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Cap´ıtulo 8
Operadores e Produto Interno
No referente cap´ıtulo estudaremos sobre operadores normais. Ser´a apresentado o Teorema espectral, muito importante para o curso de Algebra Linear.´ Os oper- adores ortogonais tamb´em ser˜ao estudados, de forma mais detalhada.
8 .1 Operador Transposto
Dado o operador linear A : Rn^ → Rn, queremos determinar um operador linear, o operador transposto de A, representado por At^ : Rn^ → Rn, que tem a seguinte propriedade
〈v, A(w)〉 =
At(v), w
para ∀ v, w ∈ Rn. Para determinar o operador linear, basta conhecer sua matriz canˆonica. Escrevendo
[A] = [vij ] = [A(e 1 ), A(e 2 ), ..., A(en)]
indica-se que a j-´esima coluna ´e
vj = A(e 1 ) = (v 1 j , v 2 j , ..., vnj )
. Logo, a entrada vij ´e calculada pelo produto interno
vij = 〈ei, A(ej )〉
. No entanto, a matriz canˆonica do operador linear procurada, At, ´e dada por
[ At
]
[
At(e 1 ), At(e 2 ), ..., At(en)
]
Do mesmo modo, as entradas uij de [At] s˜ao obtidas por uij = 〈ei, At(ej )〉. Portanto, temos
uij =
ei, At(ej )
At(ej ), ei
= 〈ej , A(ei)〉 = vji.
Logo, est´a demonstrado que o operador procurado satisfaz a condi¸c˜ao [At] = [A]t. A matriz do operador transposto de A deve ser a transposta da a matriz de A. Como a rela¸c˜ao entre o Rn^ e matrizes n × n ´e biun´ıvoca, s´o tem um operador linear que satisfaz a condi¸c˜ao (8.1), logo, o operador transposto deve ter a matriz canˆonica [A]t.
I
Preposi¸c˜ao 8. 1. 1 Dado um operador linear A em R^2 existe um ´unico oper-
ador linear At^ em Rn^ tal que
〈v, A(w)〉 =
At(v), w
para quaisquer v, w ∈ Rn. Vale tamb´em a rela¸c˜ao matricial [At] = [A]t.
Ex: Seja A : R^2 → R^2 , A(x, y) = (x − 4 y, − 2 x + y). Para determinar o oper- ador linear At^ : R^2 → R^2 tal que
〈v, A(w)〉 =
At(v), w
para quaisquer vetores v, w ∈ R^2 , basta considerar a transposta da matriz de A,
[A] =
[
]
, [A]t^ =
[
]
e definir At(x, y) = (x − 2 y, − 4 x + y). Esses operadores satisfazem a condi¸c˜ao (8.1), calculando ent˜ao
i) 〈(x, y), A(x, y)〉 = 〈(x, y), (x − 4 y, − 2 x + y)〉 = x^2 + y^2 − 6 xy;
ii) 〈At(x, y), (x, y)〉 = 〈(x − 2 y, − 4 x + y), (x, y)〉 = x^2 + y^2 − 6 xy.
Preposi¸c˜ao 8. 1. 2 Seja A : Rn^ → Rn^ um operador linear. Valem as afirma¸c˜oes.
i) A ´e invert´ıvel ⇔ At^ ´e invert´ıvel. Nesse caso, A−^1 t = At−^1.
ii) O polinˆomio caracter´ıstico de A e At^ s˜ao iguais.
Prova
i) Pela Proposi¸c˜ao (2. 1 .2 - Seja [A] uma matriz n × n e [A]t^ a sua matriz transposta. Ent˜ao det[A]t^ = det[A].) Como vale a rela¸c˜ao matricial [At] = [A]t, ent˜ao det[A] 6 = 0 se, e somente det[At] 6 = 0.
Se A ´e invert´ıvel ent˜ao A−^1 ◦ A = Id. Calculando a transposta dessa composi¸c˜ao, obt´em-se At^ ◦ A−^1
t = Id. Pelo Corol´ario 7. 1 .1, (p´ag. 166), pode-se afirmar que A−^1 t = At−^1.
ii) Denotamos por pA(λ) e pAt^ (λ) os polinˆomios caracter´ısticos de A e At, respecti- vamente. Observe que λId = λIdt. Logo,
pA(λ) = det[λId − A] = det[λId − A]t^ = det[λIdt^ − At] = det[λId − At] = ptA(λ).
II
8 .3 Operadores sim´etricos
Sabe-se que um operador sim´etrico A do Rn^ satisfaz a condi¸c˜ao
〈v, A(w)〉 = 〈A(v), w〉 ,
para quaisquer dois vetores v, w ∈ R, ou seja, At^ = A
Exemplo 8. 3. 1 Seja A : R^3 → R^3 ,
A(x, y, z) = (7x − 2 y, − 2 x + 6y − 2 z, − 2 y + 5z).
