Resolução do manual, Exercícios de Matemática

Baixe Resolução do manual e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!

Soluções FICHAS DE TRABALHO

Soluções FICHAS DE TRABALHO

DOMÍNIO 1

FICHA DE TRABALHO 1

INTRODuçãO à LógICA BIvALENTE

Páginas 4 e 5

ESCOLHA MúLTIPLA

1 (D)

2 (C)

3 (A) 4 (A)

RESPOSTA ABERTA

1 1.1 a) a 0 + c : O animal tem quatro patas ou tem asas;

• ( a 0 + c ) : O animal não tem quatro patas e não tem asas. b) a & + b : Se o animal tem quatro patas, então, não é uma ave; +( a & + b ) : O animal tem quatro patas e é uma ave. c) + c / + a : O animal tem asas e não tem quatro patas; +(+ c / + a ) : O animal não tem asas ou tem quatro patas. 1.2 O animal tem quatro patas, não é uma ave e não tem asas. 2 a) p 0 q b) V c) F

3 a) p q (^) p + q ( p + q ) & p p 0 q V V V V V V F F V V F V F V V F F V F F

b) p q p & q + p 0 q ( p & q ) & (+ p 0 q ) V V V V V V F F F V F V V V V F F V V V

4 A proposição p tem valor lógico F e a proposição q tem valor lógico V.

5

a b c + a / b c 0 a + a / b & c 0 a F V F V F F F V V V V V F F F F F V

6

• a / b

FICHA DE TRABALHO 2

CONDIçõES E CONjuNTOS Páginas 6 e 7 ESCOLHA MúLTIPLA 1 (C) 2 (D)

3 (B) 4 (A)

5 (C)

RESPOSTA ABERTA 1 a) a é possível universal; b é impossível. b) a é impossível; b é possível universal. c) a é possível não universal; b é possível não universal. 2 a) A soma de qualquer número inteiro negativo com seis é inferior a oito. b) Não é verdade que exista um número real cujo seu dobro ou o seu quadrado sejam iguais a dois. 3 3.1 a) 7 x! P : x é quadrado perfeito ( P — conjunto dos números primos). b) 6 x! IR^ - 0 , - x > 0 3.2 a) Falsidade. b) Falsidade. 3.3 a) Todo e qualquer número primo não é quadrado perfeito. b) Existe pelo menos um número real não positivo cujo simétrico não é positivo. 4 a) 2

b)

c) 11 d) 0

5 5.1 a é possível não universal; b é possível não universal e c é possível universal. 5.2 a) {2} b) ]- 3 , - 1] , {2} 6 a) Falsidade, uma vez que {0, 4} j ^]- 3 , 0[ , ]2, + 3 [h b) Verdade, pois ambas as condições x^2 + 4 x = x ( x - 1) + 10 e x -

x 3

têm, em IR , o mesmo conjunto solução {2}. 7 a) 7 x! IR: x^2 = 4 x / x ( x - 2) G 0 b) 7 x! IR: ( x^2 + 4 x = x ( x - 1) + 10 /

/ x - x 3

! 1) 0 ( x^2 + 4 x! x ( x - 1) + 10 /

/ x - x 3

Soluções FICHAS DE TRABALHO

8 a) A ( x ) = 3

x^2 - x + 3

b) A ( x ) = 2 x^3 - 9 x^2 + 4 x + 15

9 a) a = 3 / b = - 3 b) ( a = 2 / b = - 34) 0 ( a = 2

/ b = - 22)

10 a + b = - 2

11 a) 3( x - 2)^2

b) - 2( x - 3)( x + 3)

c) 2( x - 3) x 2

d + n

d) x ^ x - 3 i^ x + 2 3 i

e) - ( x + 2)( x + 1)( x - 3)

f) 2( x - 2)( x - 3)( x + 1)( x + 3)

12 a) C.S. = #- 6 , 6 -

b) C.S. = {-5, 1} c) C.S. = {-3} d) C.S. = {0, 1, 2} e) C.S. = {-1, 1, 3}

f) C.S. = #-^2 , 2 -

g) C.S. = {-3, - 2, 2, 3} h) C.S. = {-3, 1, 2}

i) C.S. = 2 , 2 ,

j) C.S. = #-^2 2 , - 2 , 2 -

13 13.1 Ao cuidado do aluno. 13.2 P ( x ) = ( x - 3)( x - 2)( x + 1) ; C.S. = {-1, 2, 3}

14 a) A ( x ) é positivo em E- 3 , 2

; e negativo em E 2

b) B ( x ) é positivo em ]6, + 3 [ e negativo em ]- 3 , 6 [. c) C ( x ) é positivo em ]- 3 , 0[ , ]4, + 3 [ e negativo em ]0, 4[. d) D ( x ) é positivo em ]-3, 3[ e negativo em ]- 3 , - 3[ , ] 3, + 3 [. e) E ( x ) é negativo em IR.

15 a) A ( x ) é positivo em ]1, + 3 [ e negativo em ]- 3 , 1[. b) B ( x ) é positivo em ]-1, 2[ , ]2, + 3 [ e negativo em ]- 3 , - 1[. c) C ( x ) é positivo em ]- 3 , - 2[ , ]1, 2[ e negativo em ]-2, 1[ , ]2, + 3 [.

16 a) C.S. = A- 3 , - 2 A , 71 , 2 A

b) C.S. = ]- 3 , - 2[ , ] 0, 1[ c) C.S. = ]- 3 , - 1], [1, + 3 [ d) C.S. = ]-2, 2[ , ]3, + 3 [ e) C.S. = ]-2, - 1[ , ]1, 2[

17 17.1 Ao cuidado do aluno. 17.2 C.S. = ]- 3 , - 1] , [1, 3] 18 18.1 Ao cuidado do aluno. 18.2 Ao cuidado do aluno.

