Baixe Resolução manual maximo 12 e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Pág. 114
1.1. Dado um espaço de resultados E , finito, se os
acontecimentos elementares forem equiprováveis, a
probabilidade de um acontecimento ( )
A ∈ P E
, é igual ao
quociente enre o número de casos favoráveis ao
acontecimento A
e o número de casos possíveis.
O número de casos possíveis é igual a
6
2
A
, isto é, é o número
de maneiras diferentes de escolher um par de cores diferentes
de entre as seis cores disponíveis para pintar as faces [ ]
BCE
e
[ ]
FGH
O número de casos favoráveis é igual a 1, ou seja, só há uma
maneira de pintar a face
[ BCE ]
de verde e a face
[ FGH ]
de
branco.
Atendendo à regra de Laplace, a probabilidade pedida é 6
2
A
1.2. Número de casos favoráveis:
3 4 5
3 3 3
2 × C + 2 × C + 2 × C = 2 × 1 + 2 × 4 + 2 × 10 = 30
Duas faces pentagonais
Duas faces quadrangulares
Duas faces triangulares
Número de casos possíveis:
8
3
C = 56
Atendendo à regra de Laplace, a probabilidade pedida é igual a
2.1. Designando por A o acontecimento «o funcionário reside a
menos de 5 km do local onde a empresa se situa» e por B o
acontecimento “O funcionário é uma mulher”, vem que a
probabilidade pedida é ( )
P A ∩ B
Do enunciado, sabemos que, dos funcionários desta empresa,
▪ a quarta parte reside a menos de 5 km do local onde a
empresa se situa, ou seja, ( )
P A =
▪ metade são mulheres, ou seja, ( )
P B =
▪ dos homens, um quarto reside a menos de 5 km do local
onde a empresa se situa, pelo que,
P A B =.
Tem-se que:
P A = P B ∩ A + P B ∩ A
⇔ = P B × P A B + P A ∩ B ⇔
⇔ = × + P A ∩ B ⇔
⇔ P A ∩ B = − ⇔ P A ∩ B =
Portanto, a probabilidade pedida é igual a
2.2. Dos funcionários desta empresa, a quarta parte resida a menos
de 5 km do local onde a empresa se situa. Como a empresa tem
120 funcionários, o número de funcionários que reside a menos
de 5 km do local onde a empresa se situa é 30, pois
× =
, e o número de funcionários que reside a 5 km ou
mais do local onde a empresa se situa é 90.
O número de maneiras diferentes de se formar uma comissão
com, pelo menos, quatro dos funcionários a residirem a menos
de 5 km do local onde a empresa se situa é
30 90 30 90 30 90
4 2 5 1 6 0
C × C + C × C + C × C = 123176 340
Pág. 115
Pretende-se mostrar que [ ] ( )
∃ ∈ − x 1 , 0 : f x = 0 .
Seja h a restrição da função
f
ao intervalo ] ]
. Assim,
( ) e 1
x
h x = x + e ] ]
h
D = −∞
A função h é contínua por ser definida pelo produto e soma de
funções contínuas (função exponencial e funções polinomiais).
Logo, h é contínua no intervalo [ ]
h
− ⊂ D
Por outro lado, tem-se que:
1
1 1e 1 1 0,
e
h
−
0
h 0 = 0 × e + 1 = 1
Como
h ( − 1 ) < 0,8 < h ( 0 )
e h é contínua em [ ]
, pelo
Teorema de Bolzano, podemos garantir, que a equação
h x = 0,
tem pelo menos uma solução no intervalo ] [
Portanto, como h é uma restrição da função f ao intervalo
] ]
e ] [ [ ] ] ]
, podemos concluir que a
equação ( )
f x = 0, tem pelo menos uma solução no intervalo
[ ]
3.2. A função f é contínua em { }
ℝ \ 0
, pelo que apenas a reta de
equação x = 0 pode ser assíntota vertical ao gráfico de f.
0
lim 0 1
x
f x f
−
→
0
lim ln e 1 ln 0
x
x
→
Portanto, a reta de equação x = 0 é a única assíntota vertical ao
gráfico de f.
Assíntotas não verticais ( )
y = mx + b
Em −∞
( )
0
lim lim e 1 1 lim e
x x
x x x
f x x x
−∞×
→−∞ →−∞ →−∞
1 lim e
y
y
y
−
→+∞
e
lim
y
y y
→+∞
A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal ao gráfico de
f em
Se ,
y x x y
x y
= − ⇔ = −
→ −∞ → +∞
Em +∞ :
( )
ln e 1
lim lim
x
x x
f x
m
x x
∞
∞
→+∞ →+∞
ln e 1 ln e ln 1
e e
lim lim
x x
x x
x x x x
→+∞ →+∞
ln 1 ln 1
e e
lim lim lim
x x
x x x
x
x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
ln 1 0 ln1 0
( )
lim ln e 1
x
x
b x
→+∞
( )
e 1
lim ln e 1 ln e lim ln
e
x
x x
x
x →+∞ x →+∞
e 1 1
lim ln lim ln 1
e e e
x
x x x
x →+∞ x →+∞
ln 1 ln 1 0 ln1 0
Portanto, a reta de equação y = x é assíntota ao gráfico de
f ,
em +∞.
