UNIFEI
1aProva de Equa¸c˜oes Diferenciais I
Professora:Gisele Leite 11/09/2013
Justifique todas as respostas!
1) Considere a equa¸c˜ao diferencial dy
dx
−
1
x+ 1y= (x+ 1)2.
a) Indique se a equa¸c˜ao ´e separ´avel, exata, linear, autˆonoma ou nenhum desses tipos.
b) Resolva a EDO.
c) Para que valores de xas solu¸c˜oes est˜ao definidas?
2) A meia-vida de um material radiotativo ´e o tempo necess´ario para que uma quantidade
desse material decaia `a metade de sua quantidade original. Mostre que para qualquer
material radioativo que decaia de acordo com a equa¸c˜ao Q0=−rQ a meia-vida τe a taxa
de decaimento rest˜ao relacionadas pela equa¸c˜ao rτ = ln 2.
3) Uma substˆancia t´oxica est´a sendo liberada no meio-ambiente por uma ind´ustria a uma
raz˜ao a= 54ppm/s(partes por milh˜ao por segundo). A ind´ustria analisa duas esta¸c˜oes de
tratamento que usam processos qu´ımicos diferentes. A primeira combina cada mol´ecula
da substˆancia com um dado reagente de tal forma que a concentra¸c˜ao x(t) da substˆancia
varia com o tempo tde acordo com a equa¸c˜ao diferencial
dx
dt =a−βx,
onde β= 27s−1. A segunda combina um outro reagentte com cada trˆes mol´eculas da
substˆancia de tal forma que
dx
dt =a−γx3,
com γ= 2(ppm)−2s−1. Qual das duas esta¸c˜oes ´e mais potente no sentido de reduzir mais
a concentra¸c˜ao final da substˆancia?
4) Encontre a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
dy
dx =−
ax +by
bx +cy .