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resolução exerc algebra, Exercícios de Álgebra

Universidade Federal de Pelotas (UFPel)Álgebra

reolução exerc livro algebra aaaaaaaaaabbbbbbcccccc

Tipologia: Exercícios

2019

Compartilhado em 16/10/2019

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PROVA II
Lista III
1. Considere os polinômios
ƒ( x ) = 2 + 3x - 4x²
g( x ) = 7 + x²
h( x ) = 2x - 3x² + x³
1ª (ƒ o g)( x ) = ƒ( g(x) )
Então;
(ƒ o g)( x ) = ƒ( x² + 7 ) = 2 + 3( x² + 7 ) - 4( x² + 7 )²
(ƒ o g)( x ) = 2 + 3x² + 21 - 4( x^[4] + 14x² + 49 )
(ƒ o g)( x ) = 3x² + 23 - 4x^[4] - 56x² - 196
(ƒ o g)( x ) = - 4x^[4] - 53x² - 173
2ª (g o h)( x ) = g ( h(x) )
(g o h)( x ) = g( x³ - 3x² + 2x )
(g o h)( x ) = 7 + ( x³ - 3x² + 2x )²
(g o h)( x ) = 7 + ( x³ - 3x² )² + 2.2x.( x³ - 3x² ) + (2x)²
(g o h)( x ) = 7 + x^[6] - 6x^[5] + 9x^[4] + 4x.( x³ - 3x² ) + 4x²
(g o h)( x ) = x^[6] - 6x^[5] + 9x^[4] + 4x^[4] - 12x³ + 4x² + 7
(g o h)( x ) = x^[6] - 6x^[5] + 13^[4] - 12x³ + 4x² + 7
3ª (h o ƒ)( x ) = h( ƒ(x) )
(h o ƒ)( x ) = h( 2 + 3x - 4x² )
(h o ƒ)( x ) = 2.(2 + 3x - 4x²) - 3.(2 + 3x - 4x²)² + (2 + 3x - 4x²)³
(h o ƒ)( x ) = 4+6x-8x² - 3.[2²+ 2.2.(3x-4x²)+ (3x-4x²)²] + (2³ + 3.2².(3x-4x²)
+ 3.2.(3x - 4x²)² + (3x - 4x²)³
(h o ƒ)( x ) = 4+6x-8x² -3.{4 + 4(3x-4x²) + [ (3x)² - 2.3x.4x² + (4x²)² ]} + 8
+ 12(3x - 4x²) + 6[(3x)² - 2.3x.4x² + (4x²)² + [ (3x)³ - 3.(3x)².4x² + 3.3x.
(4x²)² - (4x²)³
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PROVA II

Lista III

  1. Considere os polinômios ƒ( x ) = 2 + 3x - 4x² g( x ) = 7 + x² h( x ) = 2x - 3x² + x³ 1ª (ƒ o g)( x ) = ƒ( g(x) ) Então;(ƒ o g)( x ) = ƒ( x² + 7 ) = 2 + 3( x² + 7 ) - 4( x² + 7 )² (ƒ o g)( x ) = 2 + 3x² + 21 - 4( x^[4] + 14x² + 49 ) (ƒ o g)( x ) = 3x² + 23 - 4x^[4] - 56x² - 196 (ƒ o g)( x ) = - 4x^[4] - 53x² - 173 2ª (g o h)( x ) = g ( h(x) ) (g o h)( x ) = g( x³ - 3x² + 2x ) (g o h)( x ) = 7 + ( x³ - 3x² + 2x )² (g o h)( x ) = 7 + ( x³ - 3x² )² + 2.2x.( x³ - 3x² ) + (2x)² (g o h)( x ) = 7 + x^[6] - 6x^[5] + 9x^[4] + 4x.( x³ - 3x² ) + 4x² (g o h)( x ) = x^[6] - 6x^[5] + 9x^[4] + 4x^[4] - 12x³ + 4x² + 7 (g o h)( x ) = x^[6] - 6x^[5] + 13^[4] - 12x³ + 4x² + 7 3ª (h o ƒ)( x ) = h( ƒ(x) ) (h o ƒ)( x ) = h( 2 + 3x - 4x² ) (h o ƒ)( x ) = 2.(2 + 3x - 4x²) - 3.(2 + 3x - 4x²)² + (2 + 3x - 4x²)³ (h o ƒ)( x ) = 4+6x-8x² - 3.[2²+ 2.2.(3x-4x²)+ (3x-4x²)²] + (2³ + 3.2².(3x-4x²)
    • 3.2.(3x - 4x²)² + (3x - 4x²)³ (h o ƒ)( x ) = 4+6x-8x² -3.{4 + 4(3x-4x²) + [ (3x)² - 2.3x.4x² + (4x²)² ]} + 8+ 12(3x - 4x²) + 6[(3x)² - 2.3x.4x² + (4x²)² + [ (3x)³ - 3.(3x)².4x² + 3.3x. (4x²)² - (4x²)³

(h o ƒ)( x ) = 4 + 6x - 8x² -3.[4 + 12x - 16x² + 9x² - 24x³ + 16x^[4] ] + 8 + 36x - 48x² + 6[ 9x² - 24x³ + 16x^(4) ] + 27x³ - 108x^[4] + 144x^[5] -64x^[6] (h o ƒ)( x ) = 4 + 6x - 8x² - 12 - 36x + 48x² - 27x² + 72x³ - 48x^[4] + 8 +36x - 48x² + 54x² - 144x³ + 96x^[4] + 27x³ - 108x^[4] + 144x^[5] - 64x^[6] (h o ƒ)( x ) = - 64x^[6] + 144x^[5] - 60x^[4] - 45x³ + 19x² + 6x

  1. Prove que se B _e um subanel do anel A, então B[x] _e um subanel de A[x] 1- B[X] contém o zero de A[X]; 2- p(x) - q(x) está em B[X], se p(x), q(x) em B[X]3- p(x) * q(x) está em B[X], se p(x), q(x) em B[X] 1- Ora 0 de B[X] é o polinômio constante igual a 0 de A[X], pois B é um subanel de A; cada an+bn está em B.2- p(x) - q(x)=^ ∑^ an x^n - (∑^ bn x^n) =∑^ (an+bn) x^n que está em B[X] pois 2- p(x) *q(x)= ∑ an x^n * (∑ bn x^n) = (a0+b0) + (a1b0+a0b1)x+ (a2b0+ 2 a1b1+ a2b0)x² +...+ anbmx^n+mque está em B[X] pois cada coeficiente está em B.

condições F=G?5) Dados os polinômios f(x) = (a-1) x^2+bx+c e g(x) = 2ax^2 +2bx-c em R[x], q a-1 = 2a; a = - b=2b; b= c = -c; c=

  1. Qual o valor de a-b para que o binômio 2x²+17 seja idêntico à expressão (x²+b)²- (x²-a²)(x²+a²), com a> 0 e b>0? (x²+b)²-(x²-a²)(x²+a²) = x^4+2x²b+b²-x^4+a^4 = 2x²b + (b²+a^4) Portanto, para esta expressão ser igual a 2x²+17: b=1 e b²+a^4 = 17, ou seja, a =2 a-b = 2-1 = 1 10) Condições p que seja um quadrado perfeito f(x) = ax^2 + bx + c ax^2 + bx + c= (px+q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^ a=p^ b=2pq; c=q^2; b^2= 4p^2q^2; b^2= 4(p^2)(q^2) = 4ac