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Func¸ ˜oes - Quinta Lista de Exerc´ıcios
M ´odulo 1 - Seq ¨u ˆencias e S ´eries
- Em cada caso, escreva os quatro primeiros termos da seq¨uˆencia (an):
(a) an =
10 n^ (b) an = 3 n n + 5 (c) an = 5 − 2 n
(d) an = n[ 1 − (− 1 )n] (e) a 1 = 5, an = 2 an− 1 − 1 (f) a 1 = 4, an = −an− 1 /5, n > 1
- A seq¨uˆencia definida recursivamente por an =
a^2 n− 1 + x 2 an− 1 , com a 1 escolhido de forma arbitr´aria, pode ser usada para aproximar
x para qualquer grau desejado de precis˜ao. Encontre os primeiros quatro termos da seq¨uˆencia a 1 = 2, an = a^2 n− 1 + 5 2 an− 1
, n > 1 e compare com a aproximac¸ ˜ao obtica com a calculadora para √
Encontre uma f´ormula para o n-´esimo termo de uma seq¨uˆencia cujos primeiros quatro termos s˜ao dados por: (a) 4, 7, 10, 13,... (b) 1, − 3 , 5 , − 7
(c)
,... (d) x^2 2!
x^4 4!
x^6 6!
x^8 8!
- Escreva na forma expandida:
(a)
4
k= 1
(− 2 )k k + 1 (b)
6
k= 3
xk (k + 1 )! (c)
4
k= 1
xk (k + 1 )(k + 2 )
- Escreva a soma em cada item utilizando a notac¸ ˜ao de somat´orio
(a)
(b) x − 2 x^2 + 3 x^3 − 4 x^4 + 5 x^5 − 6 x^6 (c) x − x^3 3!
x^5 5!
x^7 7! M ´odulo 2 - Seq ¨u ˆencias e S ´eries Especiais
- As seguintes progress˜oes s˜ao aritm´eticas, geom´etricas o nenhuma das duas?
(a)
, 6... (b)
... (c)
(d)
... (e)
- Para as seguintes progress˜oes aritm´eticas determine a raz˜ao, escreva os pr´oximos trˆes termos e o n-´esimo termo: (a)
,... (b) − 8 , − 5 ,... (c) π, 3 π,...
- Determinar a de modo que a^2 , (a + 1 )^2 , (a + 5 )^2 seja uma progress˜ao aritm´etica.
- Obter trˆes n´umeros que est˜ao progress˜ao aritm´etica e a soma de seus inversos ´e 23 30
- Determinar uma progress˜ao aritm´etica cujo 6o^ termo ´e 7 e o 10o^ e 15.´
- Determinar uma progress˜ao aritm´etica (an) onde se verificam as relac¸ ˜oes
a 12 + a 21 = 302 e a 23 + a 46 = 446
- Determinar quantos n´umeros inteiros de trˆes algarismos s˜ao m´ultiplos de 13.
- Determinar quantos naturais entre 1 000 e 10 000 n˜ao s˜ao divis´ıveis nem por 5 nem por 7.
- Encontre a soma dos 120 primeiros naturais.
- Determine uma progress˜ao aritm´etica de 60 termos, em que a soma dos 59 pri- meiros termos ´e 12 e soma dos 59 ´ultimos ´e 130.
- Para as seguintes progress˜oes geom´etricas determine a raz˜ao, escreva os pr´oximos trˆes termos e o n-´esimo termo: (a)
,... (b) − 5 , 5 , − 5 ,... (c) 1; 1, 05;...
- Para as seguintes progress˜oes geom´etricas determine a raz˜ao e encontre a soma dos termos (ou verifique que a soma ´e indefinida):
(a) 4,
,... (b)
,... (c) 36, − 12 , 4 ,...
- Determine o valor de x, sabendo que x, x + 9 e x + 45 est˜ao em progress˜ao geom´etrica.
(a) Quantos feij˜oes ser˜ao usados em todos os quadrados do tabuleiro? (b) Um dos maiores navios cargueiros do mundo consegue transportar 500 000 toneladas de carga. Se cada gr˜ao de feij˜ao pesar 1 g, quantos desses navios ser˜ao necess´arios para transportar todo o feij˜ao usado no tabuleiro?
- Desafio: O conjunto de Cantor K e definido tomando-se o intervalo´ [ 0 , 1 ] e reti- rando o terc¸o m´edio; para cada um dos intervalos restantes repete-se o processo retirando-se seus terc¸os m´edios e assim sucessivamente. Mostre que
∈ K.
