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São respondidos exemplos como: 1) Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular com raio de 10cm, e seja X a distância, em cm, do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A fdp de X é: (a) Calcule o valor da constante k. (b) Qual a probabilidade de “acertar a mosca”, se ela é um círculo concêntrico de raio 1 cm? (c) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico em relação ao alvo, é proporcional a sua área.
Tipologia: Exercícios
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Exemplo 1: Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular com raio de 10cm, e seja X a distância, em cm, do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A fdp de X é (a) Calcule o valor da constante k. (b) Qual a probabilidade de “acertar a mosca”, se ela é um círculo concêntrico de raio 1 cm?
(c) Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico em relação ao alvo, é proporcional a sua área. Sabemos que a área do círculo é π𝑟 ou seja, para verificar que essa 2 probabilidade é proporcional a área do círculo basta verificar que ela é proporcional a 𝑟 ao menos de uma constante. 2 Exemplo 2: O tempo necessário para um medicamento contra a dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos, tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor: (a) Cessar em até 10 minutos?
Exemplo 2: Encontre a fda da v.a. X cuja fdp é dada por
Exemplo 3: Seja X uma v.a. com fda dada por (a) Calcule as seguintes probabilidades: (i) P(X = 1);
Exemplo 2: Admita que a v.a. X tenha a seguinte função de probabilidade
1
𝑥 Seja Qual é a distribuição de probabilidade da “nova” v.a Y?
Exemplo 3: Seja que X uma v.a. contínua com distribuição uniforme no intervalo [-5, 15]. Considere uma “nova” v.a. Y = 1 se X ≥ 0, e Y = −1 se X < 0. Qual a distribuição de probabilidade da “nova” v.a Y. Exemplo 4: Suponhamos que X tenha f.d.p. (a) Se Y = H(X) = 3X + 1, encontre a f.d.p. de Y.
Exemplo 1: Considere a v.a. X: número de peças produzidas por minuto, cuja função de probabilidade (f.p.) é dada por X = x 1 2 3 4 P(X = x) 0,10 0,50 0,25 0, Calcule o número médio de peças produzidas por minuto.
Exemplo 2: O tempo adequado de troca, X, de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade desta variável seja dada pela seguinte expressão: Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis? Exemplo 3: Suponhamos que a variável aleatória X assuma os valores −1, 0 e 1, com probabilidades 1/6, 1/2, 1/3, respectivamente. Encontre o valor esperado de Y = 𝑋, de acordo com a DEFINIÇÃO dada anteriormente. 2
Exemplo 5: Refaça o Exemplo 3 utilizando, agora, o TEOREMA anterior. NÃO FEZ Exemplo 6: Refaça o Exemplo 4 utilizando, agora, o TEOREMA anterior. NÃO FEZ Exemplo 7: Considere a v.a. X: número de peças produzidas, por minuto, cuja função de probabilidade (f.p.) é dada por X = x 1 2 3 4 P(X = x) 0,10 0,50 0,25 0, Calcule o valor esperado de Y , em que Y = H(X) = 3X + 1. Exemplo 8: Seja X uma variável aleatória com f.d.p. dada por
Calcule o valor esperado de Y , em que Y = H(X) = 3X + 1. Exemplo 9: Um fabricante produz peças tais que 10% delas são defeituosas. Se uma peça defeituosa for produzida, o fabricante perde R$1, 00, enquanto uma peça não-defeituosa lhe dá um lucro de R$5, 00. Seja X for o lucro líquido por peça.
Exemplo 3: Considere a v.a. X: número de peças produzidas por minuto, cuja função de probabilidade (f.p.) é dada por X = x 1 2 3 4 P(X = x) 0,10 0,50 0,25 0, Calcule o desvio padrão da seguinte variável aleatória Y = 3X − 1.
Exemplo 1: Um fabricante de peças de automóvel garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, duas defeituosas. Sabe-se que uma caixa contém 20 peças, e a experiência tem demonstrado que, em seu processo de fabricação, 6% das peças são defeituosas. Selecionada uma dessas caixas, ao acaso, encontre: a. A probabilidade de que nenhum dos itens tenha defeito;
b. A probabilidade de que todas as peças sejam defeituosas; c. A probabilidade de que a caixa satisfaça a garantia; d. O número de peças defeituosas esperadas nesta caixa. Exemplo 2: Overbooking é uma prática realizada na aviação no mundo todo. Consiste na empresa aérea vender mais bilhetes do que o disponível no voo com base na média de desistências dos voos anteriores. Uma empresa aérea possui um avião com capacidade para 100 lugares, se para um certo voo essa empresa vendeu 103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro comparecer para embarque é de 93%, qual a probabilidade de algum passageiro não conseguir embarcar?
c. O número esperado de itens defeituosos? Exemplo 4: Se a probabilidade de um certo ensaio dar reação positiva for igual a 0,4, qual será a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? Exemplo 5: Toda manhã, antes de iniciar a produção, o setor de manutenção de uma indústria faz a verificação de todo o equipamento. A experiência indica que em 95% dos dias tudo está bem e a produção se inicia. Caso haja algum problema, uma revisão completa será feita e a indústria só começará a trabalhar após o almoço. Faça alguma suposição que julgar necessária e responda: a. Qual é a probabilidade de demorar 10 dias para ocorrer a primeira revisão completa? NÃO FEZ b. Qual é a probabilidade de demorar pelo menos 4 dias para ocorrer a primeira revisão completa? NÃO FEZ c. Qual o número médio de dias até a ocorrência da primeira revisão completa? NÃO FEZ Exemplo 6: Uma companhia recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Obtenha: a. A probabilidade de que a companhia não receba chamadas durante o intervalo de 1 minuto.
b. A probabilidade de que a companhia receba, no máximo, 2 chamadas durante um intervalo de 4 minutos. Exemplo 7: Seja X ∼ B(200; 0, 01). Calcule P(X = 10) usando a distribuição binomial e compare com o valor aproximado, desta probabilidade, obtido através da distribuição de Poisson.
Exemplo 1: O tempo, em horas, necessário para um reparo em certo tipo de máquina é uma variável aleatória exponencialmente distribuída com parâmetro α = 1/2.
