Regua e Compasso, Notas de estudo de Matemática

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GUIA DO SOFTWARE

RÉGUA E COMPASSO

UTILIZAÇÃO EM ALGUMAS ATIVIDADES RELACIONADAS À

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

Karolina Barone Ribeiro da Silva

SUMÁRIO

• APRESENTAÇÃO............................................................................................................
• INTRODUÇÃO.................................................................................................................
• 1 FERRAMENTAS DO RÉGUA E COMPASSO
• 2 ATIVIDADES INICIAIS...............................................................................................
• 3 RETAS, SEGMENTOS DE RETAS E SEMI-RETAS.................................................
• 4 ÂNGULOS.....................................................................................................................
• 5 TRIÂNGULOS..............................................................................................................
• 6 PARALELISMO............................................................................................................
• 7 PERPENDICULARIDADE...........................................................................................
• 8 QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS.................................................................................
• 9 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO...............................................................................
• 10 TEOREMA DE TALES E O TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA.....................
• 11 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS..........................................................................
• 12 TEOREMA DE PITÁGORAS.....................................................................................
• REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................

As atividades propostas e desenvolvidas no guia não abrangem todo o conteúdo de Geometria Euclidiana Plana que deve ser estudado pelos alunos e sim algumas atividades consideradas simples, porém importantes para a compreensão de conceitos-chave em Geometria. Desse modo, ele não deve ser utilizado como bibliografia única para o estudo de Geometria Euclidiana Plana e sim como um complemento a outras bibliografias.

Boa leitura!

A AUTORA

INTRODUÇÃO

O software Régua e Compasso (R.e C.) - em inglês Compass and Ruler, abreviado por C.a.R - é um software de Geometria Dinâmica, livre, de autoria de René Grothmann (professor da Universidade Católica de Berlim, Alemanha), disponível, em português, no endereço eletrônico http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/.

René Grothmann Fonte: http://www.gregosetroianos.mat.br/softcar.asp

Segundo o site http://www.gregosetroianos.mat.br/softcar.asp, a história do Régua e Compasso teve início em 1988 na Alemanha, quando o professor René Grothman produziu uma versão para o Atari ST. Quatro anos depois ele escreveu uma versão para o Windows. Com a popularização da linguagem Java em 1995, René abandonou as versões anteriores e partiu do zero novamente. Após quatro anos de trabalho, completou a versão Java do Ré- gua e Compasso em 1999. O código fonte é disponível e livre conforme Licença Pública Geral (GNU General Public License). É um software multiplataforma, isto é roda em diversas plataformas como Microsoft Windows©, Linux, Macintosh©, etc. O software dispõe de régua e compasso virtuais e com menu de construção em lin- guagem clássica da geometria – reta perpendicular, ponto médio, mediatriz, bissetriz, etc. Feita uma construção, pode-se aplicar movimento a seus elementos, sendo preservadas as relações geométricas impostas à figura – daí ser denominado software de geometria dinâ- mica.

Eliminar último objeto: elimina da janela geométrica o último objeto construído.

Eliminar objeto: elimina um objeto clicando-se sobre ele.

Desfazer últimas remoções: mostra os objetos que foram apagados recentemente.

Editar objeto: permite editar um objeto através de duplo clique sobre ele.

Desenhar com mouse: permite fazer desenhos livremente, apenas utilizando o mou- se.

Renomear A, B, C: renomeia-se, em ordem alfabética, pontos, linhas e ângulos, a partir de um clique sobre o objeto.

Parâmetros de macro/ Objetos/Definições: para gerar uma macro, o usuário faz uma construção, e “ensina” a macro o que fazer. Macros têm parâmetros, que determinam os objetos com os quais se deve começar. Elas também têm alvos, que determinam os obje- tos a serem construídos. Depois de realizada a construção desejada, clique na ferramenta, a seguir, selecione os parâmetros de entrada, clicando nos objetos desejados. Então, clique novamente na ferramenta e, depois, nos alvos, ou seja, nos objetos que devem ser exibidos quando a macro for rodada. Clique novamente na ferramenta. Uma janela será aberta au- tomaticamente. Nela nomeie a macro e escreva um comentário que “ensine” o usuário a utilizar a macro. Finalizando, clique em outra ferramenta. Por exemplo, trace um segmento de reta e, a seguir, a partir de uma de suas extremidades, trace uma reta perpendicular ao segmento. Para criar uma macro dessa construção, siga a explicação acima, selecionando como parâmetros de entrada as extremidades do segmento e como alvos, o segmento e a reta perpendicular.

