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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA – UEFS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL -
PPGECEA
DISCIPLINA: DINÂMICA DAS ESTRUTURAS
PROFESSOR: DR. ANDERSON DE SOUZA MATOS GÁDEA
DISCENTES: ITAMARA DOS SANTOS ROCHA
MATHEUS BORGES SEIDEL
1. Introdução
A análise de problemas de engenharia tem crescido juntamente com o avanço
tecnológico, especialmente mediante o acesso progressivamente mais facilitado a
computadores e softwares. Diante da dificuldade em se obter soluções analíticas de equações
complexas, os métodos numéricos apresentam – se como uma alternativa usualmente
acessível para a resolução de tais problemas.
Na análise dinâmica das estruturas têm sido utilizados métodos numérico-
computacionais capazes de tratar tais equações, propiciando soluções mais precisas para a
resposta estrutural. Entre os métodos utilizados com maior frequência na literatura, há o
método dos elementos finitos, método de Runge Kutta, método de Simpson e o método de
Newmark. Para o presente trabalho utilizou – se os dois últimos métodos supracitados, que
podem ser usados para resolver problemas de vibrações de estruturas. Durante o trabalho,
foram utilizadas ferramentas computacionais. Utilizou-se o Matlab, versão R2017a, por ser
um programa de uso sólido entre profissionais de engenharia, pela simplicidade de
aprendizado do mesmo e aplicabilidade aos problemas dinâmicos. Utilizou – se também O
Microsoft Office Excel, para auxiliar na validação do algoritmo.
2. Descrição do problema
O problema proposto (figura 1) consiste em determinar as respostas (aceleração e
deslocamento), além do diagrama de momentos fletores, de uma torre de 10 m de altura, com
rigidez igual a EI = 50 x 10
7
KN / m ²
e com uma caixa d’água elevada com uma massa de 20
toneladas. A carga excitadora da estrutura possui tempo total de duração de 0,05 segundos e
apresenta um diagrama de intensidade triangular.
Figura 1 - Torre com a caixa d'água (a) e Diagrama de distribuição da carga p(t) (b)
Considerou-se a carga aplicada horizontalmente no topo da estrutura, a taxa de
amortecimento igual a 2% e desprezou-se a massa do pilar.
3. Objetivo
O objetivo deste relatório é registrar e descrever os procedimentos utilizados para
resolver, através de dois métodos distintos, o problema proposto de dinâmica estrutural.
Os dois métodos utilizados foram a Integral de Duhamel, resolvida numericamente
através da 1ª Regra de Simpsom composta, e o Método de Newmark. Estes métodos diferem-
se fundamentalmente na perspectiva em que o primeiro consiste na resolução numérica de
uma integral, enquanto o segundo consiste na resolução de uma equação diferencial ordinária.
Após a resolução do problema, os dois resultados obtidos foram comparados a fim de
visualizar a acurácia dos mesmos e ratificar a viabilidade destes métodos.
4. Implementação dos métodos
Nesta seção são apresentados os fundamentos teóricos dos métodos utilizados e as
equações implementadas computacionalmente através do Matlab. Os códigos implementados
podem ser verificados nos arquivos com extensão .m em anexo.
A resolução numérica da Integral de Duhamel foi feita através da 1ª Regra de
Simpson, que consiste em aproximar a função a ser integrada por um polinômio lagrangeano
de grau 2:
Figura 3 - Método de Simpson
Fonte: Oller
Se admite o intervalo de integração
t
i − 1
≤ t ≤ t
i
, dividido em "n" partes iguais, tal que
"n" é par, a distância entre cada ponto da divisão do intervalo será h =
( t − t
i − 1
n
I =
∫
t
i − 1
t
i
f ( t ) dt ≈
∫
x
0
x
n
p ( x ) dx (4)
Substituindo-se o polinômio de grau 2 e resolvendo as integrais, tem-se:
∫
x 0
x n
p ( x ) dx =
h
( f
0
1
2
3
n − 2
n − 1
n
Com três pontos conhecidos em cada intervalo, utiliza-se p ( x ) para aproximar f ( t )
no intervalo [
x
0
x
n
].
4.2 Método de Newmark
Este método foi desenvolvido por Newmark em 1959 e consiste na discretização
temporal do problema para resolver a equação diferencial do movimento em um sistema
dinâmico que pode se comportar de forma linear ou não-linear. O método consiste em
encontrar a solução (respostas da estrutura) para cada passo de tempo, que é individualmente
definido em função do passo de tempo anterior e de parâmetros específicos do problema.