18.3 a) C.S. = , 2

G =, ,

G + =

b) C.S. = [0, 2]

DOMÍNIO 3

FICHA DE TRABALHO 5

gEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO Páginas 16 a 19 ESCOLHA MúLTIPLA 1 (C) 2 (A) 3 (B)

4 (A) 5 (C) 6 (B)

7 (C) 8 (C)

RESPOSTA ABERTA 1 a) Mediatriz de [ AB ] ; y = 0 b) Circunferência de centro em B e raio 6 ; x^2 + ( y - 6)^2 = 36 c) Elipse de focos A e B ; x y 28 64

2 2

• = 1 d) Círculo de centro em A e raio 3 ; x^2 + ( y + 6)^2 G 9 2 2.1 ( x - 2) 2 + ( y + 2)^2 G 8 / - 4 G y G 0 / x H 0 2.2 Ao cuidado do aluno. 2.3 y = x - 4 3

u. a. 3.2 x^2 + ( y + 1)^2 = 1

x y 9 4

2 2

• < 1 / x^2 + ( y + 1)^2 > 1 / y < 0 3.4 2 r u. a. 4 P (3, 3) e Q (6, - 6) 5 a)

u3p10h1s

O x

2

22

y

b)

u3p10h2s

O x

1 1

22

y

c)

u3p11h1s

O x

5

y 7

2

• 1

d)

u3p11h2s

O x

y

2

21

3

3

6

6.1 C 1 : ( x + 1)^2 + ( y - 1)^2 = 2 ; C 2 : x^2 + y^2 = 4

6.2 x^2 + y^2 H 4 / ( x + 1)^2 + ( y - 1)^2 G 2 / y G - x

6.3 y = x + 1

6.4 _-^2 , 2 i^ e _^2 ,- 2 i

7

7.1 A 12 , 13

d - n

B 12 ,

d n

C 12 ,

d - n

D 12 , 13

d - (^) - n

x y 169 25

2 2

• G 1 / x 12 y 13

d H 0 H n

x y 1 44 625 169

2 2

• = 1

FICHA DE TRABALHO 6

CáLCuLO vETORIAL NO PLANO Páginas 20 a 23 ESCOLHA MúLTIPLA 1 1.1 (C) 1.2 (B) 2 (D) 3 (B) 4 (A)

5 5.1 (D) 5.2 (C) 6 (B) 7 (B)

RESPOSTA ABERTA 1 1.1 a) DA , por exemplo. b) BD , por exemplo. 1.2 a) BC b) C c) DA d) EA 1.3 Ao cuidado do aluno. 1.4 AD + DE = 4 2 + 3 cm ; AD + DE = 8 cm e AD + DE < AD + DE 1.5 4 + 2 3 cm^2 2

2.2 a) OF b) FB c) FC d) AD e) B f) C 2.3 Ao cuidado do aluno. 3 3.1 Ao cuidado do aluno. 3.2 8 u. c. 4 a) w = - 4 a + 3 b b) a = u v

• e b = u v 5 5

5 5.1 a) (-4, 7) b) (-2, - 5) c) (-2, 6) 5.2 _ 4 2 ,- 2 i e _- 4 2 , 2 i 5.3 ( x + 2) 2 + ( y - 1)^2 = 9 ; o ponto B encontra-se no exterior da circunferência. 6 k = - 1

h) Q i) R j) P k) L 1.2 a) JL e ON , por exemplo. AB e PR , por exemplo. MN e LC , por exemplo. 1.3 9 1.4 k = - 2

2 2.1 a) BC b) V 2.2 Ao cuidado do aluno. 2.3 Ao cuidado do aluno; (0, 0, 2). 2.4 M _ 3 1 0, , i e N (0, - 1, 3). Por exemplo: ( x , y , z ) = (0, - 1, 3) + k _ 3 2, , - 3 i, k! IR

Coordenadas do ponto de interseção: 2 , ,

e 0 2 o

3 3.1 a) Por exemplo: ( x , y , z ) = (0, 0, 0) + k (-3, 2, - 1), k! IR b) Por exemplo: ( x , y , z ) = (-3, 2, - 1) + k (3, 1, 1), k! IR^ + 0 c) Por exemplo: ( x , y , z ) = (0, 0, 0) + k (0, 3, 0), k! [0, 1] 3.2 k = 3 3.3 Ao cuidado do aluno. 4 4.1 Triângulo escaleno e retângulo em A. 4.2 (1, 4, 2) 4.3 Por exemplo: ( x , y , z ) = (1, 1, 2) + k (-1, 5, - 2), k! [0, 1]

Coordenadas do ponto de interseção: , , 5

d 6 n

4.4 a) x (^) 2 y

d (^) - n (^) +d - n (^) + ( z - 1)^2 = (^2)

b) x - 5 y + 2 z + 15 = 0 5 5.1 a) (1, 2, 2) b) (-2, 3, 3) c) (6, - 5, 5) 5.2 (-4, 5, 4) , (2, 1, 4) ou (0, - 3, 0). 5.3 a) x = 1 - 2 k / y = - 1 + 2 k / z = 2 - k , k! IR b) x = - 1 - k / y = 3 - 2 k / z = 4 - 2 k , k! [0, 1] 5.4 ( x + 1) 2 + ( y - 3)^2 + ( z - 4)^2 = 9 ; AB = 24 > 3 , logo, B está no exterior; AC = 3 , logo, C está na fronteira. 6 6.1 Ao cuidado do aluno. 6.2 (0, 0, 0) e (-2, - 2, - 2) ; por exemplo, x = - 2 k / y = - 2 k / z = - 2 k , k! [0, 1]

4.1.1 P (12, 0, 0) ; Q (12, 12, 0) ; R (0, 12, 0) ; A (8, 4, 0) ;

B (8, 8, 0) ; C (4, 8, 0) ; D (4, 4, 0) ; E (8, 4, 6) ;

F (8, 8, 6) ; G (4, 8, 6) ; H (4, 4, 6) e O (0, 0, 0). 5 5.1 A (4, 2, 0) ; B (2, 4, 0) ; C (0, 2, 0) ; D (2, 0, 0) ; E (4, 0, 2) ; F (0, 4, 2) ; G (4, 4, 2) ; H (0, 0, 2) ; I (2, 0, 4) ; J (4, 2, 4) ; K (2, 4, 4) e L (0, 2, 4). 5.2 a) y = 2 b) x = 2 c) z = 2 5.3 M (2, 2, 2) 5.4 x - z = 2 ; Ao cuidado do aluno. 5.5 ( x - 2)^2 + ( y - 2)^2 + ( z - 2)^2 = 8 ; Ao cuidado do aluno. 6 a) Área: 4r u. a. ; Perímetro: 4r u. c. b) Área: 9 u. a. ; Perímetro: 12 u. c.