Exibir comentário: ao clicar nessa ferramenta, uma janela se abrirá automaticamen- te e nela será possível digitar um comentário para a construção. O comentário será exibido para o usuário assim que carregar a construção que foi salva anteriormente. Manter a tecla “shift” pressionada ao selecionar esta ferramenta permite registrar exercícios.

Criar uma função: permite traçar gráfico de funções ou de curvas paramétricas.

Repetir construção: essa ferramenta abre uma pequena janela contendo os botões clássicos para avançar, retroceder, etc. A construção é mostrada passo-a-passo (somente passos visíveis são exibidos).

Cor padrão do objeto: mostra (ou permite selecionar) a cor do objeto a ser constru- ído.

Tipo padrão do ponto: mostra (ou permite selecionar) o tipo do ponto a ser marca- do.

Espessura padrão do objeto: mostra (ou permite selecionar) a espessura do objeto a ser construído.

Zoom com mouse: permite arrastar centro, ampliar ou reduzir construções.

Exibir grade: mostra, na janela geométrica, o sistema de coordenadas cartesianas.

Exibir objetos ocultos: exibe os objetos ocultos. Esses ficam com a cor mais fraca que os objetos que não foram ocultados. Ao desativar esta ferramenta, os objetos serão escondidos novamente. Caso queira que algum objeto não seja escondido, ao desativar essa

Compasso: clicando-se em dois pontos, determina-se o raio de uma circunferência que pode ser construída em qualquer lugar da janela geométrica.

Círculo com raio fixo: marca-se o centro da circunferência e a seguir, outro ponto, e digita-se a medida desejada para o raio, em uma janela que se abre automaticamente.

Paralela: clicando-se com o botão esquerdo do mouse em, por exemplo, uma reta e depois em um ponto fora dela, obtém-se uma reta paralela à reta dada. O mesmo pode ser feito considerando um segmento ou uma semi-reta.

Perpendicular: clicando-se com o botão esquerdo do mouse em uma reta e em um ponto, constrói-se uma reta perpendicular à reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-reta.

Ponto médio: clicando-se em dois pontos, obtém-se o ponto médio entre eles.

Ângulo: marca-se o primeiro ponto, em seguida, o vértice do ângulo e, por fim, o último ponto.

Ângulo de amplitude fixa: marca-se o primeiro ponto, em seguida, o vértice do ân- gulo e, por fim, o último ponto e, a seguir, digita-se a medida desejada para o ângulo, em uma janela que se abre automaticamente.

Mover ponto: clicando-se com o botão esquerdo do mouse é possível movimentar pontos na janela geométrica.

Rastrear ponto ou reta: permite movimentar um ponto não - fixo e visualizar a sua trilha, ou seja, a curva obtida ao se movimentar este ponto. Rastreia-se a posição de um primeiro ponto em função do movimento de um segundo ponto, que deve ser deslocado com o botão esquerdo do mouse pressionado.

Rastreio automático de ponto ou reta: rastreia-se a posição de um primeiro ponto em função do movimento de um segundo ponto sobre uma reta ou circunferência. A ani- mação pode ser cancelada a qualquer momento com um clique do mouse.

Animar um ponto: movimenta um ponto sobre circunferências ou segmentos. Para tanto clique no ponto e a seguir na(s) circunferência(s) ou no(s) segmento(s) O último ob- jeto deverá ser selecionado através de dois cliques no mouse. A animação é parada por clique no mouse.

Expressão aritmética: permite calcular e fazer aparecer na tela os resultados de cer- tas expressões. Ao clicar na janela geométrica, uma janela se abrirá automaticamente, nela digite a expressão aritmética desejada.

Polígono: para construir um polígono preenchido (ou seja, a área delimitada por ele), marcam-se, ao menos, três pontos e clica-se, com o botão esquerdo do mouse, no primeiro ponto novamente para “fechar” o polígono ou, então, deve-se dar dois cliques no último ponto marcado.

