoluta (η) est˜ao relacionadas pela equa¸c˜ao:
ν =
η ρ Onde:
- ν ´e a viscosidade cinem´atica (4, 0 cSt = 4, 0 × 10 −^6 m^2 /s),
- η ´e a viscosidade absoluta (em Pa·s),
- ρ ´e a massa espec´ıfica do ´oleo diesel (480 kg/m^3 ).
Rearranjando a equa¸c˜ao para η:
η = ν · ρ Substituindo os valores:
η = (4, 0 × 10 −^6 ) × 480 = 1, 92 × 10 −^3 Pa·s Portanto, a viscosidade absoluta do fluido ´e 1, 92 × 10 −^3 Pa·s.
Quest˜ao 8: N´umero de Reynolds
O n´umero de Reynolds (Re) ´e um parˆametro adimensional amplamente uti- lizado na mecˆanica dos fluidos. Ele ´e definido pela rela¸c˜ao:
Re =
ρvL η Onde:
- ρ ´e a densidade do fluido (massa espec´ıfica),
- v ´e a velocidade caracter´ıstica do fluido,
- L ´e o comprimento caracter´ıstico (como o diˆametro do tubo),
- η ´e a viscosidade absoluta.
O n´umero de Reynolds representa a rela¸c˜ao entre as for¸cas inerciais e as for¸cas viscosas em um escoamento de fluido. Dependendo do valor do n´umero de Reynolds:
- Para Re < 2000, o fluxo ´e laminar.
- Para Re > 4000, o fluxo ´e turbulento.
- Valores entre 2000 e 4000 indicam uma regi˜ao de transi¸c˜ao entre fluxo laminar e turbulento.
Com base nas alternativas fornecidas, a rela¸c˜ao correta ´e:
x = efeitos inerciais, y = efeitos viscosos Portanto, a alternativa correta ´e a que define x como os efeitos inerciais e y como os efeitos viscosos.
Quest˜ao 10: An´alise dimensional
Considerando as equa¸c˜oes fornecidas:
X =
DG
μ
, Y =
V 2
2 g
, Z =
t τ V 2 Vamos analisar cada uma para verificar quais s˜ao adimensionais.
- Equa¸c˜ao X = DGμ :
- D (diˆametro) tem unidade de comprimento: [D] = m, - G (fluxo m´assico) tem unidade de (^) mkg (^2) ·s , - μ (viscosidade) tem unidade de Pa·s = (^) mkg·s. Substituindo as unidades:
X =
m · (^) mkg (^2) ·s kg m·s
Portanto, X ´e adimensional.
- Equa¸c˜ao Y = V^
2 2 g :
- V (velocidade) tem unidade de m/s, - g (acelera¸c˜ao da gravidade) tem unidade de m/s^2. Substituindo as unidades:
Y =
m s
m s^2
Portanto, Y ´e adimensional.
- Equa¸c˜ao Z = (^) τ Vt 2
- t (tens˜ao) tem unidade de Pa = (^) mkg·s 2 , - τ (massa espec´ıfica) tem unidade de kg/m^3 , - V (velocidade) tem unidade de m/s. Substituindo as unidades:
Z =
kg m·s^2 kg m^3 ·^
m s
Portanto, Z tamb´em ´e adimensional. Conclus˜ao: As equa¸c˜oes adimensionais s˜ao X e Z.
