Resolução do halliday volume 4, Exercícios de Física

Baixe Resolução do halliday volume 4 e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity! CarítuLo 33 1. Como M << 1 ef=clÃ, temos E o GOO! m/00100x10?m) 7 49,10ºH7=7,49 GHZ (632,8x10?m)? 2. (a) A frequência da radiação é e. 3,0x10!m/s 7 (,0x10)6,4x10m) “4 =4,7x10º Hz. (b) O período da radiação é soaon 12 s=3min32s. 3. (a) De acordo com a Fig. 33-2, o menor comprimento de onda para o qual a sensibilidade do olho humano é metade da sensi- bilidade máxima é 515 nm. (b) De acordo com a Fig. 33-2, o maior comprimento de onda para o qual a sensibilidade do olho humano é metade da sensibi- lidade máxima é 610 nm. (c) De acordo com a Fig. 33-2, o comprimento de onda da luz à qual o olho humano é mais sensível é 555 nm. (d) De acordo com o resultado do item (c), 3,00x108m/s =€ HUUXIU MIS À 4 1-5 dO 5 qr 0H. (e) De acordo com o resultado do item (d), 1 1 15 T=l-o Lo esxiotss Ff 5 AlxioT Hz é 4. Como a velocidade da luz no ar é aproximadamente c = 3,0 x 10º m/s, em um intervalo de tempo t= 1,0 ns, a luz percorre uma distância d=ct=(3,0x 10º m/s)(1,0 x 10º s)=0,30 m. 5. PENSE A frequência das oscilações da corrente no circuito LC do gerador é f =1/24 VLC, em que C é a capacitância e Léa indutância. As ondas eletromagnéticas geradas pelo dispositivo têm a mesma frequência. FORMULE Se fé a frequência e À é o comprimento de onda de uma onda eletromagnética, fA = c. Assim, 2a LC ANALISE Explicitando L na equação anterior e substituindo os valores conhecidos, obtemos oo (550x10º m) L=- 5 5*—— Ss 47 Co 4mr(17x10 "E/2,998x 10! m/ =500x10?H. Este valor de indutância é extremamente pequeno. 2 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR APRENDA A frequência das ondas é 3,0x10º m/s A 550x10m =5,45x10" Hz. Esta frequência está na faixa da luz visível. 6. O comprimento de onda pedido é A=S=2mIo =2n(2,998x10 m/s)/(0,253x10 “H)(25,0x10 2F) =4,74m. 7. A intensidade é a média do vetor de Poynting: cB2 (3,0x108m/s)MLOx10“4TY swim? I=S,a = Pu = COMER O 1,2x10 Wim? TA 2(1,26x10ºH/m)? m 8. A intensidade do sinal ao chegar às vizinhanças de Próxima do Centauro é P 1,0x109W am aní(a3 anos-luz) (9.46x10'* m/ano-luz) 4,8x10? Wim?. 9. Se Pé a potência e At é a duração do pulso, a energia contida no pulso é E=PAt=(100x102 W)L,0x10º8)=1,0x10']. 10. A amplitude do campo magnético da onda é a BE = 32020 *Vim agr c 2,998x10m/s 11. (a) A amplitude do campo magnético é (b) Como o campo elétrico oscila paralelamente ao eixo e a onda se propaga paralelamente ao eixo x, o campo magnético oscila paralelamente ao eixo y. (c) A direção e o sentido de propagação de uma onda eletromagnética são determinados pelo produto ExB. De acordo coma regra da mão direita, se o campo elétrico está apontando no sentido positivo do eixo z e a onda está se propagando no sentido positivo do eixo x, o campo magnético deve estar apontando no sentido negativo do eixo y. 12. (a) O valor máximo do campo magnético da onda é B “E, 5,00Vim nossa omg” 710 "T=16,7 ni. (b) A intensidade é a média do vetor de Poynting: Ei, =s E (5,00 Vim)? méd Dane 27x107T-m/A)(2,998x10 m/s) =3,31x10º Wim? =33ImW/m?. 1 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 5 terminada através da relação m = pV) é dado por V = 477/3. Finalmente, a intensidade 1 está relacionada à potência P da fonte luminosa através da Eq, 33-27, 1 = P/47Rº, em que R é a distância da fonte. Fazendo E, = F, e explicitando P, obtemos 1 167R'cprg 3, p=amo( p$ere] + 3 mr? — 16m(0,5 m)?(2,998x1 08 m/sX1,9x10! kg/m”)(2,0x10*/9,8 m/s?) - 3 =4,68x10!! W. (b) Qualquer pequena perturbação tiraria a esfera da posição de equilíbrio, pois, nesse caso, as duas forças deixariam de atuar ao longo do mesmo eixo. 24. Fazendo F, = F, obtemos o que nos dá go SGUMS (6,67xX10!! N-m?/k8?)(1500 kg)(1,99x10% kg)(2,998x108 m/s) 2d, 2(1,40x10º W/m?)(,50x107 m)? =9,5x10 m?=0,95 km?. 25. PENSE Este problema envolve a relação entre a pressão de radiação e a densidade de energia do feixe incidente. FORMULE Seja f a fração da intensidade do feixe incidente que é refletida. A fração absorvida é 1 - f. A parte refletida exerce uma pressão de radiação e a parte absorvida exerce uma pressão de radiação Go c em que 1, é a intensidade incidente. O fator 2 aparece na primeira expressão porque o momento da parte refletida muda de sentido. A pressão de radiação total é a soma das duas contribuições: Pas = p,+ p= 40h AD, c ANALISE Para relacionar a intensidade à densidade de energia, considere um tubo de comprimento ( e área da seção reta A, cujo eixo coincide com a direção de propagação de uma onda eletromagnética. A energia eletromagnética contida no interior do tubo é U=uAL, em que u é a densidade de energia. Como toda essa energia passa pela extremidade do tubo em um intervalo de tempo £ = LJc, a intensidade é U uste Car TAL o que nos dá u = I/c. A intensidade e a densidade de energia são positivas, qualquer que seja a direção de propagação. No caso de uma onda parcialmente refletida e parcialmente absorvida, a intensidade perto da superfície é = flo= (+ la, 6 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR em que o primeiro termo está associado ao feixe incidente, e o segundo está associado ao feixe refletido. Em consequência, a densidade de energia é 10 Dk e e u= ou seja, tem o mesmo valor que a pressão de radiação. APRENDA No caso de reflexão total, f= 1 e Pa = P,= 21y/c. Por outro lado, a densidade de energia é u = Ilc= 21,/c, que éa mesma expressão encontrada para P,ya. No caso de absorção total, f= 0, Pow = Pp, = 19/c, €, como I = L, temos u = I/c= 1,/c, que, novamente, é a mesma expressão encontrada para P,a- 26. A massa do cilindro é m = p(xD?