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O exercício 5.60 do Incropera 6ª edição resolvido numericamente através de balanço e driscretização totalmente implícita, implementado no Matlab
Tipologia: Exercícios
1 / 12
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Não perca as partes importantes!
Aluno :
Marcelo Alexandre de Souza Júnior
Disciplina :
Fenômenos de Transporte Computacional
Professor :
Rita de Cássia Lima
Recife, 11 de Dezembro de 2012
Trabalho realizado pelo aluno Marcelo Alexandre de Souza
Júnior para avaliação parcial da Disciplina Fenômenos de
transporte Computacional do Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de
Pernambuco.
Solução Numérica
A solução numérica foi obtida pelo método do balanço de energia nos volumes de controle do
cilindro na direção radial :
Figura 1: Volume de Contole do nó interno da esfera (Visão 2D).
Equação de Balanço na direção radial para os nós internos:
2 2 3 3
1
1
2
2
m i m i i i
i
i
r dT r dT r r dT
k r k r c r r
dr dr dt
Ao discretizarmos as derivadas por diferenças finitas, obtemos:
2 2 3 3
1 1 1 1 1
1 1
n n n n n n
i i i i i i
m i m i i i
r r r r T T
k r k r c r r
r r t
Que após algumas manipulações algébricas pode ser reescrita da seguinte forma:
1 1
1
1
1
2 2 2 3 3
2 3
...
3
...
3
n n
i i
n
i
m m
i i i i i
m
i i i
T T
r r t
T
r t
k r k r r c r r
r r r r r
k r c r r
r r r
3
n
i
T
Figura 2: Volume de Controle do nó central (Visão 2D).
Equação de Balanço na direção radial para o nó central:
2 3
1
1
2
m
r dT r dT
k c
dr dt
Discretizando as derivadas por diferenças finitas, obtemos:
2 3
1 1 1
1 2 1 1
n n n n
m
r T T r T T
k c
r t
Que após algumas manipulações algébricas pode ser reescrita da forma:
1 1
1 2 1 2 2
n n n m m
k t k t
Equação de Balanço na direção raidal para o nó de superfície:
2
3
3
m
r R
r dT dT
k R c R
dr dt
Discretizando as derivadas por diferenças obtemos:
2
1 1 1
1 3
3
n n n n
N N N N
m
r T T T T
k R R
r t
Que após algumas manipulações algébricas, pode ser reescrita na seguinte forma:
2 2
3 1 1 3
1
3 3
n n n m m
N N N
k r k r
r t r t
Resultados e Discussão
a)
Gráfico 1: Distribuição da Temperatura no Centro e na superfície da esfera ao longo do tempo.
Pode-se observar no Gráfico 1 que as temperaturas na esfera decrescem ao longo do tempo,
devido ao gradiente de temperatura que provoca um fluxo de calor para fora da esfera.
Quando a temperatura da superfície atinge 415 K e a esfera é isolada, não há mais variação da
energia interna, pois não há mais fluxo de calor para dentro ou para fora do corpo e a temperatura
dentro da esfera se homogeiniza numa temperatura de equilíbriop constante.
b) O tempo para que a superfície da esfera atinja 415 K, é:
Para h=75[W/m
2
] t= 73 s
Para h=200[W/m
2
] t= 28 s
c) Fluxo Térmico
O fluxo térmico na superfície da esfera no instante em que a temperatura da esfera
Para h=75[W/m
2
] Q = 20,1438 [W/m
2
Para h=200[W/m
2
] Q = 53,7062 [W/m
2
Código do Programa em Matlab
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Fenômenos de Transporte Computacional %
% Profa. Rita de Cássia %
% Problema 5.60 - Incropera (6ª Edição) %
% Última atualização: 11/12/2012 %
% Por: Marcelo Alexandre de Souza Júnior %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all
close all
clc
% Dados do Problema proposto
Raio = 0.015; % [m]
dr = 0.00015; % Incremento da malha na direção r
km = 1.7; % [W(m^-2)(K^-1)]
T_Infinito = 320; % [K]
h1 = 200; % [W(m^-1)(K^-1)]
h2 = 200; % [W(m^-1)(K^-1)]
Tempo = 150; % [s]
dt = 0.01; % Tamanho do passo no tempo
Nt = Tempo/dt +1; % Número de passos no tempo
dens = 400; % [kg*(m^-3)]
c = 1600; % [J(kg^-1)(K^-1)]
NP = Raio/dr+1; % Número de pontos
M = sparse(NP,NP); % Matriz principal
Resp = ones(NP,1); % Matriz dos termos Independentes
T = ones(NP,1)*800;% Condição Inicial
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Montagem das Matrizes %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Pra facilitar a minha vida
A = (6kmdt)/(densc(dr^2));
B = (densc/(3dt));
C = km/dr;
D = h1*Raio^2;
E = C*((Raio-dr/2)^2);
F = B*((Raio^3)-(Raio-dr/2)^3);
G = h1T_Infinito(Raio^2);
%%%%%%%%%%%%%% Matriz dos Coeficientes %%%%%%%%%%%%%%
% Equações dos nós internos
% Equação do nó central
M(1,1) = (A+1);
M(1,2) = -A;
for i = 2:NP-
ri = (i-1)*dr;
M(i,i+1) = -C*((ri+dr/2)^2);
M(i,i-1) = -C*((ri-dr/2)^2);
M(i,i) = (C(((ri+dr/2)^2)+((ri-dr/2)^2)))+(B(((ri+dr/2)^3)-...
((ri-dr/2)^3)));
end
% Equação do nó da superfície
M(NP,NP-1) = -E;
M(NP,NP) = D+E+F;
%%% Fim da montagem da matriz dos coeficientes
% Contadores
T_centro(1) = 800;
T_sup(1) = 800;
cont = 0; % contador das iterações
t = 0; % Contador do tempo
while (t < Tempo && T(NP) > 415)
Resp(1) = T(1);
for i = 2:NP-
ri = (i-1)*dr;
Resp(i) = (B(((ri+dr/2)^3)-((ri-dr/2)^3)))T(i);
end
Resp(NP) = G+F*T(NP);
cont = cont+1;
T = M\Resp;
T_centro(cont+1) = T(1);
T_sup(cont+1) = T(NP);
t = t + dt;
end
fluxo = h14pi(Raio^2)(T(NP)-T_Infinito) % Fluxo de calor
U = densc(800 - 415)/(3* t) % Variação da ...
% % ... energia interna
while t < Tempo
M(NP,NP-1) = -E;
M(NP,NP) = E+F;
Resp(1) = T(1);
for i = 2:NP- 1
ri = (i-1)*dr;
Resp(i) = (B(((ri+dr/2)^3)-((ri-dr/2)^3)))T(i);
end
Resp(NP) = F*T(NP);
cont = cont+1;
T = M\Resp;
T_centro(cont+1) = T(1);
T_sup(cont+1) = T(NP);
t = t + dt;
end
t;
