Universidade Federal do ABC
Prova de seleção para o mestrado em matemática
Instruções:
•Esta prova contém 10 questões.
•Todas as questões têm o mesmo valor.
•Faça as questões na ordem de sua preferência.
•Identifique com clareza o espaço onde fizer cada questão.
•Justifique seus passos.
•Nenhuma consulta é permitida. Em particular, calculadoras e celulares não são permitidos.
•A prova pode ser feita a lápis, mas as respostas/conclusões devem ser feitas a caneta.
•Para a correção, serão consideradas apenas as resoluções nas folhas de respostas.
•Escreva seu nome em cada folha de resposta e enumere as páginas.
•O candidato só poderá deixar o local de prova depois de transcorrida uma hora do seu início, e
não poderá levar a folha de questões e nem a folha de respostas.
•Tempo máximo de prova: 4 horas.
Parte 1: Álgebra Linear
1. Seja Vo espaço vetorial das funções de Rem Re considere os subconjuntos de Vdefinidos por:
W1={f∈V;f(−x) = f(x),∀x∈R}eW2={f∈V;f(−x) = −f(x),∀x∈R}.
(a) Prove que W1eW2são subespaços de V;
(b) Prove que V=W1⊕W2.
2. Seja Vum espaço vetorial real de dimensão finita e W⊆Vum subespaço. Defina W0={f:
V→R;fé linear e f(w) = 0,∀w∈W}.O subconjunto W0é um subespaço de V∗e é chamado
de anulador de W.Prove que dim V=dim W+dim W0.
3. Sejam VeWdois espaços vetoriais e seja Tuma transformação linear de Vem W.Mostre que
se Té invertível então a função inversa T−1é uma transformação linear de Wem V.
4. Seja P3(R)o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a 3.Sejam W1={p(x)∈
P3(R)/ p(1) = 0}eW2={p(x)∈P3(R)/ p(−1) = 0}.Encontre uma base para W1∩W2e
W1+W2.