/4)H, em que D é o diâmetro do cilindro. Como o cilindro está em equilíbrio, -me-p -ZHD'gp (mD' (21) hucme-n-2HDsp (e 13) o o que nos dá o 2(4.60W) [7(2,60x10m)” /4](9,8 m/s” )(3,0x10º m/s)/(1,20x10" kg/m”) =4,91x107 m. 27. PENSE As ondas eletromagnéticas se propagam à velocidade da luz e transportam momento e energia. FORMULE A velocidade de uma onda eletromagnética é c = 1f, em que À é o comprimento de onda e fé a frequência da onda. A frequência angular é «o = 27tf é o número de onda é k = 271/A. A amplitude B,, do campo magnético está relacionada à amplitude E, do campo elétrico pela equação B, = E,/c. A intensidade da onda é dada pela Eq. 33-26: pede = E) Cy 2cth, ANALISE (a) Para À = 3,0 m, a frequência da onda é p-£2898x10' m A 30m 10x 10º Hz. (b) A frequência angular pode ser calculada a partir do valor de f obtido no item (a): w=27f =27(1,0x10º Hz) = 63x 10º rad/s. (c) O número de onda correspondente é tp p= otradim 2 30m (d) Se E,, = 300 V/m, a amplitude do campo magnético é p= Bo = 300Nim 019 7. e 2,998x10'mis (e) Se É aponta no sentido do semieixo y positivo, B deve apontar no sentido do semieixo z positivo para que o produto vetorial ExB aponte no sentido do semieixo x positivo (a direção de propagação). (f) A intensidade da onda é (300 Vim)” — ET -N9Wim=i2x10 Wim, A47x10" Him)(2,998x10*m/s) MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 7 (g) Como a placa absorve totalmente a onda, a taxa de variação do momento por unidade de área é I/c; portanto, dp JA (MO Wim 20 m') | =D=1 0 + =80x107 N de e 2998x10º m/s (h) A pressão da radiação é p. = Spidt 8OXI0TN 49107 pa, A 20 APRENDA A densidade de energia é m? HoWim 4 ox107 Im c 2,998x10º mis ou seja, tem o mesmo valor que a pressão de radiação. 28. (a) Supondo que toda a radiação é absorvida, a pressão da radiação é 4x10º W/m? 4,7x108N/m?. 300 ms Im (b) A razão pedida é SNim Pe A 7x0! N/m = Dao! Do L0x10N/m? 29. PENSE A luz do laser transporta energia e momento. A energia e momento totais da espaçonave e da luz são conservados. FORMULE Se a luz remove uma energia U da espaçonave, também remove um momento p = U/c. De acordo com a lei de con- servação do momento, esse é o módulo do momento adquirido pela espaçonave. Se P é a potência do laser, a energia removida no intervalo de tempo t é U = Pt. ANALISE Se a energia removida da espaçonave é Pt, o momento removido é p = Pt/c. Usando a relação p = mv, em que m éa massa da espaçonave, e levando em conta o fato de que 1 dia equivale a 86.400 segundos, temos vob (10x 10º W)(86.400 s) =Ê= + = 19x 10º m/s. m me (15x10 kg(2,998x10º m/s) APRENDA Como era esperado, a velocidade da espaçonave é proporcional à potência do laser. 30. (a) Como a área da seção reta do feixe é 1d?/4, em que d é o diâmetro da esfera, a intensidade do feixe é PP 5.00x102W l=1=—" 0 =—2"D"—— =3,97x10º Wim? =3,97 GW/m?. AT maia” m(i266x10Omj/4 2/10 Wim m (b) A pressão da radiação é 1 39DAO Wim =1 0 397x10 Wim" 43,5 py Pc 98x mis (0) A força associada à radiação é igual à pressão multiplicada pela área da seção reta do feixe, que, por sua vez, é igual a P/I; md? P 5,00x10*W. a F=p|-— E p,|> = (13,2Pa) DD =1,67x10!N. r | 4 | 2(7) . D 3.97x10" Wim? . (d) A aceleração da esfera é E. E 6(1,67x10!N) m plrd'io) x(5.00x10º kg/m)1266x10 Im) =314x10 m/s. a= 10 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR Estamos interessados em determinar o menor valor inteiro de n para o qual a intensidade é maior que 0,601, Começamos com n = 3e calculamos cos*(90º/n). Se o resultado for maior que 0,60, obtivemos a solução. Se for menor que 0,60, somamos 1 ao valor de n e repetimos o cálculo. APRENDA As intensidades calculadas para n = 3,4 e 5 são = cos (90) =0 1/4=0,251, Iocos" (18º) = 0,6051, 38. Observando os pontos em que a intensidade é zero (9, = 0º e 90º) no gráfico da Fig. 33-43, concluímos que o polarizador 2 é perpendicular a um dos outros dois polarizadores para 8, = 0º e perpendicular ao outro polarizador para 6, = 90º. Sem perda de generalidade, podemos supor que 8, = 0º e 6, = 90º. Nesse caso, para 8, = 30º, o polarizador 2 faz um ângulo de 30º com o polarizador 1, e o polarizador 3 faz um ângulo de 60º com o polarizador 2. Assim, m LA cosi(30º) cos? (60º) =0,094-9,4% 39. (a) Como a luz incidente é não polarizada, metade da luz é transmitida e metade é absorvida. Assim, a intensidade da luz transmitida é 1, = 1/2 = 5,0 mW/m?. Como a intensidade e a amplitude do campo elétrico estão relacionadas através da equação 1=ER/2u,e, temos E, =2utçcl, = 24x x107 H/m)(3,00x10º m/s)(5,0x10 Wim?) =1,9V/m. (b) A pressão da radiação é dada por p, = 1,/c, em que I, é a intensidade da luz absorvida. Como foi visto no item (a), a intensidade da luz absorvida é 1, = 1/2 = 5,0 Wim. Assim, = 5,0x103 Wim? =50x107 Wim" 4 qygm pa, Pr 3,00x10 mis Ê 40. Observando os pontos em que a intensidade é zero (9, = 60º e 140º) no gráfico da Fig. 33-44, concluímos que o polarizador 2 é perpendicular a um dos outros polarizadores para 8, = 60º e perpendicular ao outro polarizador para 0, = 140º. Sem perda de generalidade, podemos supor que 6, = 60º + 90º = 150º e que 8, = 140º — 90º = 50º. Nesse caso, para 6, = 90º, o polarizador 2 faz um ângulo de 150º — 90º = 60º com o polarizador 1 e um ângulo de 90º — 50º = 40º com o polarizador 3. Assim, 1, + = deos (60º) cos?