Baixe Prova-modelo 1 Matemática 2021 e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
(Estrutura baseada naInformação complementar disponibilizada pelo IAVE no dia 15 de dezembro de 2017)
CPEN-MA12 © Porto Editora
Cotações
Na resposta aos itens de seleção, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos itens de construção, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas
as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apre-
sente sempre o valor exato.
Caderno 1
(é permitido o uso de calculadora)
- Quantos números naturais pares, com quatro algarismos diferentes, se podem escrever?
(A)
(B)
(C)
(D)
- Seja E um conjunto finito, P uma probabilidade em 풫
E
e A , B ∈ 풫
E
com P
A
0 e
P (B) > 0.
Sabe-se que P
A
= 5 P
A ∩ B
e P
A ∪ B
= 2 P
B
Qual é o valor da probabilidade condicionada P (
A | B
)
(A)
__
(B)
__
(C)
__
(D)
__
3. Seja (u
n
) a sucessão definida por recorrência do modo seguinte:
⎧
⎨
⎩
u
1
u
n + 1
n
, ∀n ∈ ℕ
A soma dos k primeiros termos de
u
n
é igual a 0.
O valor de k é:
(A)
(B)
(C)
(D)
- Num saco estão seis bolas brancas e quatro bolas pretas, indistinguíveis ao tato.
4.1. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as dez bolas do saco.
Determine a probabilidade de as quatro bolas pretas não saírem todas seguidas (sair pelo
menos uma bola branca entre duas bolas pretas).
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
4.2. Admita agora que, tomando como ponto de partida a constituição inicial, se colocaram mais
algumas bolas pretas no saco.
Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente e sem reposição,
duas bolas do saco e em registar a cor das bolas extraídas.
Relativamente a esta experiência aleatória considere os acontecimentos:
A : “A primeira bola retirada é branca” B : “A segunda bola retirada é preta”
Sabendo que o valor da probabilidade condicionada P (
B | A
)
é
__
, determine o número de
bolas pretas que foram posteriormente colocadas no saco.
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- Seja f a função, de domínio ℝ , definida por:
f (x) =
⎪
⎪
x
2
e
x + 1
se x ⩽ 0
x ln
x + 1
x
5.1. Determine f
recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto.
5.2. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa − 1.
Mostre que existe um ponto do gráfico da função f , cuja abcissa pertence ao intervalo
]
__
__
[
, em que a reta tangente ao gráfico nesse ponto é paralela à reta t.
Sugestão: Recorra ao Teorema de Bolzano-Cauchy.
5.3. O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando x → + ∞.
Determine a equação reduzida dessa assíntota.
- Considere a função f , de domínio ℝ , definida por f (x) = e
x
Na figura estão representados, num referencial xOy , parte do gráfico da função f e o triân-
gulo [ABC].
x O
y
C
A
B
f
D
Sabe-se que:
- o ponto A tem coordenadas (0 , 1) ;
- o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem abcissa no intervalo ]0 , 2 [ ;
- o ponto C pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à do ponto B ;
- [CD] é a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AB] e é tal que
CD = 1.
Determine a abcissa do ponto B recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta deve:
- equacionar o problema;
- reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizadas, devida-
mente identificados;
- indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.
Fim do Caderno 1
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- Na figura está representado um referencial ortonormado Oxyz.
Os pontos A e B têm coordenadas (6 , 6 , 0) e (0 , 0 , 3) ,
respetivamente.
O ponto P desloca-se sobre a reta AB de tal modo
que é sempre vértice de uma pirâmide em que a base é
um quadrado contido no plano xOy.
A medida do lado do quadrado é igual à abcissa do
ponto P e a cota de P varia entre 0 e 3.
11.1. Mostre que o volume da pirâmide, em função da abcissa x do ponto P , é dado por:
V
x
= x
2
x
3
___
, com x ∈ ] 0 , 6 [
11.2. Determine a altura da pirâmide de volume máximo.
- Na figura estão representados, no plano complexo, os afixos de cinco números complexos: z , z
1
z
2
, z
3
e z
4
O 1 Re( z)
Im(z)
z
z
z
z
z
Qual é o número complexo que pode ser igual a z + z
3
(A)
z
1
(B)
z
2
(C)
z
3
(D)
z
4
- Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere z =
√
__
3 − i
11
_________
√
__
2 e
i
π__
4
Determine o menor número natural n tal que z
n
é um número real negativo.
- Considere a função f definida em ℝ
por f (x) =
1 − 2 ln x
4 x
14.1. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão
do seu gráfico.
14.2. Resolva a inequação f (x) > f ( 2 x).
Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
- Sejam f e g funções diferenciáveis em ℝ tais que g
x
= x × f
x
Sabe-se que, para determinado a ∈ ℝ , a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é
paralela à reta tangente ao gráfico de g no ponto com a mesma abcissa a.
Mostre que f (a) = ( 1 − a) × f ' (a).
Fim do Caderno 2
y
x
O
P
A
B
z