Desta forma, as velocidades e os deslocamentos são determinados pelas seguintes equações,
respectivamente:
u ´
i + 1
u
i
+[( 1 − γ ) ∆t ]
u
i
+( γ ∆ t )
u
i + 1
u
i + 1
=¿ u
i
Onde,
u
i
é o deslocamento,
u ´
i
a velocidade, ∆ t o intervalo de tempo constante e
u ´
i
a
aceleração. Os parâmetros β e γ definem a variação da aceleração ao longo de um intervalo de
tempo e determinam as características de estabilidade e precisão do método.
Existem dois casos especiais do método de Newmark são conhecidos: aceleração
média constante (figura 3a) e métodos de aceleração linear. (figura 3b)
2. Para cada passo de tempo i =0, 1, 2 , … :
^ p
i + 1
= p
i + 1
1
u
i
2
u ´
i
3
´ u
i
u
i + 1
^ p
i + 1
^
k
u ´
i + 1
γ
β ∆ t
u
i + 1
− u
i
γ
β
u ´
i
γ
2 β
´ u
i
u ´
i + 1
γ
β ( ∆ t ) ²
u
i + 1
− u
i
β ∆ t
u ´
i
2 β
u ´
i
3. Repetir o procedimento para o próximo passo de tempo, substituindo
i por
i + 1 e implementando os passos 2.1 a 2.4 para cada caso.
O método de Newmark é estável se:
∆ t
T
n
π √ 2
√ γ − 2 β
, sendo
T
n
o período.
Porém, para valores de
e
β =
esta condição passa a ser:
∆ t
T
n
Isto implica que o método de aceleração média é estável para qualquer
∆ t , não importa quão
grande seja. No entanto, isso é considerado preciso apenas se ∆ t for pequeno o suficiente.
Neste trabalho adotou – se
∆ t ≤ 10 % T
n
5. Validação dos métodos
Para validação dos métodos, foi realizada uma análise dinâmica do problema já
resolvido na apostila Dinâmica das Estruturas da COPPE de 1990, do Professor Dr. Domício
Falcão Moreira e Silva. O problema consiste de uma torre de 5m de altura, com rigidez igual a
EI =6,25 x 10
6
N / m ²
e com uma caixa d’água elevada com uma massa de 10 toneladas.
Na Figura 5 está representado o problema com todas as informações que foram
inseridas na rotina dos métodos de integrações. Na Figura 6 apresenta os resultados da análise
dinâmica, que foi realizada manualmente pelo Professor Dr. Domício Falcão.
Figura 5 - Problema utilizado para validar os métodos
.
Os resultados obtidos foram satisfatórios, ou seja, próximos aos encontrados na
questão de validação. Essa pequena diferença ocorreu devido ocorreu devido a resolução da
apostila ter sido realizada manualmente. Estes resultados são mostrados nas Figuras 7 e 8.
Vale ressaltar, que para plotar a carga junto ao gráfico do deslocamento foi necessário dividí –
la por uma constante, visto que a carga apresenta valores muito acima dos valores encontrados
no deslocamento.
Figura 7 - Deslocamentos encontrados através do método numérico de Newmark.
Figura 8 - Deslocamentos encontrados através do método numérico de Simpson.
RESULTADOS
Aplicação do método de Newmark para o problema proposto
Foi realizada a análise dinâmica do problema proposto no item 2. Inicialmente,
diminuiu-se os pontos de análise, afim de identificar qual método sofre primeiramente os
efeitos dessa variação. Com relação a essa variação, sabe-se que esses métodos são aplicáveis
quando a variação do tempo Δt é inferior ou igual a 10% do período. Para o problemat é inferior ou igual a 10% do período. Para o problema
proposto, a frequência angular foi de ω = 50 rad/s, e o período foi de T = 0,13 s. Foi utilizado
um período de 0,0126s e com 30 subdivisões, gerando o gráfico da Figura 9.
Figura 10 - Deslocamentos - método numérico de Newmark para um período T de 0,0251s e n de 15.
Aplicação do método de Simpson e Integral de Duhamel para o problema proposto
Para compor o método de Simpson, foi utilizado o Excel. Vale ressaltar que nesse
método o número de subdivisões deve ser sempre par. A integração é feita sempre com três
pontos e o último destes é sempre o primeiro do subintervalo seguinte.
Verificou – se a instabilidade do método de Simpson quando o período se
distancia dos 10% do período natural da estrutura.
Figura 11 - Valores dos deslocamentos ao longo do tempo para ∆t=0,
(1.50)
(1.00)
(0.50)
Deslocamento x tempo
Tempo (s)
Deslocamento (10^-4 m)
Figura 12 - Valores dos deslocamentos ao longo do tempo para ∆t=0,
(1.50)
(1.00)
(0.50)
Deslocamento x tempo
Tempo (s)
Deslocamento (10^-4 m)
diferenças entre os resultados. Isto ocorreu porque o intervalo de tempo não foi pequeno o
suficiente.
