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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ATICA EM REDE NACIONAL´
ENQ – 2019.1 – Gabarito
Quest˜ao 01 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,75 ]
Resolva as seguintes recorrˆencias:
(a) an+2 − 5 an+1 + 4an = 0, a 0 = 1, a 1 = 3.
(b) an+2 − 4 an+1 + 4an = 2n, a 0 = − 1 , a 1 = 6.
Solu¸c˜ao
(a) A equa¸c˜ao caracter´ıstica da recorrˆencia an+2 − 5 an+1 + 4an = 0 ´e dada por r^2 − 5 r + 4 = 0, cujas ra´ızes s˜ao r 1 = 1 e r 2 = 4. A solu¸c˜ao geral ´e dada por an = c 1 + c 2 · 4 n
Considerando que a 0 = 1 e a 1 = 3, obtemos { c 1 + c 2 = 1 c 1 + 4c 2 = 3
e resolvendo o sistema, c 1 =
e c 2 =
. Portanto,
an =^1 3
+^2
· 4 n
(b) A equa¸c˜ao caracter´ıstica da recorrˆencia an+2 − 4 an+1 + 4an = 2n^ ´e dada por r^2 − 4 r + 4 = 0, cujas ra´ızes s˜ao r 1 = r 2 = 2. A solu¸c˜ao geral ´e dada por an = c 1 · 2 n^ + c 2 · n · 2 n^ + tn, onde tn ´e uma solu¸c˜ao particular. Tentaremos uma solu¸c˜ao do tipo tn = A · n^2 · 2 n. Substituindo na recorrˆencia temos que
A · (n + 2)^2 · 2 n+2^ − 4 A · (n + 1)^2 · 2 n+1^ + 4A · n^2 · 2 n^ = 2n
Fazendo as contas, obtemos 8A 2 n^ = 2n, portanto A =
e a solu¸c˜ao geral ´e dada por an = c 1 · 2 n^ + c 2 · n · 2 n^ +
· n^2 · 2 n. Considerando que a 0 = −1 e a 1 = 6, obtemos
c 1 = − 1 2 c 1 + 2c 2 +
e da´ı, c 1 = − 1 , c 2 =
. Portanto a solu¸c˜ao ´e dada por
an = − 2 n^ +
· n · 2 n^ +
· n^2 · 2 n
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Escrever a forma da solu¸c˜ao geral. [0,25]
- Obter a solu¸c˜ao, usando as condi¸c˜oes iniciais. [0,25] (b) • Escrever a forma da solu¸c˜ao. [0,25]
- Determinar uma solu¸c˜ao particular. [0,25]
- Obter a solu¸c˜ao, usando as condi¸c˜oes iniciais. [0,25]
Quest˜ao 02 [ 1,25 ::: (a)=0,75; (b)=0,50 ]
(a) Prove, usando indu¸c˜ao, que 11n+2^ + 12^2 n+1^ ´e divis´ıvel por 133, para qualquer n´umero natural n.
(b) Prove, usando congruˆencias, que 11n+2^ + 12^2 n+1^ ´e divis´ıvel por 133, para qualquer n´umero natural n.
Solu¸c˜ao
(a) Para n = 1, temos 11^3 + 12^3 = 1331 + 1728 = 3059 = 23 · 133, logo divis´ıvel por 133. Suponha que, para um certo k > 1, tenhamos 11k+2^ + 12^2 k+1^ divis´ıvel por 133. Vamos provar que 11k+3^ + 12^2 k+3^ tamb´em ´e divis´ıvel por 133. Temos que 11 k+3^ + 12^2 k+3^ = 11k+2^ · 11 + 12^2 k+1^ · 122 = 11k+2^ · 11 + 12^2 k+1^ · (133 + 11).
Logo, 11 k+3^ + 12^2 k+3^ = 11 · (11k+2^ + 12^2 k+1) + 133 · 122 k+1.