7 a) 54 r u. v.

b) 3

r u. v.

c) 8 +

r u. v. 8 8.1 x = - 1 / y = 2 8.2 8.2.1 Ao cuidado do aluno.

8.2.2 a) a = (^2)

0 a = (^2)

b) a = 2

0 a = 2

c) a = - (^8)

d) Impossível.

3

10 r u. v.

FICHA DE TRABALHO 8

CáLCuLO vETORIAL NO ESPAçO

Páginas 30 a 33

ESCOLHA MúLTIPLA

1 1.1 (B) 1.2 (C)

2 a) (C) b) (B)

3 (A)

4 (A) 5 5.1 (C) 5.2 (D) 6 (C)

RESPOSTA ABERTA

1 1.1 a) AP , por exemplo.

b) BR , por exemplo. c) FN , por exemplo. d) BC , por exemplo. e) MQ , por exemplo. f) CP , por exemplo. g) R

Soluções FICHAS DE TRABALHO

7 7.1 Ao cuidado do aluno. 7.2 (3, - 3, 3) ou (-3, 3, - 3) 7.3 (-5, 3, 0) 7.4 Ao cuidado do aluno; 6

u. v. 8 8.1 Por exemplo, x = k / y = - k / z = - k , k! IR.

8.2 4 + 2 3 u. c. 8.3 (-3, 2, 3)

9 9.1 xOy : (1, - 2, 0) ; xOz : (-1, 0, - 4) ; yOz : (0, - 1, - 2) 9.2 p = - 1 9.3 Por exemplo: ( x , y , z ) = (1, - 2, 0) + k (1, - 1, 2), k! IR

9.4 x = -

• k / y = -

• k / / z = - 3 + 2 k , k! IR

10 10.1 Ao cuidado do aluno. 10.2 a) x = 3 / y = 3 / 0 G z G 6

b) x + 2 y - 2 z + 2

c) x (^) 2

d (^) - n (^) + y^2 + ( z - 3)^2 = (^4)

10.3 M (3, - 3, 3); Por exemplo: ( x , y , z ) = (0, 3, 6) + k (3, - 6, - 3), k! IR

Coordenadas do ponto de interseção: 2 , ,

d n

DOMÍNIO 4

FICHA DE TRABALHO 9

gENERALIDADES ACERCA DE FuNçõES

Páginas 36 e 37

ESCOLHA MúLTIPLA

1 (B)

2 (C)

3 (B)

4 (A)

5 (C)

RESPOSTA ABERTA

1 1.1 a) G (^) g = {(-2, 4), (-1, 3), (0, 2), (1, 1), (2, 0)} b) D (^) f % g = {0, 1, 2} c) 0 d) f ( C ) = {0, 1, 3} 1.2 Ao cuidado do aluno. 1.3 Por exemplo, f ;IN.

2 2.1 h ( x ) = 5 x - 11 2.2 2, 2.3 Dh -^1 = IR e h -^1 ( x ) = 5

x + 5

3 3.1 p ( x ) = 0,1 x + 2 3.2 Gd = {(30, 5), (60, 8), (90, 11), (120, 14), (150, 17), (180, 20), (210; 18,4), (240; 20,8), (270; 23,2)}

4 4.1 Ao cuidado do aluno; f -^1 ( x ) = 2

x + 2

e Df -^1 = IR 4.2 - 5 4.3 x = 1

FICHA DE TRABALHO 10

gENERALIDADES ACERCA DE FuNçõES REAIS DE vARIávEL REAL. MONOTONIA, ExTREMOS E CONCAvIDADES Páginas 38 a 41 ESCOLHA MúLTIPLA 1 (B) 2 (A) 3 (A)

4 (D) 5 (D) 6 (C)

7 (B) 8 (C)

RESPOSTA ABERTA 1 1.1 D (^) f = [-4, 5] e D l f = [-1, 3] 1.2 2 e ]2, 5] 1.3 1.3.

u4p21h1s

0

1

1

y

x

1.3.2 C.S. = ]1, 4]

1.4 y = - x + 2 2 2.1 G (^) g = )(-1, 1), (0, - 1), (1, 3), , 2

d 4 n 3

2.2 h ( x ) = f x 2

c m (^) + 2

3 a) Ímpar. b) Par. c) Não é par nem ímpar. d) Ímpar. 4 4.1 Ao cuidado do aluno. 4.2 4.2.1 A , 2

d 0 n (^) ; B (8, 0) e C (2, 3).

4.2.2 Ao cuidado do aluno. 4.3 Ao cuidado do aluno; g -^1 ( x ) = - 2 x + 8 e Dh -^1 = IR 4.4 Estritamente decrescentes.

Soluções FICHAS DE TRABALHO

DOMÍNIO 5

FICHA DE TRABALHO 12

CARACTERÍSTICAS AMOSTRAIS

Páginas 50 a 53

ESCOLHA MúLTIPLA

1 (A)

2 (C)

3 (C)

4 (D)

5 5.1 (A) 5.2 (C) 6 (D)

7 (D)

8 (B)

RESPOSTA ABERTA

1

a) k 1

5

=

/ (5 k )

b) k 1

11

=

/ (3 k - 4)

c) k 1

8

/ 6 (-1) k (4 k )@

d) k 1

10

/ 2 k

e) k 1

496

/ (2 k + 9) ou k 5

500

/ (2 k + 1)

2 a) 1 b) 30 c) 9 d) 1

3

3.1 5.ª Figura: k 1

5

=

/ (2 k - 1) = 52 = 25

6.ª Figura: k 1

6

=

/ (2 k - 1) = 62 = 36

k

n

= 1

/ k^2 4 4.1 Ao cuidado do aluno.