(40º) = 0,073= 7,3%. 41. Quando a luz polarizada, de intensidade 1, passa pelo primeiro polarizador, a intensidade cai para 1, cos? 8. Depois que a luz passa pelo segundo polarizador, que faz um ângulo de 90º com o primeiro, a intensidade passa a ser I=(Lcos?0)sen? 6=1,10, e, portanto, sen?9 cos?0=1/10 > senO cos0=sen2 0/2=1/V10, o que nos dá 6 =20º ou 70º. 42. Observando o gráfico da Fig, 33-45, vemos que a intensidade da luz é zero para 6, = 160º. Como as direções dos polarizadores devem ser perpendiculares para que a intensidade da luz transmitida se anule, 6, = 160º - 90º = 70º. Considere a intensidade para 8, = 90º (que não pode ser lida diretamente no gráfico, já que a escala do eixo de intensidade não é conhecida). Como sabemos que 6, = 70º, o ângulo entre os polarizadores agora é 20º. Levando em conta a redução “automática” para metade do valor inicial MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 11 que acontece quando um feixe de luz não polarizada passa por um polarizador, a fração da luz transmitida pelo conjunto de dois polarizadores é 1=c08(20)/2=0,442 = 44%. 43. Seja 1, a intensidade da luz incidente e seja fa fração polarizada. A intensidade da parte polarizada é f, e esta parte contribui com f1, cos* 6 para a intensidade da luz transmitida pelo filtro polarizador, onde 8 é o ângulo entre a direção de polarização da luz e a direção de polarização do filtro. A intensidade da parte não polarizada da luz incidente é (1- fl, e esta parte contribui com (1= f)K/2 para a intensidade da luz transmitida. Assim, a intensidade da luz transmitida é I= Slot OHI0-Dl, Quando o filtro gira, cos? O varia entre um mínimo de O e um máximo de 1, e a intensidade da luz transmitida varia entre um mínimo de 1 Lam =50-Dho e um máximo de Ls Sh tÃ0- D-50+ Pk A razão entre Ls € Lin É más Tm Fazendo L, Li = 5,0 na expressão anterior, obtemos f = 4/6 = 0,67. 44. Aplicando a Eq. 33-36 uma vez e a Eq. 33-38 duas vezes, obtemos I,c0s 6, cos?(90º-6,) =Fsenê(29,) =0,0500 = 6, =2semt (4940)=19,6º Como essa expressão não muda quando fazemos 6; =90- 8,, o complemento de 8,, 90º — 19,6 = 70,4º também é uma solução. Comparando as duas soluções, chegamos à conclusão de que (a) o menor valor possível de 6, é 19,6º; (b) o maior valor possível de 6, é 70,4º. 45. Na Fig, 33-46, a normal à superfície refratora é vertical. O ângulo de refração é 8,= 90º e o ângulo de incidência é dado por tan 6, = L/D, em que D é aaltura do tanque e L é a largura do tanque. Assim, =tan (LI tanif LIOm | o 9,=tan (5) tan (osso 52,31º. De acordo com a lei de Snell, n—— “send, sen52,31º sen 90º 00 qeas [126 46. (a) Se os ângulos do raio incidente e do raio refratado fossem iguais, o gráfico da Fig. 33-47b seria uma reta com uma inclinação de 45º. Na verdade, a curva do material 1 tem uma inclinação maior que 45º, o que significa que o ângulo de refração é maior que o ângulo de incidência. De acordo com a lei de Snell, isso significa que n, < 1, ou seja, que o índice de refração do meio é maior que o índice de refração da água. 12 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR (b) Usando o mesmo raciocínio do item (a), concluímos que, também neste caso, o índice de refração do meio é maior que o índice de refração da água. (c) É mais fácil analisar o ponto mais alto de cada curva. No caso da curva 1, para 0, = 90º, 0, = 45º e n,= 1,33 (veja a Tabela 33-1), a lei de Snell nos dá n, = 1,9. (d) No caso da curva 2, para 6, = 90º, 8, = 67,5º, obtemos n, = 1,4. 47. De acordo com a lei de Snell, nsen6, =n,sen6,. Vamos tomar o meio 1 como sendo o vácuo, com 1, = 1 e 8, =32,0º. O meio 2 é o vidro, com 8, = 21,0º. Explicitando m,, obtemos sen32,0º ,00)| —— |=1,48. a (eo) send, senô, 48. (a) Se os ângulos do raio incidente e do raio refratado fossem iguais, o gráfico da Fig. 33-48b seria uma reta com uma inclinação de 45º. Na verdade, a curva do material 1 tem uma inclinação menor que 45º, o que significa que o ângulo de refração é maior que o ângulo de incidência. De acordo com a lei de Snell, isso significa que n, < n, ou seja, que o índice de refração do meio é maior que o índice de refração da água. (b) Usando o mesmo raciocínio do item (a), concluímos que, também neste caso, o índice de refração do meio é maior que o índice de refração da água. (c) É mais fácil analisar o ponto na extremidade direita de cada curva. No caso da curva 1, para 6, = 90º, 0, = 67,5º e n,= 1,33 (veja a Tabela 33-1), a lei de Snell nos dá n, = 1,4. (d) No caso da curva 2, para 6, = 90º e 6, = 45º, obtemos n, = 1,9. 