1.1 Comportamento dinâmico da estrutura
Foi feita a análise dinâmica da estrutura para um tempo total de 10 s. Adotou-se no
programa de Newmark, aplicado no Matlab 2017a, um número de subdivisões
n igual a 2000 e
intervalo de tempo 0,005 s.
Figura 13 - Deslocamento para taxa de amortecimento de 2% ao longo de 10s
Nota – se na Figura 9, que pelo fato do carregamento de impulso ser subitamente
aplicado em um curto intervalo de tempo, o sistema tende à posição de equilíbrio estático
após certo número de ciclos amortecidos. Isso fica bastante visível principalmente após a
pequena fração de segundos de aplicação da força de impulso, que é quando esse sistema
passa a ser submetido ao regime livre amortecido. A Figura 10 apresentam o deslocamento da
estrutura obtido para taxa de amortecimento de 0 % para o mesmo período de análise de 10 s.
Comparando as Figuras 9 e 10, observa – se o quanto a taxa de amortecimento
determina o percentual de decaimento em torno da posição de equilíbrio estático. E que nos
primeiros instantes da carga de impulso, pelo fato do intervalo de tempo ser muito curto, o
amortecimento não consegue absorver energia significativa. O tempo de aplicação da carga
não chegou a ser um quarto do período da estrutura, então a forma como o impulso é aplicado,
pode ter influenciado no deslocamento máximo obtido.
Figura 14 - Deslocamento da estrutura para taxa de amortecimento de 0% ao longo de 10s.
A respota da aceleração para estrutura está representada na Figura 11. A
aceleração foi obtida pela segunda derivada do deslocamento e está defasada 180º do
deslocamento.
O momento fletor sofrido pela estrutura está representado pela Figura 12 e foi
encontrado a partir da força elástica atuante e da altura da torre. Nota – se que a medida que o
sistema absorve energia o momento fletor deixa de atuar sobre ela.
Uma vez cessada a atuação a força de excitação, a torre oscila como um movimento
harmônico livre e amortecido. Tendo em vista que o intervalo de atuação da carga é bastante
pequeno, podemos interpretá-la como uma força aproximadamente impulsiva e, portanto,
percebe-se uma perturbação no trecho inicial dos gráficos, como era esperado.
A análise dos gráficos mostra que os mesmos estão coerentes com um movimento
harmônico amortecido gerado por uma força impulsiva, possuindo um trecho de perturbação
inicial não harmônico devido à excitação impulsiva e, posteriormente, decaindo
exponencialmente em função da dissipação de energia gerada pelo amortecimento.
Apesar do amortecimento relativamente pequeno (2%), notou-se que após apenas 3
segundos de oscilação, os deslocamentos residuais foram desprezíveis.
Conclusão
Como era previsto com base na literatura, ao se utilizar um passo de tempo superior a
20% obtém-se resultados consideravelmente divergentes entre os métodos, ratificando a
necessidade um refinamento maior para este tipo de análise dinâmica. Assim, verifica-se que
a utilização de passos de tempo suficientemente pequenos constitui-se uma restrição à
utilização destes métodos numérico-computacionais. Apesar desta restrição teórica, a
implementação destes métodos não tem sua viabilidade comprometida, tendo em vista o
grande poder de processamento dos computadores atuais.
Em ambos os casos, utilizou-se o Microsoft Office Excel para a resolução a Integral de
Duhamel e o Matlab para implementação do Método de Newmark. Observou-se que a
utilização de ferramentas diferentes não influenciou nos resultados encontrados, tendo em
vista que todos procedimentos de cálculos foram validados satisfatoriamente, conforme
descrito no item 5.
Percebe-se que ao se utilizar valores de Δt é inferior ou igual a 10% do período. Para o problemat superiores a 10% do período T (2π/ω), os
resultados obtidos se distanciam entre os de Simpson e de Newmark. Portanto, verifica-se que
a utilização de passos de tempo suficientemente pequenos constitui-se uma restrição à
utilização destes métodos numérico-computacionais. Apesar desta restrição teórica, a
implementação destes métodos não tem sua viabilidade comprometida, tendo em vista o
grande poder de processamento dos computadores atuais.
Portanto, notou-se que, respeitando-se a restrição imposta pelo método, ambos são
satisfatórios produzindo resultados coerentes. Apesar das diferenças, sabe-se que as mesmas
são típicas dos processos numéricos que inevitavelmente incluem aproximações e erros, mas
que, nestes casos, não comprometeu os resultados.
Bibliografia
BARROS, et al - Cálculo Numérico - 2ª ed.
CHOPRA, Anil K. – Dynamics of Structures – 4ª ed.
CLOUGH & PENZIEN - Dynamics of Structures – 3ª ed.
MELO, Magnus – Cálculo Numérico
PAZ & LEIGH - Structural Dynamics - Theory and Computation – 5ª ed.