Seção cônica passando por 5 pontos: marcando-se 5 pontos, constrói-se a cônica que passa por eles.

Texto: clicando-se com o botão esquerdo do mouse na janela geométrica, o texto que for digitado, na janela que será aberta, aparecerá neste local.

Ângulo bissetriz como semi-reta (macro): marcando-se três pontos quaisquer, como

por exemplo, A, B e C, constrói-se a bissetriz do ângulo AB ˆC^.

Projeção de ponto para linha (macro): projeta um ponto sobre uma reta, semi-reta ou segmento. Clique na linha (reta, semi-reta ou segmento) em que o ponto será projetado e, a seguir, no ponto.

Rotação (macro): clique em três pontos quaisquer, como por exemplo, A, B e C (nes-

ta ordem). O ângulo AB ˆ^ Cserá o ângulo de rotação. A seguir, clique em dois pontos quais- quer da janela geométrica (por exemplo, D e E, nessa ordem). Um terceiro ponto (F) será

marcado de forma que a medida do ângulo ED ˆ^ Fserá a mesma do ângulo AB ˆC^. O ponto D é o centro da rotação, vértice do novo ângulo.

Rotação com ângulo (macro): essa ferramenta desenha um ponto rotacionado em relação a um outro ponto (centro da rotação). Com a ferramenta ativada clique no ponto que funcionará como centro de rotação, a seguir, clique no ponto que será rotacionado. Automaticamente uma janela será aberta. Nela digite a medida do ângulo de rotação em graus (medida positiva – rotação no sentido anti-horário, medida negativa – rotação no sentido horário).

Troca (macro): essa ferramenta permite que, tendo já construído um segmento orien- tado representando um vetor v, construa-se outro representante de v, a partir de um ponto considerado. Para tanto, clique nas extremidades do segmento orientado que representa v e, a seguir, em um ponto qualquer da janela geométrica. Este ponto será a origem do outro representante de v e o seu ponto final será marcado automaticamente (somente os pontos são marcados). O mesmo pode ser feito para segmento de reta.

2 ATIVIDADES INICIAIS

A seguir serão propostas e desenvolvidas algumas atividades iniciais para a familia- rização com os recursos do software. Em todas as atividades, observe as instruções que aparecerão no canto inferior esquerdo da janela geométrica quando algum item da barra de ícones for selecionado. Antes de iniciar as atividades, algumas observações são necessárias:

1. Para “salvar” uma atividade, clique em “Arquivo” (menu principal) e em seguida em “Guardar Construção como...”. Você poderá escolher o diretório onde deseja armaze- nar o arquivo, bem como um nome para a atividade. Em seguida clique em “Guardar”. Quando quiser utilizar essa atividade em outra ocasião, clique em “Arquivo” e em seguida em “Carregar Construção” e selecione o nome da atividade desejada na lista de atividades previamente armazenadas. Ao final, clique em “Abrir”.
2. Ao realizar uma atividade é possível copiar apenas o conteúdo na janela geomé- trica para outro ambiente, como por exemplo, para um documento do Microsoft Word. Para isto clique em “Arquivo” e em seguida em “Copiar para Clipboard”. Uma janela de defini- ções se abrirá. Faça as alterações que julgar necessárias e clique em “OK”. Abra o seu ar- quivo do Word, clique em “Editar” e em seguida em “Colar”.
3. Para armazenar o conteúdo da janela geométrica como um arquivo com extensão .png, clique em “Arquivo” e em seguida em “Salvar como PNG”. Novamente uma janela de definições se abrirá. Aja como anteriormente. Ao clicar em “OK”, a janela “Guardar Construção como...” se abrirá para que você escolha o nome e o diretório onde deseja sal- var seu arquivo. Clique em “Guardar” para finalizar o armazenamento.

ATIVIDADE I Crie um ponto e nomeio-o. Para nomear o ponto, clique com o botão direito do mouse sobre ele. Aparecerá uma janela como a seguir.

ATIVIDADE I

Crie um segmento de reta, de extremidades A e B e exiba na janela geométrica seu comprimento. A seguir, encontre o ponto médio C desse segmento. Inicialmente, crie o segmento de reta, nomeando suas extremidades. Para determi- nar seu comprimento, clique com o botão direito do mouse sobre o segmento. Aparecerá uma janela como abaixo.