4.2 a) C.S. = 2 ,

b) C.S. = ]- 3 , - 3] , [0, 3] 5 a) 2047 b) 65 504 c) 2919

6 6.1 a) Moda: 18 ; x = 18,125 ; K x^ = 18 ; Q 1 = 13,5 ; Q 2 = 18 ; Q 3 = 20 b) Moda: 2 ; x. 6,2 ; x K^ = 5 ; Q 1 = 2 ; Q 2 = 5 ; Q 3 = 11

6.2 a)

b)

u5p28h1s

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

u5p28h2s

12 13,5 16 18 20 22 24 26 28 30

7 7.1 25 7.2 15, 7.3 16, 8 8.1 20 minutos. 8.2 9, 9 9.1 Ao cuidado do aluno. 9.2 a) 508 b) 10,1 (1 c. d.) 9.3 a) Média: 20 ; Variância: 914,4 (1 c. d.) ; Desvio-padrão: 30,3 (1 c. d.) b) Média: - 5 ; Variância: 101,6 (1 c. d.) ; Desvio-padrão: 10,1 (1 c. d.) 10 10.1 7440 euros 10.2 SS (^) x = 2350,04 e x i

i 1

1200 2 =

/ = 48 478, 10.3 900 alunos. 10.4 Média: 6,386 ; Variância: 2, 11 a) 44,4 % b) P 20 = 10 ; P 50 = 15 ; P 70 = 25 12 P 15 = 2 ; P 50 = 4 ; P 70 = 5 13 13.1 x. 428,97 (2 c. d.) e Sx. 128,52 (2 c. d.)

Classes f (^) i [200, 300[ 6 [300, 400[ 6 [400, 500[ 8 [500, 600[ 7 [600, 700[ 3

13.4 Com os dados agrupados em classes: P 70. 514,3 (1 c. d.). Com os dados sem estarem agrupados em classes obtém-se P 70 = 510 , o qual é um valor mais exato, pois tem em conta cada valor da amostra.

500 600 700 800 Gastos mensais em alimentação (euros)

N.º de agregados familiares

200 300 400

1

2

3

4

5

6

7

9 8

0

Resoluções AvALIO O MEu SuCESSO

5 a) a b (^) a & b ( a & b ) / a [( a & b ) / a ] & b V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V Conclui-se, assim, que a proposição é verdadeira, quaisquer que sejam os valores lógicos de a e de b. Consulte as páginas 14-18 e 23 do volume 1 do manual.

b) [( a & b ) / a ] & b +

(Relação da implicação com a negação e a disjunção)

• [(+ a 0 b ) / a ] & b + (Relação da implicação com a negação e a disjunção)
• +[(+ a 0 b ) / a ] 0 b + (Primeiras leis de De Morgan e lei da dupla negação)
• [( a / + b ) 0 + a ] 0 b + (Propriedade distributiva da disjunção em relação à conjunção)
• [( a 0 + a ) / (+ b 0 + a )] 0 b + (Princípio do terceiro excluído)
• [ V / (+ b 0 + a )] 0 b + (Existência de elemento neutro da conjunção)
• (+ b 0 + a ) 0 b + (Comutatividade da disjunção)
• b 0 (+ b 0 + a ) + (Associatividade da disjunção)
• ( b 0 + b ) 0 + a + (Princípio do terceiro excluído)
• V 0 + a + (Existência de elemento absorvente da disjunção)
• V Consulte as páginas 22-28 do volume 1 do manual.

6 Demonstrar que «Se um número natural n não é múltiplo de 6 , então, não é múltiplo de 2 ou não é múltiplo de 3 » é equivalente a demonstrar que «Se um número natural n é múltiplo de 2 e é múltiplo de 3 , então, n é múltiplo de 6 ». Se n é múltiplo de 2 , então, existe p! IN , tal que n = 2 p. Por outro lado, como n é múltiplo de 3 , então, existe p l! IN , tal que n = 3 p l e, sendo assim,

tem-se que 2 p = 3 p l + p = 2

p l.

Como p é natural, conclui-se que p l é par e, sendo assim, existe t! IN , tal que p l = 2 t , o que equivale a afirmar que n = 3(2 t ) + n = 6 t e, portanto, n é múltiplo de 6. c.q.d. Consulte as páginas 62 e 63 do volume 1 do manual.

AvALIO O MEu SuCESSO 2 Páginas 24 e 25

ESCOLHA MúLTIPLA 1 1.1 Opção (B). Se a circunferência C tem centro em A e é tangente ao eixo Oy , então, tem raio 2 e uma equação que a define é ( x - 2) 2 + ( y - 1)^2 = 4 Por outro lado, a reta BC tem equação y = 2. Pretende-se a interseção do círculo respetivo com o semiplano superior definido pela reta BC. Consulte as páginas 27-33 do volume 2 do manual. 1.2 Opção (D). Como d ( P , A ) = 5 - 1 < 2 , o ponto P é interior à circunferência e, como a sua ordenada é maior que 2 , este também pertence à região colorida a azul. Assim, a proposição a é verdadeira e a b falsa e, consequentemente, a disjunção de duas proposições falsas é falsa. Consulte as páginas 12-18 do volume 1 e a página 27 do volume 2 do manual.

2 Opção (A). A elipse é centrada na origem e com focos em Ox. Sabe-se que c = 3 e b = 4 , então, a = 5. Sendo assim, o ponto de coordenadas (5, 0) é um dos vértices da elipse. Consulte a página 23 do volume 2 do manual.

3 Opção (C). Como a circunferência é centrada na origem e a reta AB passa na origem, então, AB = 2 r , em que r é o raio da circunferência. r = 16

3 = 2 4

6 = 2 3

2 e AB = 2 ◊ 2 3

2 = 2 3

5 . Consulte as páginas 95 e 99 do volume 1 e as páginas 17 e 33 do volume 2 do manual.

4 Opção (D). 2 x^2 + 4 x + 2 = 2( x + 1)^2 e 2(- 2 + 1)^2 = 2 Consulte as páginas 119-124 do volume 1 do manual.

RESPOSTA ABERTA 1 1.1 Se P ( x ) é divisível por 2 x + 1 , então,

P 2

d - n = 0 , ou seja,

k 8

• k = 0 Consulte as páginas 118 e 119 do volume 1 do manual.

