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Questão
Obtenha a solução geral das seguintes EDO’s:
y
' '
'
− 3 y= 0
6 y
' '
− y
'
− y= 0
y
' '
'
y
' '
− 9 y
'
y
' '
− y
'
− 6 y= 0
y
' '
'
12 y
''
− 5 y
'
− 2 y= 0
3 y
' '
'
RESPOSTA:
1. y
' '
'
− 3 y= 0
Primeiro, verifica-se a equação na forma de Equação Característica, tal que: a r
2
+br + c= 0
( 1 ) r
2
Analisando as raízes:
r
1
; r
2
−b ± √b
2
− 4 ac
2 a
Seja y
1
( x ) =e
r
1
x
e y
2
( x ) =e
r
2
x
, logo, por combinação linear:
y ( x )=c
1
e
r
1
x
+c
2
e
r
2
x
Sendo assim, a solução geral da EDO é dada por:
y=c
1
e
x
+c
2
e
− 3 x
2. 6 y
' '
− y
'
− y= 0
Primeiro, verifica-se a equação na forma de Equação Característica, tal que: a r
2
+br + c= 0
r
2
r +
Analisando as raízes:
r
1
; r
2
−b ± √b
2
− 4 ac
2 a
Seja y
1
( x ) =e
r
1
x
e y
2
( x ) =e
r
2
x
, logo, por combinação linear:
y ( x )=c
1
e
r
1
x
+c
2
e
r
2
x
Sendo assim, a solução geral da EDO é dada por:
y=c e
x
2
+c e
−x
3
3. y
' '
'
Primeiro, verifica-se a equação na forma de Equação Característica, tal que: a r
2
+br + c= 0
r
2
r+
Analisando as raízes:
r
1
; r
2
−b ±
b
2
− 4 ac
2 a
Seja y
1
( x ) =e
r
1
x
e y
2
( x ) =e
r
2
x
, logo, por combinação linear:
y ( x )=c
1
e
r
1
x
+c
2
e
r
2
x
Sendo assim, a solução geral da EDO é dada por:
y=c
1
+c
2
e
− 5 x
4.
y
' '
− 9 y
'
Rearranjando a EDO:
y
' '
− 9 y
'
Seja a EDO dada por:
a y
' '
'
+cy=R ( x )=P ( x ) =a
2
x
2
1
x +a
0
Na EDO do problema,
a
2
=a
1
a
0
, a= 1 , b=− 9 e c= 0. Portanto:
r
1
; r
2
∴ r
1
; r
2
Seja a solução da EDO:
y ( x )=c
1
e
r 1
x
2
e
r 2
x
∴ y
H
( x )=c
1
e
9 x
+c
2
Para determinar a solução particular, faz-se que esta tem o formato igual a:
y
p
( x )=a
1
x
Fazendo as derivadas:
d
dx
y
p
( x )
d
dx
a
1
x
=a
1
d
2
d x
2
( y
p
x
d
2
d x
2
( a
1
x)= 0
Substituindo na EDO:
0 − 9 a
1
=− 9 ∴ a
1
Logo, a solução particular é dada por:
Seja y
1
( x ) =e
r 1
x
e y
2
( x ) =e
r 2
x
, logo, por combinação linear:
y ( x )=c
1
e
r 1
x
+c
2
e
r 2
x
Sendo assim, a solução geral da EDO é dada por:
y=c
1
e
2 x
3
2
e
− x
4
8. 3 y
' '
'
Primeiro, verifica-se a equação na forma de Equação Característica, tal que: a r
2
+br + c= 0
r
2
r +
Analisando as raízes:
r
1
; r
2
−b ±
b
2
− 4 ac
2 a
− 2 ± 2 i
− 1 ±i
i ;−
i
Seja y
1
( x ) =e
r 1
x
e y
2
( x ) =e
r 2
x
, logo, por combinação linear:
y ( x )=c
1
e
r 1
x
+c
2
e
r 2
x
Sendo assim, a solução geral da EDO é dada por:
y
x
=c
1
e
− 1
3
√ 2
3
i
x
+c
2
e
− 1
3
−
√ 2
3
i
x
Utilizando a identidade de Euler, tal que:
e
α+iβ
=e
α
cos
β
+i e
α
sin
β
Assim:
y
x
=c
1
e
− 1
3
x
cos
x
+i e
− 1
3
x
sin
x
2
e
− 1
3
x
cos
x
−i e
− 1
3
x
sin
x
Rearranjando:
y ( x )=
c
1
+c
2
e
− 1
3
x
cos
x
+i(c
1
−c
2
)e
− 1
3
x
sin
x
Fazendo
d
1
=(c
1
+c
2
e
d
2
=i
c
1
−c
2
), logo:
y ( x )=d
1
e
− 1
3
x
cos
x
+d
2
e
− 1
3
x
sin
x
