Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
An´alise Matem´atica I
T´opicos de resolu¸c˜ao da 1aFrequˆencia do dia 20 de novembro de 2013 (v1)
1. Considere a fun¸c˜ao f(x) = ln(arccos(x) + 1) definida no seguinte dom´ınio de injetividade [−1,1]. Determine
a fun¸c˜ao inversa de findicando dom´ınio, contradom´ınio e express˜ao anal´ıtica.
Contradom´ınio: D′
f−1=Df= [−1,1].
Dom´ınio: 0 ≤arccos(x)≤π⇔1≤arccos(x) + 1 ≤π+ 1 ⇔0≤ln(arccos(x) + 1) ≤ln(π+ 1)
Portanto, Df−1=D′
f= [0,ln(π+ 1)].
Express˜ao anal´ıtica: y= ln(arccos(x) + 1) ⇔ey= arccos(x) + 1 ⇔ey−1 = arccos(x)⇔cos(ey−1) = x.
Portanto, f−1(x) = cos(ex−1).
2. Calcule apenas dois limites:
i. lim
x→+∞(ex−x)∞−∞
= lim
x→+∞ex(1−x
ex).
Uma vez que lim
x→+∞
x
ex
∞
∞
=
Hlim
x→+∞
1
ex= 0, ent˜ao o limite inicial ´e +∞.
ii. lim
x→0
cos(x)−x
sin(x)=1
0, portanto, o limite n˜ao existe.
iii. lim
x→0+(1 + x)1/x 1∞
= lim
x→0+e1
xln(1+x).
Uma vez que lim
x→0+
ln(1 + x)
x
0
0
=
Hlim
x→0+
1/(1 + x)
1= 1, ent˜ao o limite inicial ´e igual a e.
3. Considere a fun¸c˜ao f(x) = (x−1)2cosh(x).
(a) Comente a afirma¸c˜ao:
“Existe um ponto no intervalo [0,1], cujo declive da reta tangente ao gr´afico de f´e igual a −1.”
Uma vez que f′(x) = 2(x−1) cosh(x)+(x−1)2sinh(x) existe e ´e finita em IR, ent˜ao a fun¸c˜ao f´e
cont´ınua e diferenci´avel em IR, logo f´e regular no intervalo [0,1]. Assim, pelo teorema de Lagrange
existe c∈]0,1[, tal que, f′(c) = f(1)−f(0)
1−0=−1, ou seja, o declive da reta tangente ao gr´afico de fno
ponto de abcissa c´e igual a −1. Portanto, a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
(b) Determine uma estimativa do acr´escimo de f, ∆f, quando a abcissa do ponto varia de 0 para 0.125.
∆f≈df =f′(x0)∆x=f′(0)∆x=−2×0.125 = −0.25.
(c) Aproxime o valor de f(0.25) usando um polin´omio de Taylor de grau 2 de f, em torno de x0= 0.
Ora, f′′(x) = 2 cosh(x) + 4(x−1) sinh(x)+(x−1)2cosh(x), de modo que f′′(0) = 3. Al´em disso,
f(0) = 1 e f′(0) = −2. Assim, o polin´omio de Taylor da fun¸c˜ao f, em torno de x0= 0, ´e dado por
P(x) = f(0) + f′(0)x+f′′(0)
2! x2= 1 −2x+3
2x2.
Portanto, f(0.25) ≈P(0.25) = 1 −2×0.25 + 1.5×(0.25)2= 0.59375.
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