Resoluções AV ALIO O MEU SUCESSO

1.2 Para k = - 3 , tem-se P ( x ) = 5 x^3 + 4 x^2 + 3 x = x (5 x^2 + 4 x + 3) e construindo o quadro de sinais: x (^) - 3 0 2 + 3 x (^) - 0 + + + 5 x^2 + 4 x + 3 + + + + + 2 - x + + + 0 - P ( x )(2 - x ) - 0 + 0 - Logo, C.S. = [0, 2]. Consulte a página 128 do volume 1 do manual.

2 2.1 A (2, - 2) e B (6, - 4). A equação reduzida de AB é y = - 2

x - 1 e, como a abcissa de A é 2 , tem-se que a ordenada é

• (^2)

Sabe-se que se B ( x , y ) , então, AB = 2 5 + ( x - 2)^2 + ( y + 2)^2 = 20 e como B pertence à reta AB , tem-se

( x - 2) 2 + x 2

2 d - (^) - + n (^) = 20 +

• x = - 2 0 x = 6 Como B pertence ao 4.º quadrante y = - 2

Consulte as páginas 17, 57 e 60-61 do volume 2 do manual.

2.2 y H - 2

x - 1 / ( x - 4)^2 + ( y + 3)^2 G 5 O ponto médio de [ AB ] tem coordenadas (4, - 3) e é o centro da circunferência. Consulte as páginas 27-33 do volume 2 do manual.

2.3 Utilizando a alínea 2.2, tem-se (5 - 4) 2 + (- 1 + 3)^2 = 5 , logo, o ponto E pertence à circunferência. Se [ EF ] é um diâmetro e E e F pertencem à circunferência, então, o centro desta é o ponto médio de [ EF ]. Se F ( x , y ) , então,

, x y 2

+ -^1

e o (^) = (4, - 3) e, então,

( x , y )=(3, - 5). Logo, F (3, - 5). Consulte as páginas 12 e 13 do volume 2 do manual.

2.4 Por exemplo, x = 5 - 2 k / y = - 1 - 4 k , k! IR. EF (-2, - 4). Consulte a página 62 do volume 2 do manual.

3 3.1 a) Centro (0, - 4) e raio 10. Porque x^2 + y^2 + 8 y + 6 = 0 +

• x^2 + (y + 4)^2 = 10 Consulte a página 18 do volume 2 do manual.

b) _-^ 7 0, i^ e _^ 7 0, i^. Pois x^2 + 2 y^2 = 14 + x 14

2

y 7

2 = 1 e, então, c^2 = 14 - 7 = 7 e os focos estão no eixo Ox. Consulte as páginas 24-26 do volume 2 do manual.

3.2 AB = 2 6

Resolvendo o sistema x y y x y

2 2 2 2

obtém-se y = - 2 0 y = 10 e, como y não pode ser 10 , tem-se, para y = - 2 , x =! 6. Então, A _-^6 ,- 2 i^ e B _-^6 ,- 2 i^. Consulte as páginas 53-54 do volume 2 do manual.

4 Como [ ABCD ] é um quadrado centrado na origem, o ponto A pertence à elipse e à bissetriz dos quadrantes ímpares. Então, se A ( x , y ) , tem-se y = x e x b

x a^2

2 2

2

• = 1 +

• x^2 = b

b a

a 2 2

2 2

e a área do quadrado é

(2 x ) 2 = 4 x^2 = a b

4 a b 2 2

2 2

Consulte as páginas 24 e 33 do volume 2 do manual.

AvALIO O MEu SuCESSO 3 Páginas 34 e 35

ESCOLHA MúLTIPLA 1 Opção (B). A área ocupada por quatro setores circulares de raio 4 cm e amplitude 45° é igual à área de um semicírculo de raio 4 cm. Assim, a área da figura é igual a 49 r - 2

16 r = 41 r cm^2 Consulte a página 65 do volume 1 do manual.

2 Opção (C).

Como f 1 C , qualquer ponto pertencente a f

pertence também a C. Consulte a página 56 do volume 1 do manual.

3 Opção (D). A reta r tem declive m = (^) x x

y y 3 0

B A

B A

e ordenada na origem 2. Então, a equação reduzida de r é y = 2 x + 2. A reta s é paralela ao eixo Oy e contém o ponto de coordenadas (3, 8) , podendo, por isso, ser definida pela equação x = 3. Assim, o conjunto A pode ser definido pela condição y G 2 x + 2 / x < 3 , que é equivalente a +( y > 2 x + 2 0 x H 3) Consulte as páginas 25 e 53 do volume 1 e a página 30 do volume 2 do manual.

Resoluções AV ALIO O MEU SUCESSO

2.3.4 O ponto P , porque pertence ao plano xOz , é o ponto da reta r de ordenada nula. Então, 7 + k = 0 , ou seja, k = - 7. Portanto, x = 7 + 2 ◊ (-7) = - 7 / / z = 4 - (-7) = 11 Assim, as coordenadas de P são (-7, 0, 11). Consulte as páginas 108 e 109 do volume 2 do manual. 2.3.5 O centro da superfície esférica é o centro do prisma sendo o ponto médio das suas diagonais espaciais. Assim, o centro da superfície esférica tem coordenadas

, , 2

d 2 n e raio 2

Então, a equação reduzida da superfície esférica que contém todos os vértices do prisma é

x y 2

d (^) - n (^) +d - n (^) + ( z - 2)^2 = 2

Consulte as páginas 88 e 103 do volume 2 do manual.

AvALIO O MEu SuCESSO 4

Páginas 42 e 43

ESCOLHA MúLTIPLA

1 Opção (B). Como ( p & q ) + (+ q & + p ) (implicação contrarrecíproca), tem-se que + q & + p é falsa. Consulte a página 29 do volume 1 do manual.

2 Opção (D). A condição x^2! 9 & x! 3 é universal em IR dado que IR{-3, 3} 1 IR{3}. Consulte as páginas 43, 60 e 61 do volume 1 do manual.

3 Opção (B). As retas AD e BC têm equações reduzidas y = - 2 x + 2 e y = - 2 x + 6 , respetivamente. Assim, tem-se A (1, 0) , B (3, 0) e D (0, 2) e, então, A [ OAD ] = 1 e A [ OBC ] = 9 e A [ ABCD ] = 9 - 1 = 8

Consulte as páginas 58 e 62 do volume 2 do manual.