( ) ( ) ( )
3 3 3
e e e
x x x
f x x x x
( )
2 3 2 3
3 e e 3 e e
x x x x
x x x x
− − − −
( )
2 3
e 3
x
x x
−
( )
2 3
0 e 3 0
x
f x x x
−
2 3
e 0 3 0
x
x x
−
2
⇔ x ∈ ∅ ∨ x 3 − x = 0 ⇔
2
⇔ x = 0 ∨ 3 − x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3
x −∞ 0 3
+∞
f
′ + 0 + 0 –
f ր ր ց
Máx.
A função f é estritamente crescente em ] −∞ , 0]e em
[ ]
0 , 3 e é estritamente decrescente em
[ [
3 , + ∞. Tem um
máximo relativo igual a ( )
3
e
f =.
] [
g
D = + ∞ e a função g é contínua
Assim, a única possível assíntota vertical é a reta de equação
x = 0.
( )
2
0 0
4ln
lim lim
0 4ln 0
x x
x x
g x
x
→ →
Portanto, a reta de equação x = 0 é assíntota ao gráfico da
função g.
Assintotas não verticais
y = mx + b :
2
2
4ln
lim lim
x x
g x x x
m
x x
∞
∞
→+∞ →+∞
2
2
ln 1
lim 4 lim lim
x x x
x x
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= + × =
= 1 + 4 × 0 × = 1 + 4 × 0 × 0 = 1
2 2 2
4ln 4ln
lim lim
x x
x x x x x
b x
x x
→+∞ →+∞
4ln ln
lim 4 lim 4 0 0
x x
x x
x x
→+∞ →+∞
= = = × =
Como
g
D
= ℝ , a única assíntota não vertical do gráfico de
g é a reta de equação y = x.
0
3 lim
h
f h f
f
h
→
0
ln 3 ln 3
lim
h
h
h
→
0
ln
lim
h
h
h
→
0
ln 1
lim
h
h
h
→
0
ln 1
lim
h
h
h
→
= ×
0
0
lim
e 1 3 e 1 3 3 1 3
lim
y y
y
y
y
y
→
→
= × = × = × =
Portanto,
f
5.2. Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.
Para x ≤ 2 , tem-se que:
( ) ( )
2 2 2
e e 2e 1
x x x
f x x x
O declive de r é
2 0
f 0 2e 1 1
×
′
= − =.
2 0
f 0 e 0 1
×
O ponto de coordenadas
0 , 1 pertence à reta r
Um vetor diretor tem coordenadas
1 , 1 já que o declive de
r é igual a 1.
Assim,
x y , = 0 , 1 + k 1 , 1 , k ∈ ℝ é uma equação
vetorial da reta r
5.3. Para x ≤ 2 ,
2
2e 1
x
f x
2 2
ln
2e 1 0 e 2 ln
x x
x x
( )
1
ln 2
ln 2
x x
−
ln 1 e 1
3 3
e 1
3
Se 0 , 0
y
y
h h
y
h
h y
= + ⇔ = + ⇔
⇔ = −
→ →
π
A α α
2 2
π
2cos 1 4sin 0 0 ,
α α α
2 2
π
2cos 0 1 4sin 0 0 ,
α α α
2
1 π
cos 0 sin 0 ,
α α α
1 1 π
cos 0 sin sin 0 ,
π
⇔ α=
α 0
π
6
π
2
A
′
A ր
0 ց
Máx.
A área do triângulo
[ ]
PQR é máxima quando
π
α =.
8.1. Para
[ ]
x ∈ π , 2π , tem-se que:
1 cos
1 cos 1 e e e
x
x
−
− ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ , pois a função exponencial,
e
x
y = , é estritamente crescente.