Como, por hip´otese de indu¸c˜ao, 133 divide 11k+2^ + 12^2 k+1, conclu´ımos que 11k+3^ + 12^2 k+3^ ´e divis´ıvel por 133. Portanto, 11n+2^ + 12^2 n+1^ ´e divis´ıvel por 133, para qualquer n natural. (b) Basta provar que 11n+2^ + 12^2 n+1^ ≡ 0 mod 133. Temos, usando propriedades das congruˆencias, que
11 n+2^ + 12^2 n+1^ = 11^2 · 11 n^ + 12 · (12^2 )n^ ≡ 121 · 11 n^ + 12 · 11 n^ ≡ 133 · 11 n^ ≡ 0 mod 133
Uma alternativa para as contas:
11 n+2^ = 121 · 11 n^ ≡ − 12 · 11 n^ mod 133 122 n+1^ = 12 · 144 n^ ≡ 12 · 11 n^ mod 133
Somando as duas congruˆencias obtemos
11 n+2^ + 12^2 n+1^ ≡ 0 mod 133
Portanto, 11n+2^ + 12^2 n+1^ ´e divis´ıvel por 133, para qualquer n natural.
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Verificar que a afirma¸c˜ao ´e v´alida para n = 1. [0,25]
- Concluir a prova por indu¸c˜ao. [0,50] (b) • Indicar que basta provar que 11n+2^ + 12^2 n+1^ ≡ 0 mod 133. [0,25]
- Concluir a prova. [0,25]
Quest˜ao 03 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,50; (c)=0,25 ]
Dado um n´umero real x, o piso de x, denotado por bxc, ´e o ´unico inteiro k tal que k 6 x < k + 1.
(a) Considere a e b, respectivamente, o menor e o maior n´umero natural com n algarismos expressados no sistema
decimal. Forne¸ca express˜oes alg´ebricas para a e b em fun¸c˜ao de n.
(b) Mostre que a quantidade de algarismos, no sistema decimal, do n´umero inteiro positivo N ´e igual a blog N c + 1,
onde log ´e a fun¸c˜ao logaritmo decimal.
(c) Mostre que se p ´e um inteiro positivo, ent˜ao 2p^ − 1 tem bp · log 2c + 1 algarismos no sistema decimal.
Quest˜ao 05 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,75 ]
Sejam A e B conjuntos finitos e n˜ao vazios com, respectivamente, a e b elementos.
(a) Qual a rela¸c˜ao entre a e b para que exista alguma fun¸c˜ao bijetiva de A em B? Nesta condi¸c˜ao, quantas fun¸c˜oes
bijetivas existem?
(b) Qual a rela¸c˜ao entre a e b para que exista alguma fun¸c˜ao injetiva de A em B? Nesta condi¸c˜ao, quantas fun¸c˜oes
injetivas existem?
Solu¸c˜ao
(a) Uma fun¸c˜ao de A em B ser´a bijetiva se for injetiva e sobrejetiva. Pela injetividade, cada elemento de A estar´a associado a um elemento diferente de B, e, pela sobrejetividade, todo elemento de B estar´a associado a algum elemento de A. Isto resulta em dizer que A e B possuem o mesmo n´umero de elementos, logo a = n(A) = n(B) = b. Sejam x 1 ,... , xa os elementos de A e y 1 ,... , ya os elementos de B e f : A → B bijetiva. Temos que
- f (x 1 ) pode ser qualquer um dos a elementos de B;
- f (x 2 ) pode ser qualquer elemento de B, exceto o f (x 1 ), resultando em a − 1 possibilidades para f (x 2 ).
.. .
- f (xi) pode ser qualquer elemento de B, exceto f (x 1 ),... , f (xi− 1 ), resultando em a − i − 1 = a − i + 1 possibilidades para f (xi). .. .
- f (xa) poder´a ser apenas o elemento que restar ap´os a escolha de f (x 1 ),... , f (xa− 1 ). Pelo Princ´ıpio Multiplicativo, teremos ent˜ao
a × (a − 1) × (a − 2) × · · · × 1 = a!
fun¸c˜oes bijetivas f : A → B poss´ıveis. (b) Se uma fun¸c˜ao de A em B for injetiva, cada elemento de A estar´a associado a um elemento diferente de B, logo ´e necess´ario que B tenha pelo menos o mesmo n´umero de elementos que A, logo b = n(B) > n(A) = a. Sejam x 1 ,... , xa os elementos de A e y 1 ,... , yb os elementos de B e f : A → B injetiva. Temos que
- f (x 1 ) pode ser qualquer um dos b elementos de B;
- f (x 2 ) pode ser qualquer elemento de B, exceto o f (x 1 ), resultando em b − 1 possibilidades para f (x 2 ).