49. Como o ângulo de incidência do raio luminoso no espelho B é 90º - 8, o raio refletido r' faz um ângulo 90º - (90º - 6) = 8 com a horizontal e se propaga no sentido oposto ao do raio incidente. Assim, o ângulo entre ie 1º é 180º. 50. (a) Aplicando duas vezes a lei de Snell, obtemos n,senô, = n;senô, e n;senô, = n,senB, o que nos dá n,senô, = n;senô, Isso nos leva à conclusão de que 8, = 6, se n,= 1. Como sabemos que 8, = 40º na Fig. 33-504, procuramos o valor de n, na Fig. 33-50b para o qual 6, = 40º. Como este valor é n, = 1,6, concluímos que n,= 1,6. (b) Ao resolver o item (a), vimos que a influência de n, no ângulo do raio refratado desaparece quando a lei de Snell é aplicada duas vezes. Isso significa que não é possível calcular o índice de refração do meio 2 com base nas informações disponíveis. (c) Usando a relação obtida no item (a), temos 1,6sen70º=24sen0, => 0,=sen! (1,6 sen 70)/2,4= 39º, 51. (a) De acordo com a lei de Snell, temos mseno,=(I)senó, = 6,=sen '(nsen6)=sen T(1,30)(0,644)]=56,8º. (b) Aplicando várias vezes a lei de Snell, obtemos nsen6, =n,sen6, =n, sen O, =n,send,, o que nos dá 9,=sen!| LL seng, [-35,3º. ny MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 15 57. A Fig, 33-24 pode facilitar a visualização do “círculo de luz” a que o problema se refere. Imagine a figura produzida fazendo girar a Fig. 33-24a em torno de um eixo vertical passando pelo ponto S. Como o raio do círculo (que corresponde à distância a-e na Fig. 33-24a) e a profundidade h do ponto S estão relacionados pelo ângulo crítico, o diâmetro do círculo é D=2htang, =2htan [o (E) =2(80,0cm) tan [e (55) =182cm. n, 58. O ângulo crítico é 0,=sen” 1 =sen” AL =34º, n 18 59. PENSE A reflexão interna total acontece quando o ângulo de incidência O, excede um ângulo crítico tal que, de acordo com a lei de $nell, sen 6, = 1. FORMULE Se um raio luminoso que está se propagando em um meio de índice de refração n, atinge a interface de um meio de índice de refração n, < n, e o ângulo de incidência excede um valor crítico dado por 0 =sen! (2) nm Neste problema, o raio incidente é perpendicular à face ab do prisma. Isso significa que o raio não sofre refração na face ab, e o ângulo de incidência na superfície ac é = 90º - &, como mostra a figura a seguir. o raio luminoso sofre reflexão interna total. ANALISE (a) Para que ocorra reflexão interna total na segunda superfície, n, sen (90º - &) deve ser maior que 1, em que n,é o índice de refração do vidro, e n,, é O índice de refração do ar. Como sen (90º — 6) = cos &, estamos interessados em determinar o maior valor de é para o qual n, cos 4 > n,. Lembre-se de que cos À diminui quando q aumenta a partir de zero. Quando q atin- ge o maior valor para o qual acontece reflexão interna total, n, cos É = n,,, O que nos dá g=cos! [2] =cos! (15) =489º, n, em que tomamos o índice de refração do ar como sendo n,, = 1. (b) Se o prisma estiver imerso em água, o maior valor de $ para o qual acontece reflexão interna total será cos! 133 =290º, 152 em que tomamos o índice de refração da água como 11, = 1,33 (veja a Tabela 33-1). APRENDA A reflexão interna total não pode acontecer se a luz estiver se propagando inicialmente no meio com menor índice de refração, já que a equação do ângulo crítico, 9, = sen"!(n,/n,) não tem solução para nn, > 1. 60. (a) De acordo com a Eq. 33-44, o ângulo crítico é aquele para o qual O, = 90º. Assim (com 6, = 6,, que não precisamos calcular), temos mseng, =n, sen6, =n,senO,, 16 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR o que nos dá 6,=0,=sen! n/m =54,3º. (b) Sim. Quando 6 diminui, 0, também diminui, ficando menor que o ângulo crítico. Isso significa que parte da luz é transmitida para o meio 3. (c) Como o ângulo crítico é o complemento do ângulo de difração do meio 2, temos nsenô=n, cos6, =n, (a =Jmó-m, n, o que nos dá 6 =51,1º. (d) Não. Quando O diminui, 9, aumenta, o que torna o ângulo 9, maior que o ângulo crítico. Assim, nenhuma luz é transmitida para o meio 3. 61. (a) Note que o complemento do ângulo de difração do meio 2 é o ângulo crítico. Assim, nsen9=n,cos6, =n, o o Mm (b) Sim. Quando 8 aumenta, o ângulo de incidência da luz na interface entre os meios 2 e 3 diminui, ficando menor que o ângulo crítico. Isso significa que parte da luz é transmitida para o meio 3. o que nos dá 6 =26,8º. 62. (a) A Fig. 33-24 pode facilitar a visualização da circunferência a que o problema se refere. Imagine a figura produzida fazendo girar a Fig. 33-24a em torno de um eixo vertical passando pelo ponto $. Como o raio da circunferência (que cor- responde à distância a-e na Fig. 33-24) e a profundidade h do ponto S estão relacionados pelo ângulo crítico, o diâmetro da circunferência é d=2htang, =2htan E (2) =2(2,00m)tan pn (135) =4,56m n, (b) De acordo com a equação obtida no item (a), o diâmetro d é diretamente proporcional à profundidade h; assim, se o peixe descer para uma profundidade maior, o diâmetro da circunferência aumentará. 