Para verificar que 〈v, A(w)〉 = 〈A(v), w〉 para quaisquer vetores v, w ∈ R^3 , basta examinar a matriz
[A] =
(^) = [A]t
Como a matriz ´e sim´etrica, o operador linear ´e sim´etrico.
Lema 8. 3. 1 Sejam A um operador linear sim´etrico em Rn^ e β = {v 1 , v 2 , ..., vk}
um conjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ 1 , λ 2 , ..., λk, respectivamente. Se os autovalores s˜ao distintos dois a dois, ent˜ao os vetores de β s˜ao ortogonais dois a dois.
Prova Seja i 6 = j. Seja a seguinte sequˆencia de iqualdades,
λi 〈ui, uj 〉 = 〈λiui, uj 〉 = 〈A(ui), uj 〉 = 〈ui, A(uj )〉 = 〈ui, λj uj 〉 = λj 〈ui, uj 〉.
Portanto, (λi − λj ) 〈ui, uj 〉 = 0. Como λi 6 = λj segue que 〈ui, uj 〉 = 0
Teorema 8. 3 .1 (Teorema espectral em R^2 ) Se o operador linear A
em R^2 ´e sim´etrico ent˜ao:
a) o polinˆomio caracter´ıstico de A possui 2 ra´ızes reais contando as repeti¸c˜oes, {λ 1 , λ 2 };
b) existe uma base ortonormal de R^2 formada por autovetores, β = {u 1 , u 2 }, onde A(ui) = λiui.
Diz-se que a base β ´e uma base espectral de A.
(Teorema espectral 8. 3 .2) Se o operador linear A em Rn^ ´e sim´etrico ent˜ao:
a) o polinˆomio caracter´ıstico de A possui n ra´ızes reais contando as repeti¸c˜oes, {λ 1 , λ 2 , ..., λn};
IV
b) existe uma base ortonormal de Rn^ formada por autovetores, β = {u 1 , u 2 , .., un}, onde A(ui) = λiui.
8 .4 Operadores ortogonais I
Seja um operador linear U do Rn, este ´e dito ortogonal se satisfizer a condi¸c˜ao
U ◦ U t^ = Id = U t^ ◦ U, (8.3)
matricialmente, U ´e um operador ortogonal se, e somente se,
[U ][U ]t^ = [Id] = [U ]t[U ].
Ou ainda, o operador U em Rn^ ´e ortogonal quando
〈U (v), U (w)〉 = 〈v, w〉 ,
para quaisquer v, w ∈ Rn.
Pela Defini¸c˜ao, (8.3), conclui-se que um operador ortogonal U ´e invert´ıvel e que U −1 = U t.
Corol´ario 8. 4. 1 Um operador linear U : Rn^ → Rn^ ´e ortogonal se, e somente se,
U ´e invert´ıvel e U −1 = U t. Mais ainda, o operador inverso ´e ortogonal.
Seja o operador linear U : R^2 → R^2.
U (x, y) =
x −
y,
x +
y
As matrizes na base canˆonica de [U ] e [U ]t^ s˜ao, respectivamente,
[U ] =
[ √
2 2 −
√ 2 √ 2 2 2
√ 2 2
]
e [U ]t^ =
[ √
2 2
√ 2 2 −
√ 2 2
√ 2 2
]
Verificou-se que [U ][U ]t^ = [Id] = [U ]t[U ], portanto, o operador ´e ortogonal.
Preposi¸c˜ao 8. 4. 1 Um operador linear U : Rn^ → Rn^ ´e ortogonal se, e somente
se, β = (U (e 1 ), U (e 2 , ..., U (en)) ´e uma base ortonormal de Rn.
Prova Veja o produto matricial descrito na Proposi¸c˜ao 8. 2 .1,
[U ]t[U ] =
〈U (e 1 ), U (e 1 )〉 〈U (e 1 ), U (e 2 )〉 · · · 〈U (e 1 ), U (en)〉 〈U (e 2 ), U (e 1 )〉 〈U (e 2 ), U (e 2 )〉 · · · U (e 2 ), U (en) · · · · · · · · · · · · 〈U (en), U (e 1 )〉 〈U (en), U (e 2 )〉 · · · 〈U (en), U (en)〉
V
〈U (v), U (w)〉 =
U t^ ◦ U (v), w
= 〈v, w〉.
(2. ⇒ 3 .) Suponha que U preserva o produto interno. Seja β = {u 1 , ..., un} uma base ortonormal do Rn. Mostrar que U (β) = {U (u 1 ), ..., U (un)} ´e um conjunto de vetores unit´arios dois a dois ortogonais. Calcula-se agora,
〈U (ui), U (uj )〉 = 〈ui, uj 〉 = δij
onde δij ´e o delta de Kronecker. De acordo com a Preposi¸c˜ao 5. 7 .1, (p´ag. 124), U (β) ´e uma base ortonormal de Rn.
