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Relatório de Calor, com objetivo de obter nota de uma prova
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Não perca as partes importantes!
O problema tratado neste trabalho foi o 5.57 do Incropera, que afirma: “No tratamento térmico para endurecer bilhas de rolamento feitas em aço (c = 500 J/ (Kg.K), ρ = 7800 kg/m 3 , k = 50 W/(m.K)), é desejável aumentar a temperatura superficial por um curto período de tempo, sem no entanto provocar um aquecimento significativo no interior da bilha. Esse tipo de aquecimento pode ser obtido por meio de uma rápida imersão da esfera em um banho de sal fundido a uma temperatura = 1300 K e h = 5000 W/(m^2 .K). Considere que qualquer ponto no interior da esfera cuja temperatura seja superior a 1000 K tenha sido atingido pelo tratamento. Calcule o tempo necessário para tratar o milímetro mais externo de uma esfera de 20 mm de diâmetro, se sua temperatura inicial é 300 K.” Trata-se de uma esfera inicialmente à 300 K, que receberá um tratamento térmico de endurecimento; ela é submersa em um fluído à temperatura de 1300 K, o endurecimento ocorre apenas quando se ultrapassa a temperatura de 1000 K, porém neste problema queremos apenas que o milímetro mais externo sofra o endurecimento, logo, o último milímetro deve estar acima desta temperatura. Neste problema específico, foi escolhido um intervalo de raios de 0, mm e o raio total da esfera é de 10 mm, ou seja, tem-se 20 (vinte) pontos nodais, ou seja, para que o último milímetro esteja à 1000 K, temos que apenas os 3 pontos mais externos da esfera estejam acima desta temperatura (1000 K). No fim das contas, é necessário calcular o tempo que leva até alcançarmos estas condições e comparar os resultados para o aço e para o alumínio. Além do enunciado, foram adicionados alguns dados extras para melhor estudo dos resultados obtidos. Inicialmente, tinha-se apenas o aço como material da esfera, porém, adicionou-se o alumínio, pois é um metal de maior condução (4 vezes), relacionados a ele temos a condutividade (K = 200 W/(m.K)), o calor específico (C (^) p = 900 J/(Kg.K)) e a densidade (D = 2700 Kg/m 3 ).
T(20)=(1-((dtkA)/(drDcdV))-((dt4hpi((r)^2))/(DcdV)))T(20)+((kAdt)/ (DcdVdr))T(19)+((h4pi((r)^2)Tinfdt))/(DcdV); for n = 19:-1:2 % Cálculo iterativo, dos valores dos nós internos, variando de 2 a 19. T(n)= ((((r+(dr/2))^2)kdt)/((dr^2)Dc(r^2)))T(n+1)+((((r-(dr/2))^2)kdt)/ ((dr^2)Dc(r)^2))T(n-1)+(1-((((r+(dr/2))^2)kdt)/(((dr)^2)Dc(r)^2))-((((r-(dr/ 2))^2)kdt)/(((dr)^2)Dc(r)^2)))T(n); end T(1) = (1 - (6kdt/(Dc(dr)^2)))T(1) + ((6kdt)/(Dc(dr)^2))T(2); i=i+1; end t = i*dt;
% Parte numérica do alumínio while T2(18)< T2(20)=(1-((dt2k2A)/(drD2c2dV))-((dt24hpi((r)^2))/(D2c2dV)))T2(20)+ ((k2Adt2)/(D2c2dVdr))T2(19)+((h4pi((r)^2)Tinfdt2))/(D2c2dV); for m = 19:-1:2 % Cálculo iterativo, dos valores dos nós internos, variando de 2 a 19. T2(m)= ((((r+(dr/2))^2)k2dt2)/((dr^2)D2c2(r^2)))T2(m+1)+((((r-(dr/2))^2)k2dt2)/ ((dr^2)D2c2(r)^2))T2(m-1)+(1-((((r+(dr/2))^2)k2dt2)/(((dr)^2)D2c2(r)^2))-((((r- (dr/2))^2)k2dt2)/(((dr)^2)D2c2(r)^2)))T2(m); end T2(1) = (1 -(6k2dt2/(D2c2(dr)^2)))T2(1) + ((6k2dt2)/(D2c2(dr)^2))T2(2); i2=i2+1; end t2 = i2*dt2;
% Parte analítica Biac=hr/k; Bial=hr/k2;
tan=-log((1300-841.481989673696)/1000)(Dcr)/h; tan2=-log((1300-962.476079233720)/1000)(D2c2r)/h;
Baseados nos critérios de estabilidade, os dts foram calculados:
Tabela 1: dt para cada nó em diferentes materiais dado em segundos.
A utilização de apenas 3 (três) equações nodais deve-se ao fato da similaridade das equações nodais para os pontos internos já que, pelo balanço de energia, todos possuem dois pontos volumes de controles vizinhos. Neste caso, a área e o volume são constantes, mudando apenas as temperaturas a serem utilizadas. Já para os pontos central e externo, não se pode ter as mesmas equações nodais, já que, o balanço de energia não pode ser feito da mesma forma, pois não têm dois volumes de controle na vizinhança, apenas 1 (um).
Para a realização do cálculo pelo método analítico, alguns passos devem ser seguidos:
✓ Calcular o número de Biot, dado através da fórmula: ✓ Aplicar a expressão analítica obtida para uma esfera unidimensional
Tabela 2: Comparação dos tempos calculados no método numérico e analítico dados em segundos.
Figura 2: Distribuição das temperaturas ao longo dos nós para o alumínio.
Com os dados obtidos através do programa numérico, foi feito um gráfico que representa a medida de cada temperatura nos respectivos nós.
Gráfico 1: Temperaturas em cada nó.
Pode-se observar que o alumínio segue uma distribuição de temperatura com intervalo menor em relação ao intervalo de temperatura para o aço, isto ocorre devido a condutividade 4 (quatro) vezes maior que o alumínio. Percebe-se que isto terá influência direta no valor do tempo final, já que, quanto maior a condutividade, mais fácil será transmitido o calor através deste material, obtendo um menor tempo de aquecimento.