63. (a) A figura a seguir mostra o percurso de um raio luminoso no interior do prisma. Seja 8, o ângulo de incidência, seja 0, o ângulo de refração na primeira superfície e seja 8, o ângulo de incidência na segunda super- fície. O ângulo de refração na segunda superfície é 9, = 90º. Como mostra a figura, as normais à primeira e à segunda superfícies são mutuamente perpendiculares. Como a soma dos ângulos internos do triângulo formado pelo raio luminoso e as duas normais € 180º,0,= 90º -0,€ senó, =sen(90º - 6,) =cos6, = J1-sen” 6,. MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 17 Aplicando a lei de Snell à segunda superfície, obtemos n sen 6, = sen, = 1,0 que nos dá n1-sen à primeira superfície, obtemos sen 6, = n sen 6,, o que nos dá sen 6, = (sen 0,)/n e, portanto, =1. Aplicando a lei de Snell Elevando ambos os membros ão quadrado e explicitando n, obtemos n=l+sen?6,. (b) Como o maior valor possível de sen? 8, é 1, o maior valor possível de n é Nas = 2 =1,41, (0) Sim. Se o ângulo de incidência na primeira superfície for maior que 6,, o ângulo de refração será maior que O, e o ângulo de incidência na segunda superfície será menor que 9, (= 90º - 6,). Assim, o ângulo de incidência na segunda superfície será menor que o ângulo crítico para reflexão interna total, e a luz sairá do prisma. (d) Não. Se o ângulo de incidência na primeira superfície for menor que 9, o ângulo de refração será menor que 0, e o ângulo de incidência na segunda superfície será maior que 8,. Assim, o ângulo de incidência na segunda superfície será maior que o ângulo crítico para reflexão interna total, e toda a luz será refletida de volta para o interior do prisma. 64. (a) Vamos chamar de À o ponto de entrada no prisma do raio luminoso (o ponto onde o raio encontra a superfície esquerda do prisma na Fig. 33-53), de B o vértice superior do prisma, e de C o ponto de saída do raio luminoso. Vamos chamar de f o ângulo entre a reta AB e a direção do raio no interior do prisma (o complemento do ângulo de refração na primeira superfície), e dec: o ângulo entre a reta BC ea direção do raio no interior do prisma (o complemento do ângulo de incidência na segunda superfície). Quando o ângulo do raio incidente tem o menor valor necessário para que a luz saia do prisma, o ângulo de incidência na segunda superfície é o ângulo crítico para reflexão interna total, e o ângulo de refração na segunda superficie é 90º. Seja O, o ângulo de incidência na primeira superfície, seja 9, o ângulo de refração na primeira superfície, e seja 9, o ângulo de incidência na segunda superfície. A aplicação da lei de Snell à segunda superfície nos dá nsen0,=1 > sen0,=1/n=1/1,60=0,625 > 0, =38,68º. Como a soma dos ângulos do triângulo ABC é 180º, c: + 8 = 120º. Como a = 90º 6, = 51,32º, = 120º 51,32º = 69,68º. Assim, 8,=90º- =21,32º. Aplicando a lei de Snell à primeira superfície, obtemos sen0,=nsen6,=1,60sen 21,32º=0,5817 > 0,=35,6º. (b) Nesse caso, como o ângulo de saída deve ser igual ao ângulo de entrada, a aplicação da lei de Snell à segunda superfície nos dán sen 0, = sen 0,. As relações entre os ângulos são as mesmas do item (a): a + = 120º, a = 90º — 0, eB = 90º 0,. Assim, temos 8, + 9, = 60º, o que nos dá seng,=n sen(60º-0,) = seng, =nsen60º cos6, — ncos60ºseng,, onde foi usada a relação trigonométrica sen(4 -B)=senAcosB-cosAsenB. Aplicando a lei de Snell à primeira superfície, obtemos seng, =nsen9, = seng,=(1/n)seng,, o que nos dá cos6,=1-sen?6, = (1/7) sen?6,. 20 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR APRENDA No caso de ângulos de incidência diferentes do ângulo de Brewster, a luz refletida é parcialmente polarizada, ou seja, apresenta uma proporção maior de componentes com o campo elétrico perpendicular ao plano de incidência do que com o campo elétrico paralelo ao plano de incidência. Quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo de Brewster, a luz refletida é totalmente polarizada e apresenta apenas componentes com o campo elétrico perpendicular ao plano de incidência. 70. Aplicando duas vezes a lei de Snell, temos E E = Ptangtmo). n =| Como as placas são paralelas, o ângulo de refração na primeira interface é igual ao ângulo de incidência na segunda interface. Sabemos que, quando o ângulo de incidência é o ângulo de Brewster, o ângulo de refração é o complemento do ângulo de reflexão. Assim, usando a notação da Fig. 33-64, 9,=(8).=90º—8, e, portanto, 1 tanô,=tan(6) =—— =tan(0). = e o produto das tangentes na equação anterior é igual a 1, o que nos dá n,=n,= 1,0. 71. PENSE Todas as ondas eletromagnéticas, entre elas as ondas luminosas, se propagam no vácuo à mesma velocidade c, conhe- cida como velocidade da luz. FORMULE O tempo que uma onda eletromagnética leva para percorrer uma distância d no vácuo é t = d/c, em que c é a veloci- dade da luz (3,00 x 10º m/s). ANALISE (a) Para d = 150 km = 150 x 10º m, temos dd 150x10m DES -s00x10s. 300x10m/s (b) Na lua cheia, a Lua e o Sol estão em lados opostos da Terra e, portanto, a distância percorrida pela luz é d=(1,5x 10º km) +2 (3,8 x 10) km) = 1,51 x 10º km = 1,51 x 10 m. O tempo que a luz leva para percorrer essa distância é a A SIxIO!m c 3,00x10m/s =500 s=8,4 minutos. (c) Para d = 2(1,3 x 10º km) = 2,6 x 10º m, temos o =4. 