Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
An´alise Matem´atica I
T´opicos de resolu¸c˜ao da 1aFrequˆencia do dia 30 de novembro de 2012 (v1)
1. Determine o dom´ınio e a express˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao inversa de f(x) = arcsin(x+ 2) + π/3.
Dom´ınio:
−π
2≤arcsin(x+ 2) ≤π
2⇔π
3−π
2≤arcsin(x+ 2) + π
3≤π
3+π
2⇔ −π
6≤f(x)≤5π
6
Portanto, Df−1=D0
f= [−π
6,5π
6].
Express˜ao anal´ıtica:
y= arcsin(x+ 2) + π
3⇔y−π
3= arcsin(x+ 2) ⇔sin(y−π
3) = x+ 2 ⇔sin(y−π
3)−2 = x
Portanto, f−1(x) = sin(x−π
3)−2.
2. Considere a fun¸c˜ao f(x) = x3−x.
(a) Calcule pela regra de L’Hˆopital lim
x→+∞
f(x)
xe2x.
lim
x→+∞
x3−x
xe2x= lim
x→+∞
x2−1
e2x
∞
∞
=
Hlim
x→+∞
2x
2e2x= lim
x→+∞
x
e2x
∞
∞
=
Hlim
x→+∞
1
2e2x= 0.
(b) Utilize uma aproxima¸c˜ao linear de fpara aproximar o valor de f(0.78).
f(0.78) ≈l(0.78) = f(1) + f0(1)(0.78 −1) = 0 + (3 −1)(−0.22) = −0.44.
(c) Resolva apenas uma das al´ıneas seguintes:
i. Indique um majorante para o erro cometido na aproxima¸c˜ao da al´ınea (b).
O erro ´e dado pelo resto de Lagrange de ordem 1:
R1(0.78) = f00 (c)
2! (0.78 −1)2, onde c∈]0.78,1[.
Uma vez que 6 ´e o m´aximo de |f00(x)|no intervalo [0.78,1], ent˜ao, |R1(0.78)| ≤ 3×0.222= 0.1452.
Portanto, 0.1452 ´e um majorante para o erro da aproxima¸c˜ao.
ii. Determine os zeros da fun¸c˜ao fe mostre utilizando o Teorema de Rolle que a derivada tem pelo
menos dois zeros no intervalo [−1,1].
Zeros de f:x3−x= 0 ⇔x(x2−1) = 0 ⇔x= 0 ∨x=±1.
A fun¸c˜ao f´e um polin´omio, logo ´e cont´ınua e diferenci´avel em IR. Uma vez que f(−1) = f(0) =
f(1) = 0, pelo Teorema de Rolle, existe um zero de f0no intervalo ]−1,0[ e existe pelo menos outro
zero em ]0,1[.
1