(3. ⇒ 1 .) Assuma que U transforma bases ortonormais em bases ortonormais. Logo, o conjunto U (C) = {U (e 1 ), U (e 2 ), ..., U (en)} uma base ortogonal. De acordo com a proposi¸c˜ao 8. 4 .1, U ´e um operador ortogonal.
VII
Cap´ıtulo 9
Formas bilineares
Nesse cap´ıtulo ser´a generalizado o conceito de produto interno. Ser´a apresentado formas quadr´aticas, que utilizaremos para classificar cˆonicas e qu´adricas.
9 .1 Funcionais lineares
Um funcional linear em Rn^ ´e uma aplica¸c˜ao f : Rn^ → R tal que
f (v + λw) = f (v) + λf (w),
para quaisquer vetores v, w ∈ Rn^ e para qualquer escalar λ ∈ R. Identificando R com R^1 , um funcional linear no Rn^ ´e uma transforma¸c˜ao linear, logo pode ser expresso como
f (x 1 , x 2 , ..., xn) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + anxn.
Na constru¸c˜ao de funcionais lineares no Rn, basta tomar um vetor v 0 ∈ Rn^ e definir f : Rn^ → R,
f (v) = 〈v, v 0 〉 ,
onde 〈 , 〉 representa o produto interno. Portanto, f ´e um funcional linear, pois
f (v + λw) = 〈v + λw, v 0 〉 = 〈v, v 0 〉 + λ 〈w, v 0 〉 = f (v) + λf (w).
Ex: Escolhido o vetor v 0 = (2, − 4 , 1) ∈ R^3 , definimos o funcional linear f : R^3 → R por
f (x, y, z) = 〈(x, y, z), (2, − 4 , 1)〉 = 2x − 4 y + z.
O vetor v 0 foi recuperado selecionando os coeficientes das vari´aveis do funcional lin- ear, v 0 = (f (e 1 ), f (e 2 ), f (e 3 )). Por outro lado, a matriz de f ´e matriz 1 × 3
[f ] = [f (e 1 ), f (e 2 ), f (e 3 )] = [2 − 4 1].
Teorema 9. 1 .1 (Representa¸c˜ao de um funcional linear) Para cada
funcional linear f : Rn^ → R existe um ´unico vetor vf ∈ Rn^ tal que
f (v) = 〈v, vf 〉 ,
VIII
Exerc´ıcio 9. 3. 1 A forma bilinear g : R^2 × R^2 → R,
g((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = x 1 y 2 + x 2 y 1 ,
´e sim´etrica, pois g(v, w) = 〈v, A(w)〉 onde o operador linear A : R^2 → R^2 que a representa, A(x, y) = (y, x), ´e sim´etrico, propriedade identificada pela matriz
[A] =
[
]
Pela defini¸c˜ao de operador sim´etrico, temos
g(v, w) = 〈v, A(w)〉 = 〈A(v), w〉 = 〈w, A(v)〉 = g(w, v)
Identificar quando uma forma bilinear ´e sim´etrica examinando o operador que a representa ´e um procedimento geral.
Seja A : Rn^ → Rn^ o operador linear que representa a forma bilinear g. Sendo assim, g ´e sim´etrica se, e somente se, A ´e sim´etrico. Pelas defini¸c˜oes, temos
〈v, A(w)〉 = g(v, w) = g(w, v) = 〈w, A(v)〉.
Como
〈v, A(w)〉 = 〈w, A(v)〉 = 〈A(v), w〉 ,
segue que A ´e um operador sim´etrico, Se¸c˜ao 8. 3. Portanto, g ´e uma forma bilinear sim´etrica se, e somente se, sua matriz [A] ´e sim´etrica.
9 .4 Forma quadr´atica
Uma fun¸c˜ao f : Rn^ → R ´e homogˆenea de grau r se f (λv) = λrf (v), para todo v ∈ Rn^ e λ ∈ R.
Defini¸c˜ao 9. 4. 1 Uma aplica¸c˜ao q : Rn^ → Rn^ ´e uma forma quadr´atica se ex-
iste uma forma bilinear g em Rn^ tal que q(v) = g(v, v).
Preposi¸c˜ao 9. 4 .1 (Representa¸c˜ao de uma forma quadr´atica)
Dada uma forma quadr´atica q em Rn^ existe um operador linear sim´etrico A do Rn tal que q(v) = 〈v, A(v)〉 para todo v ∈ Rn.