26x10m 47 195,-24 horas. cT 3,00x10m/s (d) Para d = 6500 anos-luz, temos —d 6500anos-luz t “e 1,00ano-luz/ano — 6500 anos. A explosão aconteceu no ano 1054 — 6500 = -5446 ou 5446 a.C. APRENDA Como a velocidade c da luz é constante, o tempo de percurso é proporcional a distância. 72. (a) A expressão E, = E, sen(kx — wt) atende à condição de que o campo elétrico no ponto P está diminuindo com o tempo no instante t = 0 se supusermos que o ponto P está à direita da origem (x > 0) e o valor de x é menor que 7/2k = A/4. É importante MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 21 lembrar que, nesta descrição, a onda está se propagando para a direita. Mais especificamente, x, = (1/k) sen-!(0,25 rad) para que E, = (1/4)E, no ponto P, no instante t = 0. Além disso, no caso da expressão escolhida para o campo elétrico, E,(0,0) = 0. Assim, a resposta do item (a) é simplesmente o valor de x,. Como k = 27flc, temos - 3,0x108)(0,252) d= =ap> eps 10,25 rad) = ASA 30,Inm (b) Ao nos deslocarmos para a direita ao longo do eixo x (ainda examinando este “instantâneo” da onda em t = 0), encontramos outro ponto em que E, = 0 a uma distância de meio comprimento de onda do ponto anterior no qual E, = 0. Como À = c/f, a coor- denada deste ponto é x = 2/2 = c/2f, o que significa que o ponto está a uma distância à direita de P dada por co 3x10º 2f 2(4,0x10") =375nm-30,Inm=345nm 73. PENSE As componentes elétrica e magnética da onda eletromagnética estão sempre em fase, são mutuamente perpendiculares e são perpendiculares à direção de propagação da onda. FORMULE Os campos elétrico e magnético de uma onda eletromagnética podem ser representados pelas seguintes funções da posição e do tempo: E E sen(la+ or), B=Bsen(hr+ot) em que E, e B, são as amplitudes dos campos, k é o número de onda e q é a frequência angular. As amplitudes dos campos estão relacionadas pela Eq. 33-4: E, /B,, = c, em que c é a velocidade da onda. ANALISE (a) De acordo com a Eq. 16-13, « = kc. Como, neste problema, k = 1,00 x 10º m-!, q = (1,00 x 10º m-!)(3,00 x 10º m/s) = 3,00x 10! rad/s. De acordo com a Eq, 33-5, Bn= Enc = (5,00 Vime = 1,67 x 10 *T. O sinal do segundo termo do argumento da função senoidal de E mostra que a onda está se propagando no sentido do semieixo z negativo. Como É = E,j e sabemos que É é perpendicular a E e a ExB, concluímos que a única componente de B diferente de zero é B, cujo valor é dado por B,=(1,67x10* T)sen[(1,00x10º /m)z+(3,00x10! /5)7]. (b) O comprimento de onda é À = 21/k = 6,28 x 10%m. (0) O período é T= 27/w = 2,09 x 10"! 5. (d) A intensidade é 1 (5,00VimY > — | 2D>— | =0,0332 W/m”. sl JZ ) fm (e) Como foi dito no item (a), a única componente de B diferente de zero é B.. Isso significa que o campo magnético oscila para- Ielamente ao eixo x. (f) O valor do comprimento de onda obtido no item (b) mostra que essa onda pertence à região do infravermelho do espectro eletromagnético. APRENDA As ondas eletromagnéticas são ondas transversais. Conhecendo a função que descreve a componente elétrica da onda, podemos determinar a componente magnética, e vice-versa. 74. (a) Seja r o raio e seja p a massa específica da partícula. Como o volume é (47/3)rº, a massa é m = (4/3) pr". Seja Ra distância entre o Sole a partícula, e seja M a massa do Sol. Nesse caso, o módulo da força gravitacional que o Sol exerce sobre a partícula é GMn AmGMpr? o R E 22 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR Se P é a potência irradiada pelo Sol, a intensidade da radiação na posição da partícula é | = P/4XR?; se toda a luz é absorvida, a pressão da radiação é 1 P Par Como toda a radiação que passa por um círculo de raio r e área A =71Yº, perpendicular à direção de propagação, é absorvida pela partícula, o módulo da força que a radiação exerce sobre a partícula é O sentido da força é para longe do Sol. Note que tanto a força da gravidade como a força da radiação são proporcionais a Rº. Assim, se uma das forças é maior que a outra a uma certa distância do Sol, o mesmo acontece a qualquer distância. Por outro lado, as duas forças não variam da mesma forma com o raio r: E, é proporcional a º e E, é proporcional a 1º. Assim, esperamos que as partículas pequenas sejam empurradas para longe do Sol pela força da radiação, e as partículas grandes sejam atraídas para o Sol pela força gravitacional. O valor crítico do raio é aquele para o qual as duas forças são iguais. Igualando as expressões de F, e E, e explicitando 1, obtemos po 3P 167GMpc' (b) De acordo com o Apêndice C, M = 1,99 x 10ºº kg e P = 3,90 x 10% W. Assim, Ve 3(3,90x10% W) 167(6.67x10 N-m?/kg*Y1,99x 10” ke)(1,0x10º kg/m*)(3,00x10º m/s) =5,8x107 m. 75. PENSE A reflexão interna total acontece quando o ângulo de incidência excede um ângulo crítico tal que o valor do seno do raio difratado, calculado usando a lei de Snell, é maior que 1. FORMULE O ângulo crítico para que haja reflexão interna total é fornecido pela Eq. 33-45, n!