4 Opção (B). O centro C da superfície esférica tem coordenadas (0, 1, - 1) e, como [ AB ] é um diâmetro, tem-se que

B = C + AC , ou seja, tem coordenadas (0, 1, - 1) + (-3, 0, 0) = (-3, 1, - 1) Consulte as páginas 88, 102 e 103 do volume 2 do manual.

5 Opção (A). f -^1 (2) = 0 , porque f (0) = 2 , e ( f % g )(0) = f ^ g (0)h = f (2) = 0. Consulte as páginas 19 e 23 do volume 3 do manual.

RESPOSTA ABERTA 1 x^2 + y^2 + 4 y - 12 = 0 + x^2 + ( y + 2)^2 = 16 , logo, o centro da circunferência, foco da elipse, tem coordenadas (0, - 2) e o raio é 4. Então, os focos da elipse estão no eixo Oy , c = 2 e 2 a = 2 ◊ 4 = 8. b^2 = 42 - 22 = 12. Portanto, tem-se x y 12 16

2 2

• = 1. Consulte as páginas 18 e 26 do volume 2 do manual.

2 2.1 Como V pertence a Oz , tem abcissa e ordenada nula. A cota de V é igual à altura h da pirâmide e, como a base é um quadrado de lado 4 , tem-se h 3

= 32 + h = 6 Consulte a página 76 do volume 2 do manual. 2.2 O ponto R tem coordenadas (-2, 2, 0) e, então, tem-se a equação ( x + 2)^2 + ( y - 2)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + ( z - 6)^2 , que é equivalente a x - y + 3 z - 7 = 0 Consulte a página 86 do volume 2 do manual.

2.3 a) x = - 2 / z = 0. A reta RS é paralela a Oy e S tem coordenadas (-2, - 2, 0). Consulte a página 83 do volume 2 do manual. b) ( x , y , z ) = (0, 0, 6) + k (2, 2, 6), k! IR SV tem coordenadas (2, 2, 6) e pode escrever-se uma equação vetorial da reta. Consulte a página 107 do volume 2 do manual. c) ( x - 2)^2 + ( y + 2)^2 + z^2 G 35 O ponto P tem coordenadas (2, - 2, 0) , SR (0, 4, 0) , QV (-2, - 2, 6) ,

SR - 2

QV (1, 5, - 3) e SR QV 2

Consulte as páginas 90, 100 e 104 do volume 2 do manual.

3 3.1 a) D l f = [-2, 2] Consulte as páginas 8 e 9 do volume 3 do manual. b) Por exemplo, [2, 6]. Consulte a página 59 do volume 3 do manual. c) g -^1 (3) = 2. Resolvendo a equação

• x + 5 = 3 obtém-se x = 2. Consulte a página 23 do volume 3 do manual. d) ( g % f )(6) = 6 ( g % f )(6) = g ^ f (6)h = g (-1) = 1 + 5 = 6 Consulte a página 19 do volume 3 do manual.

3.2 a) Verdadeira. f não é injetiva ^por exemplo, f (0) = f (2)h. Consulte a página 23 do volume 3 do manual. b) Falsa. 6 x! [0, 2] , f ( x ) > 0 Consulte a página 43 do volume 1 do manual.

c) Falsa. Se considerar a função h tal que h ( x ) = f ( x - 2) (translação horizontal), tem-se D l h = D l f = [-2, 2] , pelo que 3 " D l h. Consulte a página 44 do volume 1 e a página 41 do volume 3 do manual. d) Verdadeira. Uma função afim cujo gráfico é uma reta de declive negativo é estritamente decrescente. Consulte a página 55 do volume 3 do manual.

AvALIO O MEu SuCESSO 5

Páginas 48 e 49

ESCOLHA MúLTIPLA

1 Opção (D). O domínio de f é [-2, 4[{0} ; f é positiva

em , 3

F- 1 <{0} e o contradomínio de f é [-2, 1[.

Consulte as páginas 8 e 54-60 do volume 3 do manual.

2 Opção (A). 4 - 2 x + 1 G 1 + 2 x + 1 H 3 +

• 2 x + 1 H 3 0 2 x + 1 G - 3 + x H 1 0 x G - 2 Consulte as páginas 92 e 93 do volume 3 do manual.

3 Opção (B). D (^) f^1 = { x! IR: f ( x )! 0} =

= { x! IR: ( x^2 - 9! 0 / x H 0) 0 0 ( x^2 + 1! 0 / x < 0)} = { x! IR: x! 3} Consulte as páginas 32, 33, 108, 109 e 112 do volume 3 do manual.

4 Opção (B).

AB (4, 3) e AC (2, k ) , sendo que são colineares se k 4

= + k = 2

Consulte as páginas 52 e 53 do volume 2 do manual.

5 Opção (C). Substituindo x por 0 e z por - 1 na condição da superfície esférica obtém-se: (-1) 2 + ( y + 2)^2 + (-1)^2 = 4 + ( y + 2)^2 = 2 +

• y =- 2! 2 As coordenadas dos pontos resultantes da interseção são:

(0, - 2 - 2 , - 1) e (0, - 2 + 2 , - 1) , sendo

assim, AB = 2 2. Consulte as páginas 81-83, 87-89 e 104 do volume 2 do manual.

RESPOSTA ABERTA 1 O vértice da parábola tem coordenadas (2, k ) , com k real e, sendo assim, a função h é do tipo h ( x ) = a ( x - 2) 2 + k. Como h (5) = 0 e h % h (5) = 1 + h ^ h (5)h = 0 + h (0) = 1 , tem-se que ( ) ( )

a k a k

2 2

a k a k

a a k a

a k

Conclui-se, assim, que h ( x ) = - 0,2( x - 2)^2 + 1,. h ( x ) H 0 + x! [-1, 5] , visto que a concavidade da parábola é voltada para baixo ( a = - 0,2 < 0 ) e 0 = h (5) = h (2 - 3) = h (-1) , uma vez que x = 2 é uma equação que define o eixo de simetria da parábola representativa do gráfico da função f. Consulte as páginas 76-85 do volume 3 do manual.