1 cos 1 cos
e e e e 1 e 1 e 1
− x − x
1 e 1
e
⇔ − ≤ f x ≤ −
Portanto,
1 , e 1
e
f
D
8.2. Para
[ ]
x ∈ π , 2π , tem-se que:
cos cos
cos cos
e 1 e 1
cos e 0 sin e
x x
x x
f x
x x
( ) [ ]
π
cos 0 π , 2π
f x x x
( ) [ ]
cos
sin e sin 0 π , 2π
x
⇔ − x − − x = ∧ x ∈
[ ]
cos
sin e sin 0 π , 2π
x
⇔ − x + x = ∧ x ∈
( ) [ ]
cos
sin e 1 0 π , 2π
x
⇔ x − + = ∧ x ∈
[ ]
cos
sin 0 e 1 0 π , 2π
x
⇔ x = ∨ − + = ∧ x ∈
( ) [ ]
cos
sin 0 e 1 π , 2π
x
⇔ x = ∨ = ∧ x ∈
⇔ ( sin x = 0 ∨ cos x = 0 ) ∧ x ∈[ π , 2π]
3π
π 2π
⇔ x = ∨ x = ∨ x =
( )
0
cos
3π 3π
2 2
lim tan lim tan e 1
x
x x
f x x x
∞×
→ →
× = − =
cos
3π
2
sin
lim e 1
cos
x
x
x
x →
cos
3π
2
e 1
lim sin
cos
x
x
x
x →
cos
3π 3π
2 2
e 1
lim sin lim
cos
x
x x
x
x → →
= × =
0
e 1
1 lim 1 1 1
y
y
y
→
= − × = − × = −
Portanto,
3π
2
lim tan 1
x
f x x
→
× = −
Pág. 117
9. Vamos escrever − + 1 3ina forma trigonométrica.
2
2
− 1 + 3i = − 1 + 3 = 1 + 3 = 4 = 2
Sendo
θ = Arg − 1 + 3i, tem-se que
tan 2.º Q
θ= ∧ θ∈
, pelo que
2 π
θ =.
Assim, temos que z :
2π
i
2π
3 i 2
3
2 2 i2 2
i
1 3i 2e 2
e
e
e
z
r r
r
θ
θ
θ
−
Escrevendo w na forma trigonométrica, temos
3 π
i
2
w = − 2 3i = 2 3 e.
2π 3π
i 2 i
3 2
2
e 2 3 e
e
z w
θ
−
2
2π 3π
2 2 π ,
r
θ k k
2
2π 3π
2 2 π ,
r
θ k k
2
5π
2 2 π ,
r
θ k k
] [
4
π , 0
5 π 5π
π ,
r r
k k
θ
∈ −
Assim, se z = w , temos que
4
r = e
5 π
θ = −.
10.1. Sabe-se que no instante inicial havia 40 coiotes, pelo que
P 0 = 40.
3 0
5
1 e
P
A
− ×
1
0
1 e 1
A
A A
≠ −
⇔ = + A ⇔ = + A
⇔ 5 = 1 + A ⇔ A = 4
Portanto, A = 4.
cos
3π
Se , 0
2
y x
x y
=
→ →
10.2. Tem-se que 30 meses corresponde a 2,5 anos, portanto,
pretende-se determinar
P 2,5 − P 0.
Assim, vem:
3 2,
5
1 4e
P P
×
−
1,
1 4e
−
O aumento foi de 66 coiotes.
10.3. Pretende-se determinar t tal que
P t = 3 × 40.
3
5
1 4e
t
P t P t
−
= × ⇔ = ⇔ =
3
5
200 120 1 e
t
, pois
3
5
0
, 1 4e 0
t
t
−
3 3
5 5
1 4e 1 4e
k t
− −
3 3
5 5
1 4e 4e
t t
− −
3 3
5 5
e e
t t
− −
⇔ × = ⇔ = ⇔
ln
ln 3
t
t t
Portanto, o número de coiotes triplicou ao fim de,
aproximadamente, 3 anos.
11.1. Tem-se que D + DA = A
, como DA = CB
, vem:
D + DA = A ⇔ D + CB = A
⇔ ( 3 , 0 , 4 ) + ( B − C )= A
⇔ ( 3 , 0 , 4 ) + −( 3 , 6 , 4 ) − −( 1 , 2 , 8 ) = A
⇔ 3 , 0 , 4 + −2 , 4 , − 4 = A
⇔ A =1 , 4 , 0
Portanto
A 1 , 4 , 0.
11.2. Volume da pirâmide
[ ]
ABCDV =
área da base altura
×
2
BC × MV
M é o ponto médio de
[ ]
BD , determinemos as suas
coordenadas.
M M
MV = V − M = 4 − 0 , 7 − 3 , 6 − 4 = 4 , 4 , 2
2 2 2
MV = 4 + 4 + 2 = 16 + 16 + 4 = 36 = 6
2 2 2
BC = − 3 + 1 + 6 − 2 + 4 − 8
Assim, volume da pirâmide
[ ]
ABCDV é
2
V
×
MV =4 , 4 , 2
é um vetor normal de ABC
ABC : 4 x + 4 y + 2 z + d = 0
Como
A 1 , 4 , 0∈ ABC , temos
4 + 4 × 4 + 0 + d = 0 ⇔ d = − 20
ABC : 4 x + 4 y + 2 z − 20 = 0
⇔ 2 x + 2 y + z − 10 = 0
11.4. Número de casos possíveis:
10
5
C (número de maneiras de
escolher 5 cores, de entre 10)
Número de casos favoráveis:
9
4
C (depois de selecionada a
cor vermelha, é necessário escolher mais 4 cores, de entre as
9 restantes).
Portanto, a probabilidade pedida é, por aplicação, da regra de
Laplace:
9
4
10
5
C
C