/ 2], M Na Fig. 33-65, 8, = 45º é o ângulo de incidência na primeira superfície; vamos chamar de 6, o ângulo de refração correspondente, e de 6, o ângulo de incidência na segunda superfície. A condição para reflexão interna total na segunda superfície é em que n,> nm. nsenô>1. Estamos interessados em determinar o menor valor do índice de refração n para o qual essa desigualdade é satisfeita. Aplicando a lei de Snell à primeira superfície, obtemos a relação nsen à =sen à. Analisando o triângulo formado pela superfície da placa e o raio refratado, é fácil mostrar que 9, = 90º — 0,. Assim, a condição para que haja reflexão interna total se torna 1<nsen(90º - O)=ncos O. Elevando ao quadrado essa desigualdade e usando a relação sen?6, + cos:0,= 1, obtemos a desigualdade 1 < nº (1 - sen?0,). Como, de acordo com a lei de Snell, sen 8, = (1/n) sen 6, temos 2 a(, seno) 2 rer( O ri -sato, m MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 25 APRENDA De acordo com a equação anterior, quanto maior a espessura £ da placa, maior o deslocamento lateral x. No que para n=1 (ou seja, na ausência de difração), x = 0, como era de esperar. 80. (a) O módulo do campo magnético é E | 100V/m =" =3,3x10"T=0,33uT. c 3,0x10 m/s 4 (b) Como Ex B= 1,5, em que É = Ek e 3=S(-)), vemos que, como kx(ci)=-], É = B(-i), ou seja, o sentido do campo mag- nético é o sentido -x. 81. (a) A direção de polarização é definida pelo campo elétrico, que é perpendicular ao campo magnético e à direção de propagação da onda. A função dada mostra que o campo magnético é paralelo ao eixo x (por causa do índice da amplitude B) e que a onda está se propagando no sentido negativo do eixo y (por causa do argumento da função seno). Assim, o campo elétrico é paralelo ao eixo z e a direção da polarização da luz é a direção do eixo z. (b) Como k = 1,57 x 10//m, À = 27/k = 4,0 x 107 m, o que nos dá f=c/h=7,5x 104Hz. (c) De acordo com a Eq. 33-26, temos Ei E) (CBJ CB) Gx10m/sk4,0x105T? j=oms = An Nono COm — =19kWm. Cito ty ly ty X47x107 Him) 82. Aplicando a Eq. 33-36 uma vez e a Eq. 33-38 duas vezes, obtemos a cos? 6/ cos? 6,. Como 6/=90º— 8, = 60º e 6; =90º — 9, = 60º, temos 83. PENSE Este problema envolve o fato de que o índice de refração de um meio depende do comprimento de onda da luz. FORMULE O ângulo crítico para reflexão interna total é dado por sen 9, = 1/n. Para a luz vermelha, n = 1,456 e o ângulo crítico é 0, = 43,38º. Para a luz azul, n = 1,470 e o ângulo crítico é 0, = 42,86º. ANALISE (a) Como um ângulo de incidência 6 = 42,00º é menor que os ângulos críticos para a luz vermelha e para a luz azul, a luz refratada é branca. (b) Como um ângulo de incidência O = 43,10º é menor que o ângulo crítico para a luz vermelha e maior que o ângulo crítico para a luz azul, a luz refratada é avermelhada. (c) Como um ângulo de incidência 8 = 44,00º é maior que os ângulos críticos para a luz vermelha e para a luz azul, não há luz refratada. APRENDA A Fig. 33-18 mostra a variação do índice de refração do quartzo fundido com o comprimento de onda da luz. Note que o índice de refração diminui quando o comprimento de luz aumenta. Como essa variação é responsável pela dispersão da luz branca em faixas coloridas ao passar pelos prismas (veja a Fig. 33-20), é chamada de dispersão cromática. 84. De acordo com as Egs. 33-36 e 33-38, temos — Ug/Dcos? 45)? =1-0125. h 8 26 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 85. A massa da esfera é m = pV, em que p é a massa específica, V = 477Rº/3 é o volume, e R é o raio da esfera. Utilizando a segunda lei de Newton, F = ma, e a Eq. 33-32 com A =TR?, obtemos AmR' ImR? a= . 3 c o que nos dá 31 3(6,0x10º Wim?) q= "= = 15x 10º mis”. 4pcR 4(5,0x10º kg/m*(3,0x10º m/s)(2,0x10* m) 86. Levando em conta a redução “automática” para metade do valor inicial que acontece quando um feixe de luz não polarizada passa por um polarizador, a fração da luz transmitida pelo conjunto de quatro polarizadores é [ cos*(309) =07 3 25 gu. 2 87. PENSE Como as ondas de radar cobrem uniformemente uma superfície hemisférica, a intensidade das ondas é a mesma em qualquer ponto do hemisfério. FORMULE A intensidade das ondas é dada por p 2mrº pe A em que A =2xrº é a área do hemisfério. A potência das ondas refletidas pelo avião é igual ao produto da intensidade das ondas na posição do avião pela área da seção reta efetiva do avião: P, = IA, A intensidade está relacionada à amplitude do campo elétrico pela Eq. 33-26: 1=Eien = Ei ANALISE (a) Substituindo os valores conhecidos, obtemos P 180x10º* W 1=5 "Serio = 3,5x10* Wim”, 277 27(90x10' m) (b) A potência das ondas refletidas pelo avião é P=I4,=(35x10º Wim'J(0,22 m”)=7,8x107 W. (c) Na posição do radar, a intensidade das ondas refletidas pelo avião é Po Tex! W L=5"5 => ss = lsx10" Wim”. 27º 27(90x10' m) (d) Como 1, = E2/2cu,, à amplitude do campo elétrico é E, = Peti, = [U3,0x10º m/s(4mx107 T-m/AXL,5x107 Wim?) = Ix107 Vim. (e) O valor rms do campo magnético é po Em Em Lix107 Vim - - =25x10T, Pc e 300 mis) APRENDA A intensidade das ondas emitidas por uma fonte diminui com o quadrado da distância. Além disso, como é mencio- nado no Exemplo 33.01 “Valores rms do campo elétrico e do campo magnético de uma onda luminos:”, não podemos comparar MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 27 diretamente os valores do campo elétrico e do campo magnético porque são medidos em unidades diferentes. Entretanto, sabemos que a componente elétrica e a componente magnética estão em pé de igualdade no que diz respeito à propagação da onda, já que as energias médias, que podem ser comparadas, são iguais para as duas componentes. 