2 2.1 g ( x ) = 0 + x = 1 Como f (1) = 2 ◊ 1 3 - 6 ◊ 1 + 4 = 0 , então, conclui-se, por aplicação do teorema do resto, que f ( x ) é divisível por g ( x ). Aplicando a regra de Ruffini vem: (^2 0) - 6 4 (^1 2 2) - 4 (^2 2) - 4 0

f ( x ) = 2 x^3 - 6 x + 4 = ( x - 1)(2 x^2 + 2 x - 4) = = 2( x - 1)( x^2 + x - 2) Como x^2 + x - 2 = 0 + x = - 2 0 x = 1 , tem-se que: f ( x ) = 2( x - 1)( x - 1)( x + 2) = 2( x - 1)^2 ( x + 2) Consulte as páginas 114-125 do volume 1 do manual. 2.2 Dh % g = { x! Dg / g ( x )! Dh } = = { x! IR / 2 x - 2! [-3, + 3 [} = = { x! IR: 2 x - 2 H - 3} = 2 ,

Consulte as páginas 18 e 19 do volume 3 do manual. 2.3 Para provar que h é bijetiva considere-se um número real y e procure-se x! [-3, + 3 [ , tal que y = - 5 - x + 3. Resolvendo a equação em ordem a x tem-se que: y = - 5 - x + 3 + x + 3 = - 5 - y y 5

G- y^ + G- 5 x^ +^3 =^ (-^5 -^ y )

2 y^ + G- 5 x^ =^ -^3 +^ ( y^ +^ 5)

2

Então, para qualquer y! ]- 3 , - 5] existe um, e apenas um, valor x! [-3, + 3 [ , para o qual y = h ( x ) e, sendo assim, h é bijetiva. Para a determinação da expressão da função inversa de h basta verificar que: y = h ( x ) + x = - 3 + (y + 5) 2 +

• x = y^2 + 10 y + 22 Donde se conclui que h -^1 ( x ) = x^2 + 10 x + 22. Consulte as páginas 14-17 e 21-25 do volume 3 do manual.

AvALIO O MEu SuCESSO 6

Páginas 54 a 57

ESCOLHA MúLTIPLA

1 Opção (C). A proposição «Como 3216 é um número par e a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3 , 3216 é múltiplo de 6 » tem o mesmo sentido de «Se 3216 é um número par e a soma dos algarismos de 3216 é um múltiplo de 3 , então, 3216 é um múltiplo de 6 » , que simbolicamente se representa por a / b & c. Consulte as páginas 17 e 18 do volume 1 do manual.

2 Opção (A). Completando os quadrados na equação x^2 + y^2 - 2 x + 4 y - 20 = 0 obtém-se a equação reduzida da circunferência ( x - 1)^2 + ( y + 2)^2 = 25. Então, o ponto A , centro da circunferência, tem coordenadas (1, - 2) , pelo que B = A + AB tem coordenadas (4, - 2 + y ) , em que y é a 2.a^ coordenada de AB. Assim, tem-se: (4 - 1) 2 + (- 2 + y + 2)^2 = 25 +

• 9 + y^2 = 25 + + y =! 4 Portanto, dado que B é um ponto do primeiro quadrante, as suas coordenadas são (4, 2). Consulte as páginas 17, 18 e 53 do volume 2 do manual.

3 Opção (B). D (^) g % f = { x! Df : f ( x )! Dg } = 6 ,

f ( x )! D (^) g + f ( x ) H 2

• 3 x - 2 H 2

• x H 6

g % f ( x ) = g (3 x - 2) = 2 3( x - 2 ) - 1 = 6 x - 5 Consulte as páginas 10 e 112-115 do volume 3 do manual.

4 Opção (B). A função f pode ser definida por f ( x ) = x - 1. Assim, o gráfico de g pode ser obtido como imagem do gráfico da função definida por f x ( ) pela composição da reflexão de eixo Ox com a translação de vetor u (-1, - 1). Assim, os valores de a , b e c são - 1 ,

• 1 e - 1 , respetivamente. Consulte as páginas 41, 45 e 88 do volume 3 do manual.

5 Opção (C).

Como x

x

3

i i 1

3

=

/ , tem-se que xi i 1

3

/ = 3 ◊ 53 = 159.

Assim, os três amigos têm, em conjunto, 159 euros , faltando-lhes 91 euros para conseguirem comprar o passe para o festival. Consulte as páginas 156-158 do volume 3 do manual.

RESPOSTA ABERTA 1 1.1 Como _ 1 + 2 i^2 = 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2 , a proposição P tem valor lógico verdade. (^3) - 10 3 12 - 4 (^2 6) - 8 - 10 4 (^3) - 4 - 5 2 0 (^2 6 4) - 2 (^3 2) - 1 0 2 6 16 3 8 15 Então, 2 é raiz dupla do polinómio, pelo que q tem valor lógico verdade. A proposição r tem valor lógico falsidade porque (-3)^2 > 4 / - 3 < 2 Assim, tem-se: Verdade — ( V 0 F + V ) Verdade — ( F & V / F ) + ( F & F ) + V Falsidade — ( V / V & F ) + ( V & F ) + F Consulte as páginas 97, 122 e 123 do volume 1 do manual. 1.2 + r : 7 x! IR: x^2 > 4 / x G 2 Valor lógico verdade. Consulte as páginas 28, 48 e 49 do volume 1 do manual.