O comprimento do segmento criado é automaticamente exibido e, neste caso, é i-

gual a 2,44596. Para exibir esta medida na janela geométrica, clique em e a seguir em “OK”. A medida exibida pode ser reposicionada clicando-se com o botão direito do mouse sobre ela e mantendo-o pressionado. O mesmo pode ser feito com os nomes A e B das extremidades. Agora, encontre e nomeie o ponto médio do segmento. Comprove que o ponto C é de fato ponto médio do segmento AB, exibindo os comprimentos dos segmentos AC e CB. É possível observar que o ponto médio mantém sua propriedade mesmo com a osci- lação do comprimento do segmento AB. Para isto, clique em “Mover Ponto” e a seguir,

sobre uma das extremidades do segmento, movimentando-a e observando o aumento e diminuição do comprimento do segmento AB. Caso queira construir um segmento de comprimento fixo, por exemplo, 10, basta definir a medida desejada na janela “Editar Reta, Semi-Reta, Segmento” e marcar a lacuna correspondente à palavra fixo, conforme abaixo. Neste caso, ao clicar em “Mover Ponto”, não será possível observar alterações no comprimento do segmento AB.

ATIVIDADE I

Crie pontos C e B. A seguir, crie uma circunferência de centro C e que passe pelo ponto B. Mova o ponto B e observe a oscilação do raio da circunferência. Depois de criar a circunferência, para obter o círculo (lembre-se da diferença entre circunferência e círculo salientada anteriormente) de centro C e que passa por B, basta cli- car com o botão direito do mouse sobre a circunferência e na janela “Editar Círculo” que se

abrirá, clicar em e em seguida em “OK”.

3 RETAS, SEGMENTOS DE RETAS E SEMI-RETAS

Para a primeira atividade, considere a seguinte definição.

Definição 1. Proposições primitivas, também chamadas de postulados ou axiomas, são proposições (propriedades, afirmações) aceitas sem demonstração.

Postulado da determinação da reta. Dois pontos distintos determinam uma, e uma só reta que passa por eles.

ATIVIDADE 1 Crie dois pontos A e B. Trace a reta que passa por eles, atribua a essa reta o nome r e a cor azul. Para fazer isso, utilize o ícone “Reta”. A seguir, trace outra reta na cor preta que passe por A e B. O que acontece? Ainda é possível ver a reta na cor azul?

Para a atividade 2, considere a definição de segmento de reta.

Definição 2. Dados dois pontos distintos A e B, o conjunto constituído por esses dois pontos e pelos pontos que estão entre A e B é chamado de segmento de reta. Os pontos que estão entre A e B são chamados pontos interiores e os pontos A e B são denominados extremos do segmento AB.

ATIVIDADE 2 Crie uma reta r e dois pontos A e B pertencentes a r. A seguir, clique no ícone “Segmento” para criar o segmento AB. Observe que não é possível distinguir o segmento AB da reta r. Para melhor visuali- zação, modifique a cor do segmento para azul. Para fazer isto, clique sobre o segmento. Aparecerá uma janela como a seguir.

Essa janela “pede” que se faça uma escolha entre r (nome dado a reta que passa por A e B) e s1, que é o nome padrão do segmento AB. Dê um duplo clique sobre s1 ou clique sobre s1 e em seguida em “OK”. Será aberta uma janela de edição, onde a cor do segmento poderá ser modificada. Observe a figura a seguir.

Em seguida, crie um ponto N pertencente ao segmento AB. Novamente se abrirá uma janela de escolha, onde se deve optar pelo segmento. Clique em “Mover ponto” e ten- te posicionar N de tal forma que ele A esteja entre N e B. Você consegue fazer isso? Releia a definição 2. Agora crie um ponto P na reta r, de forma que P não pertença ao segmento AB. Note que P pode ser livremente movimentado pela reta r.

Para a atividade 3, considere a definição de semi-reta.

Definição 3. Dados dois pontos distintos S e T, o conjunto constituído pela união do segmento de reta ST com o conjunto dos pontos Y, tais que T está entre S e Y é chamado

semi-reta ST e indicada por ST. O ponto S é chamado origem de ST. Se S está entre U e

T, então SU e ST são ditas semi-retas opostas.