.. .
- f (xi) pode ser qualquer elemento de B, exceto f (x 1 ),... , f (xi− 1 ), resultando em b − i − 1 = b − i + 1 possibilidades para f (xi). Fazendo i = a, o n´umero de escolhas para f (xa) ser´a b − a + 1. Pelo Princ´ıpio Multiplicativo, teremos ent˜ao
b × (b − 1) × (b − 2) × · · · × (b − a + 1) = b × (b − 1) × (b − 2) × · · · × (b − a + 1) × (b − a) × · · · × 1 (b − a) × · · · × 1
b! (b − a)! fun¸c˜oes injetivas f : A → B poss´ıveis.
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Afirmar, com justificativa, que a = b. [0,25]
- Mostrar que existem a! fun¸c˜oes bijetivas. [0,25]
(b) • Afirmar, com justificativa, que b > a. [0,25]
- Mostrar que existem b × (b − 1) × · · · × (b − a + 1) ou b! (b − a)! fun¸c˜oes injetivas. [0,5]
Quest˜ao 06 [ 1,25 ::: (a)=0,50; (b)=0,50; (c)=0,25 ]
Considere a fun¸c˜ao polinomial f : R → R, dada por
f (x) = (x^2 + 2019x − 1)^2 + (2x + 2019)^2
(a) Determine constantes k e h tais que a fun¸c˜ao possa ser reescrita da maneira f (x) = (x^2 + kx + 1)^2 + h.
(b) Usando a express˜ao encontrada no item anterior, encontre o menor valor real α, assumido pela fun¸c˜ao f.
(c) Encontre a m´edia aritm´etica de todas as ra´ızes reais da equa¸c˜ao f (x) = α, com α encontrado no item anterior.
Solu¸c˜ao
(a) Desenvolvendo a segunda parcela
(2x + 2019)^2 = 4 x^2 + 4 · 2019 x + 2019^2 = 4(x^2 + 2019x) + 2019^2.
Se denotarmos μ = x^2 + 2019x a express˜ao de f (x) fica
f (x) = (μ − 1)^2 + 4μ + 2019^2 = μ^2 − 2 μ + 1 + 4μ + 2019^2 = μ^2 + 2μ + 1 + 2019^2 = (μ + 1)^2 + 2019^2 = (x^2 + 2019x + 1)^2 + 2019^2.
Logo k = 2019 e h = 2019^2. (b) Como o discriminante de g(x) = x^2 + 2019x + 1 ´e ∆ = 2019^2 − 4 > 0 e o termo quadr´atico tem coeficiente positivo, podemos concluir que o menor valor atingido por g ´e negativo. Logo o valor m´ınimo de g(x)^2 ´e igual a zero. Assim o menor valor assumido por f (x) = g(x)^2 + 2019^2 ´e α = 2019^2. (c) As seguintes equa¸c˜oes tˆem as mesmas ra´ızes
(x^2 + 2019x + 1)^2 + 2019^2 = 20192 (x^2 + 2019x + 1)^2 = 0 x^2 + 2019x + 1 = 0
Logo a m´edia das ra´ızes de f (x) = α ´e igual a − 2019 2
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Encontrar o valor de k. [0,25]
- Encontrar o valor de h. [0,25] (b) • Concluir que o valor m´ınimo de g ´e negativo e que, portanto, o valor m´ınimo de seu quadrado ´e zero. [0,25]
- Encontrar o valor m´ınimo de f. [0,25] (c) • Encontrar a m´edia das ra´ızes. [0,25]
Quest˜ao 07 [ 1,25 ]
Um recipiente cil´ındrico de base circular est´a parcialmente cheio de ´agua. Quando “deitado”, isto ´e, apoiado sobre
uma de suas geratrizes, o n´ıvel da ´agua atinge um quarto do diˆametro d da base do cilindro, conforme figura. Quando
o cilindro ´e “levantado”, isto ´e, apoiado sobre uma de suas bases, o n´ıvel da ´agua atinge que fra¸c˜ao da altura h do
cilindro?