2 2.1 Como as arestas da base [ DA ] e [ DC ] pertencem aos planos xOz e yOz , respetivamente, e ambas são paralelas ao plano xOy , o plano que contém a base da pirâmide é paralelo a xOy. Por outro lado, como AD = 6 , tem-se que o volume da pirâmide é dado por 3

× 62 ◊ h = 12 h , em que h é a altura da pirâmide. Então, 12 h = 96 + h = 8. Portanto, o plano que contém a base da pirâmide pode ser definido pela equação z = 8 (os vértices da base, como se observa na figura, têm cota positiva). Consulte as páginas 28, 48 e 49 do volume 2 do manual. 2.2 Todos os vértices da base têm cota 8. O ponto A pertence ao plano xOz , tem abcissa 6 e cota 8 , portanto, A (6, 0, 8) ; o ponto D pertence ao eixo Oz e tem cota 8 , logo, D (0, 0, 8) e o ponto C pertence ao plano yOz , DC = 6 , então, C (0, 6, 8). Os pontos A e C são as projeções ortogonais de B sobre os planos xOz e yOz , respetivamente. Então, B (6, 6, 8). Consulte as páginas 74-80 do volume 2 do manual. 2.3 AV = ( V - A )(-3, 3, - 8). Então, uma equação vetorial da reta AV é ( x , y , z ) = (6, 0, 8) + k (-3, 3, - 8), k! IR Consulte a página 107 do volume 2 do manual. 2.4 Uma equação do plano mediador de [ AV ] é ( x - 6)^2 + y^2 + ( z - 8)^2 = ( x - 3)^2 + ( y - 3)^2 + z^2 Desenvolvendo os quadrados dos binómios e simplificando obtém-se: 3 x - 3 y + 8 z = 41 Consulte a página 86 do volume 2 do manual.

Resoluções AV ALIO O MEU SUCESSO

2.5 A equação reduzida da superfície esférica de centro

em V (3, 3, 0) e raio AV = ( - 3 ) 3 + 3 3 + -( 8 )^2 = = 82 é ( x - 3)^2 + ( y - 3)^2 + z^2 = 82 Desenvolvendo os quadrados obtemos de forma equivalente: x^2 + y^2 + z^2 - 6 x - 6 y - 64 = 0 Demonstrando-se, assim, o pedido. Consulte a página 87 do volume 2 do manual.

3 a) O produto ( x - 5)( x + 2) é um polinómio de grau dois com coeficiente de x^2 positivo, pelo que assume valores positivos fora do intervalo das suas raízes. Como as raízes são - 2 e 5 , o conjunto definido pela inequação ( x - 5)( x + 2) H 0 é S = ]- 3 , - 2] , [5, + 3 [ Consulte a página 85 do volume 3 do manual.

b) - 2 x^3 + 4 x^2 + 10 x < 12 +

• • 2 x^3 + 4 x^2 + 10 x - 12 < 0 Aplicando a regra de Ruffini, para dividir o polinómio

• 2 x^3 + 4 x^2 + 10 x - 12 por x + 2 obtém-se:
• 2 x^3 + 4 x^2 + 10 x - 12 = ( x + 2)(- 2 x^2 + 8 x - 6)
• 2 x^2 + 8 x - 6 = 0 + x = 1 0 x = 3 Construindo um quadro de sinais obtém-se: x (^) - 3 - 2 1 3 + 3 x + 2 - 0 + + + + +
• 2 x^2 + 8 x - 6 - - - 0 + 0 - ( x + 2)(- 2 x^2 + 8 x - 6) + 0 - 0 + 0 - Portanto, o conjunto definido pela inequação
• 2 x^3 + 4 x^2 + 10 x < 12 é C.S. = ]-2, 1[ , ]3, + 3 [. Consulte a página 107 do volume 3 do manual.

c) 2 x - 3 = 3 - x & 2 x - 3 = (3 - x )^2 +

• x^2 - 8 x + 12 = 0 + x = 2 0 x = 6 Verificação: Para x = 2 , vem 2 # 2 - 3 = 3 - 2 + 1 = 1. V Para x = 6 , vem 2 # 6 - 3 = 3 - 6 + 3 = - 3. F Então, o conjunto definido pela condição 2 x - 3 = 3 - x é {2}. Consulte a página 104 do volume 3 do manual.

4 4.1 a) v (0) = 29,4. Então, a velocidade inicial da bola era de 29,4 m/s. Consulte a página 8 do volume 3 do manual. b) O vértice da parábola que representa graficamente a função h tem coordenadas

h 2 4 9

f e o p (^) = (3; 45,8)

Portanto, a altura máxima atingida pela bola foi de 45,8 metros e a velocidade no instante em que essa altura foi atingida foi v (3) = - 9,8 ◊ 3 + 29,4 = 0 m/s Consulte as páginas 78 e 79 do volume 3 do manual.

c) A bola chega ao solo quando h ( t ) = 0. h ( t ) = 0 + - 4,9 t^2 + 29,4 t + 1,7 = 0 +

• t = ,

Assim, a bola atinge o solo no instante t. 6,. Portanto, a velocidade vertical da bola quando atingiu o solo foi, aproximadamente, de 30 m/s. Consulte as páginas 81 e 82 do volume 3 do manual. 4.2 A altura inicial da bola era de h (0) = 1,7 m. h ( t ) = 1,7 + - 4,9 t^2 +29,4 t = 0 + t = 0 0 t = 6 No instante t = 6 a altura da bola voltou a ser igual a 1,7 m e a velocidade vertical da mesma, igual a v (6) = - 9,8 ◊ 6 + 29,4 = - 29,4 m/s. Então, v ( ) 6 = v (0). Consulte as páginas 81 e 82 do volume 3 do manual.

5

i 1

5

=

/ ni = 4 + 3 + 5 + 3 + 1 = 16 O que significa que a amostra tem 16 elementos. Consulte as páginas 149-157 do volume 3 do manual. 5.2 9 dos 16 alunos obtiveram classificação igual ou superior a 3 , ou seja, 56,25 % dos alunos. Consulte as páginas 177 do volume 3 do manual.

5.3 x =

n x

16

j (^) j j 1

5

=

/ K

SSx = x (^) j x j

2 1

5

=

/ ` K j nj = (1 - 2,625)^2 ◊ 4 +

• (2 - 2,625) 2 ◊ 3 + (3 - 2,625)^2 ◊ 5 +
• (4 - 2,625) 2 ◊ 3 + (5 - 2,625)^2 ◊ 1 = 23,

Portanto, S (^) x = n

SS

x

Consulte as páginas 157, 167 e 168 do volume 3 do manual.

5.4 A ordem do percentil 60 é

< 60 #^16 F

Então, P 60 = x 10 = 3. Consulte as páginas 149 e 157 do volume 3 do manual.