Prova de Ingresso 2016 PPG-MAT
Análise Real
1. Prove que não existe número racional cujo quadrado é 12.
2. Prove que uma reunião finita e uma intersecção arbitrária de conjuntos compactos é um
conjunto compacto.
3. Mostre que toda sequência de Cauchy na reta é convergente na métrica usual d(x, y) = |x−y|.
4. Seja I= [0,1] efuma função contínua de Iem I. Mostre que f(x) = xpara pelo menos um
x∈I.
5. Uma função é Lipschitz de ordem αem xse existe uma constante Ctal que
|f(x)−f(y)|6C|x−y|α
Mostre que se fé diferenciável em x, então fé Lipschitz de ordem 1em xpara todo yem
uma vizinhança de x. A recíproca é verdadeira?
Álgebra Linear
1. Seja Muma matriz m×nsobre um corpo F, e considere o sistema de equações M X =Y.
Mostre que esse sistema de equações possui solução se e somente se o posto linha de Mé igual
ao posto linha da matriz aumentada.
2. Sejam VeWespaços vetoriais de dimensão finita sobre F. Mostre que VeWsão isomorfos
se e somente se dim V= dim W.
3. Se AeBsão matrizes n×n, mostre que o traço de AB é igual ao traço de BA,tr(AB ) =
tr(BA). Mostre que matrizes similares têm o mesmo traço.
4. Seja Auma matriz 2×2sobre F, e suponha que A2= 0. Mostre que para cada escalar a,
det(aI −A) = a2.
5. Seja Auma matriz n×ncomplexa tal que A∗=−A, e seja B=eA. Mostre que (a)
det B=etrA; (b) B∗=e−A; (c) Bé unitária.
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