1. Classifique os modelos abaixo como linear ou não linear, e como autônomos ou não autônomos.
Justifique a sua resposta.
a.
m c p
dT
dt +hA Text
(
t
)
=Q+^
(
t
)
b.
dv
dt =−mg
c.
dh
(
t
)
dt =fi
(
t
)
−Aorificio CD
√
2gh
(
t
)
a
d.
dP
(
t
)
dt =kP
(
t
)
+∝e¿¿
RESPOSTA:
Primeiramente, o conceito de uma EDO linear é tal que seja uma função
F
qualquer e dependente de
t
, e
uma variável
y
qualquer e dependente de
t
:
F
(
t , y', y'' , y' ' ' , … , yn
)
=0
Logo a função
F
é linear se esta for linear com as variáveis
y
,
y '
,
y ' '
, ...,
yn−1
e
yn
. Logo, uma EDO linear
de ordem
n
pode ser escrita da forma:
a0
(
t
)
y
(
n
)
+a1
(
t
)
y
(
n−1
)
+…+an
(
t
)
y=g(t)
em que
a0
,
a1
, ...,
an
são funções apenas dependente de
t
.
Com relação à autonomia dos termos de uma EDO, uma EDO é dita autônoma caso pelo menos um dos
termos da variável dependente não dependerem explicitamente da variável independente. No caso da EDO
escrita acima, esta seria autônoma se um dos termos de
ak
não fossem dependentes explicitamente de
t
.
Dessa forma, pode-se analisar as EDO’s propostas:
a.
m c p
dT
dt +hA Text
(
t
)
=Q+^
(
t
)
Na EDO acima, a variável dependente é
T
. Observa-se que essa EDO pode ser escrita da forma apresentada
na definição, porque todos os termos envolvendo a variável dependente são lineares:
a0T'+a1T=a3T+a4
Dessa forma, afirma-se que a EDO é linear.
Também, essa EDO é autônoma, porque há termos não dependentes explicitamente da variável
independente, que nesse caso é o tempo
t
.
b.
dv
dt =−mg
Na EDO acima, a variável dependente é
v
. Observa-se que essa EDO pode ser escrita da forma apresentada
na definição, porque todos os termos envolvendo a variável dependente são lineares:
a0v'=a1
Dessa forma, afirma-se que a EDO é linear.