88. (a) Fazendo v = c na relação kv = q = 27f, obtemos ke (4,00 m)(3x10º m/s) - 1,91x10º Hz. 27 27 f (D) Em, = EAN2 = B,N2/c = (85,8 x 10º T)(3xX10º m/s)/(1,414) = 18,2 Vim. (1 = (Ec) lotto = (18,2 Vim)/(3 x 108 m/s)(47 x 107 H/n) = 0,878 W/mº. 89. De acordo com a Fig. 33-18, n,4, = 1,470 para À = 400 nm e n,,, = 1,456 para À = 700 nm. (a) De acordo com a Eq. 33-49, Or unás = tan! na, = tan! (1,470) = 55,8º. (Db) Os mim = tan"! (1,456) = 55,5º. 90. Aplicando seis vezes a lei de Snell, obtemos [ana (maes mama [me (82) Cancelando os fatores que aparecem no numerador e no denominador, obtemos p= Send => senô,=send,, senô, um resultado que não depende do ângulo de incidência, do índice de refração das placas, da largura das placas e do número de placas. Assim, (0)8,= (b) 0,=20º. (c) Uma vez que este caso equivale a acrescentar uma placa ao conjunto, o resultado permanece o mesmo: 9, (d)0,=20º. 91. (a) A 40 m de distância do feixe, a intensidade é P P 4(,0x102W) da ONA” OITO Trad) OMF =83 Wa”. (b) De acordo com a Eq. 33-27, P'=4m1=4m(40m)(83W/m?)=1,7x10º W=1,7 MW. 92. De acordo com a lei de Snell, sen 0,/sen O, = Nus — constante. É fácil verificar que todos os pares de valores fornecem o mesmo resultado até a primeira casa decimal. Por exemplo: sen 10º/sen 8º = 0,174/0,139 = 1,3 e sen 40º/sen 29º = 0,643/0,485 = 1,3. Assim, o índice de refração da água é nu = 1,3. água 30 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR ângulo com a horizontal quando o pássaro está em outra posição. Assim, a sombra do albatroz no solo se move à mesma velocidade que o pássaro: 15 m/s. (b) Seo albatroz está em uma posição, a uma distância x > O da parede, tal que a sombra na parede está a uma distância 0 <y <h do alto da parede, é fácil demonstrar geometricamente, a partir da Fig. 33-77, que tan 0 = y/x. Assim, DM no-(5 m/s)tan30º= 8,7 m/s, dt dt o que significa que a distância y (medida como uma distância positiva para baixo a partir do alto da parede) está diminuindo à taxa de 8,7 m/s. (c) Como tan O aumenta quando 6 aumenta a partir de 0º, um valor maior de [dy/df| está associado a um valor maior de 6. Isso significa que o Sol está mais alto no céu durante o voo do gavião do que durante o voo do albatroz. (d) Para [dy/dt] = 45 m/s, temos é lot at vam = | Él= “e [dt tang e, portanto, Joy / dt] tan MIS oo 0=tan =tan s laix / at] 15m/ 105. (a) A onda está se propagando no sentido do semieixo y negativo (veja o Módulo 16-1 para uma discussão da relação entre o sinal que precede a parte temporal da função de onda e o sentido de propagação da onda). (b) A Fig. 33-5 pode ajudar a visualizar a situação. A direção de propagação (ao longo do eixo y) é perpendicular a B (que aponta na direção do eixo x, já que a única componente do campo magnético é B,), e o campo É é perpendicular às duas direções. Isso significa que a onda está polarizada na direção do eixo z. (c) Como a amplitude do campo magnético é B,, = 4,00 tT, a Eq. 33-5 nos dá E, = B,c = 1196 V/m = 1,20X 10º V/m. Dividindo por 2, obtemos E,., = 848 V/m. Assim, a Eq. 33-26 nos dá 1= LEIO Wim. ctg (d) Como ke = q , temos — 200x 10" c k =667x10m!. Combinando as informações colhidas anteriormente, obtemos E, =(1,2x10º V/m) sen[(6,67x10º /m)y+ (2,00x10" /s)/]. (JA =27/k = 942 nm. (f) A onda está na região do infravermelho. 106. (a) Como o ângulo de incidência 9, no ponto B é o complemento do ângulo de incidência no ponto A, que, por sua vez, é o ângulo crítico, temos 7 send, =cos0, = -[2) : e, portanto, o ângulo de refração 0, no ponto B é z z B,,=sen'| 2 2) =sen! (=) -1=35,1º, MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 31 (b) Como n, sen 6 = n, sen 9, = n.(n./n,), temos 9=sen ! [2 )-aoo. a (c) Como o ângulo de incidência 8, no ponto A é o complemento do ângulo de incidência no ponto B, que, por sua vez, é o ângulo crítico, temos 7 senQ,, =cos0, — (2) . e, portanto, o ângulo de refração 6,,, no ponto À é (d) Como temos (e) Como o ângulo de incidência 9,, no ponto B é o complemento do ângulo de incidência no ponto A, que, por sua vez, é o ângulo de Brewster, temos e, portanto, o ângulo de refração 0,,, no ponto B é nseng=n, sen 9, Brenster > (f) Como temos 107. (a) e (b) Quando um raio luminoso incide em uma interface com o ângulo de Brewster, O, cueue + Ota = Ou + 32,0º = 90,0º e, portanto, 6, = 58,0º e vidro = tan Op = tan 58,0º = 1,60. 32 MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR 108. Derivando ambos os membros da Eq. 33-11 em relação a x, obtemos ô (E) DE 25) - OB êxl dr Cê dr rr” Derivando ambos os membros da Eq. 33-17 em relação a t, obtemos E( 0 EE Ao E cg E dr or) nor aro ay) Foto sp Como, de acordo com a primeira equação, -9"B /dxdt=9"E /0x”, a segunda equação nos dá E Ent 080 ap êxôt Derivando ambos os membros da Eq. 33-17 em relação a x, obtemos os Combinando as duas equações, obtemos 109. (a) De acordo coma Eq. 33-1, ê + E, sen(hr— of) = Jc? sen(hx— on) =—0" E, sen(kx— ot). x Isso significa que a equação Sa s o = » é satisfeita. Procedendo de maneira análoga, é fácil mostrar que a Eq, 33-2 satisfaz à equação (D)SeE=E flkxtof),