Observa¸c˜ao: Considere desprez´ıvel a espessura das paredes e das bases do recipiente.
Quest˜ao 08 [ 1,25 ::: (a)=1,00; (b)=0,25 ]
(a) Determine o menor n´umero natural c para o qual a equa¸c˜ao
5 X + 7Y = c
tenha exatamente 4 solu¸c˜oes em N ∪ { 0 }.
(b) Determine, explicitamente, as 4 solu¸c˜oes obtidas no item (a).
Solu¸c˜ao
(a) Considere c, um n´umero natural. Temos que 5 · (3) + 7 · (−2) = 1, logo 5 · (3c) + 7 · (− 2 c) = c. Usando a solu¸c˜ao particular x 0 = 3c e y 0 = − 2 c, escrevemos a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao 5X + 7Y = c : { x = 3 c + 7t y = − 2 c − 5 t
, t ∈ Z.
Como procuramos solu¸c˜oes em N ∪ { 0 } temos que, 3c + 7t > 0 e − 2 c − 5 t > 0. Logo, − 3 c 7 6 t 6 − 2 c 5
Como queremos 4 solu¸c˜oes, − 2 c 5
− 3 c 7
3, logo c > 105. Considerando c = 105, obtemos − 45 6 t 6 −42. Portanto, exatamente 4 solu¸c˜oes correspondentes `a t = − 45 , − 44 , − 43 , −42. (b) Temos a equa¸c˜ao 5X + 7Y = 105. Para encontrar as 4 solu¸c˜oes, basta substituir os valores de t na equa¸c˜ao geral: { x = 315 + 7t y = − 210 − 5 t
obtendo (0, 15), (7, 10), (14, 5) e (21, 0).
Pauta de Corre¸c˜ao:
(a) • Escrever a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao em Z. [0,5]
- Determinar o intervalo para a obten¸c˜ao de solu¸c˜oes em N ∪ { 0 }. [0,25]
- Determinar o valor de c. [0,25] (b) Determinar as 4 solu¸c˜oes. [0,25].
Solu¸c˜ao Alternativa
(a) Seja c um n´umero natural tal que a equa¸c˜ao 5X + 7Y = c tenha 4 solu¸c˜oes em N ∪ { 0 } e seja (x 0 , y 0 ) a solu¸c˜ao em N ∪ { 0 }, com x 0 a menor poss´ıvel (solu¸c˜ao minimal). Ent˜ao a solu¸c˜ao geral dessa equa¸c˜ao ´e dada por { x = x 0 + 7t y = y 0 − 5 t
, t ∈ Z.
Indicando por (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) as outras solu¸c˜oes, com x 0 < x 1 < x 2 < x 3 , tem-se que x 3 > 21 e da´ı
c = 5x 3 + 7y 3 > 5 · 21 + 7y 3 > 105
Tomando c = 105, vamos mostrar que a equa¸c˜ao 5X + 7Y = 105 tem exatamente 4 solu¸c˜oes em N ∪ { 0 }. Nesse caso, a solu¸c˜ao minimal ´e (0, 15) e a solu¸c˜ao geral ´e dada por { x = 7 t y = 15 − 5 t,
onde t > 0 e 15 − 5 t > 0, isto ´e, 0 6 t 6 3. Portanto, exatamente 4 solu¸c˜oes.
(b) Temos a equa¸c˜ao 5X + 7Y = 105. Para encontrar as 4 solu¸c˜oes n˜ao negativas, basta substituir os valores de t = 0, 1 , 2 , 3 na equa¸c˜ao geral obtendo as solu¸c˜oes (0, 15), (7, 10), (14, 5) e (21, 0).
Pauta de Corre¸c˜ao da Solu¸c˜ao Alternativa:
(a) • Escrever a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao em N ∪ { 0 }.[0, 5]
- Concluir que c > 105. [0, 25]
- Mostrar que, para c = 105 a equa¸c˜ao tem exatamente 4 solu¸c˜oes. [0, 25] (b) Determinar as 4 solu¸c˜oes. [0,25].