Prova Da defini¸c˜ao 9. 4 .1, (p´ag. 226), existe uma forma bilinear sim´etrica g do
Rn^ tal que q(v) = g(v, v). Pelo Teorema 9. 2 .1, (p´ag. 221), existe um ´unico operador linear B do Rn^ que representa g. Logo, q(v) = 〈v, B(v)〉, ∀ v ∈ Rn.
X
Seja o operador linear sim´etrico A = 12 (B + Bt). O operador A ´e sim´etrico, pois
At^ =
(B + Bt)t^ =
(Bt^ + Bt t ) =
(Bt^ + B) = A.
Da defini¸c˜ao de operador transposto, a seguinte identidade ´e v´alida
〈v, B(w)〉 =
Bt(v), w
para quaisquer vetores v, w ∈ Rn, calculando ent˜ao,
〈v, A(v)〉 =
v, 12 (B + Bt)(v)
= 12 〈v, B(v)〉 + 12 〈v, Bt(v)〉
= 12 〈v, B(v)〉 + 12 〈B(v), v〉
= 〈v, B(v)〉
= q(v)
XI
Defini¸c˜ao 11. 1. 2 Uma hip´erbole ´e um conjunto de pontos de E^2 tais que o
m´odulo da diferen¸ca das distˆancias a dois pontos fixos, F 1 e F 2 , chamados de focos, ´e uma constante 2 a menor que a distˆancia 2 c entre os focos.
Considerando a defini¸c˜ao e procedendo de modo an´alogo `a demonstra¸c˜ao da elispe, obtemos a equa¸c˜ao da h´ıp´erbole, que ser´a
x^2 a^2
y^2 b^2
onde c^2 = a^2 + b^2 → b^2 = c^2 − a^2.
Considerando a forma quadr´atica q : R^2 → R,
q(x, y) =
[
x y
]
[ 1
a^2 0 − (^) b^12
] [
x y
]
a hip´erbole ´e o gr´afico da curva de n´ıvel E : q(x, y) = 1. Os autovalores do operador sim´etrico
A : R^2 → R^2 , A(x, y) =
a^2
x, −
b^2
y
s˜ao n˜ao nulos, sendo um positivo e o outro negativo.
Defini¸c˜ao 11. 1. 3 Uma par´abola ´e o conjunto dos pontos do plano Euclidi-
ano E^2 equidistantes de uma reta r, chamado de diretriz, e de um ponto F n˜ao pertencente `a reta, chamada de foco.
Preposi¸c˜ao 11. 1. 3 A equa¸c˜ao da par´abola em E^2 com foco F (c, 0) e reta dire-
triz r : y = −c ´e
4 cy − x 2 = 0
Prova pela defini¸c˜ao, um ponto P (x, y) pertence `a par´abola se, e somente se,
d(P, F ) = d(P, r),
em coordenadas temos que
√ x^2 + (y − c)^2 =
(y + c)^2 ,
o que equivale a
x^2 + y^2 − 2 cy + c^2 = y^2 + 2cy + c^2
XIII
11 .2 Cˆonicas II
Nesta se¸c˜ao ser´a examinado equa¸c˜oes quadr´aticas em duas vari´aveis onde o termo xy tem coeficiente n˜ao nulo.
Seja a equa¸c˜ao
E : 2x^2 − y^2 + 4xy − 1 = 0,
escrevendo de forma matricial, temos
E :
[
x y
]
[
] [
x y
]
Considere a forma quadr´atica q : Rn^ → R, definida me forma matricial por
q(v) = [v]t[A][v],
onde [A] ´e a matriz na base canˆonica do operador linear sim´etrico A : R^2 → R^2 A(x, y = (2x + 2y, 2 x − y).
Para que o termo xy n˜ao apare¸ca, escolhemos eixos coordenados em E^2 cujas dire¸c˜oes s˜ao determinadas pelos autovalores de A.
O polinˆomio caracter´ıstico de A ´e p(λ) = (λ − 3)(λ + 2) e seus autovalores s˜ao λ 1 = 3 e λ 2 = −2. Se β = {v 1 , v 2 } ´e uma base espectral com A(v 1 ) = 3v 1 e A(v 2 ) = − 2 v 2 , pela Proposi¸c˜ao 10. 7 .1, (p´ag. 262), substituindo
[v] = [id]β C [v]β , onde [v]β =
[
x′ y′
]
na equa¸c˜ao (11.3) obtemos
E : [v]β [A]ββ [v]β =
[
x′^ y′^
]
[
] [
x′ y′
]
Fazendo as multiplica¸c˜oes obtemos
E : 3x′^2 − 2 y′^2 =−→ E :
x′^2 ( √^1 3
) 2 −^
x′^2 ( √^1 2
Portanto, o gr´afico da equa¸c˜ao ´e uma hip´erbole no plano Cartesiano.
XIV
que pode ser escrita de forma matricial como
E :
[
x y y
]
x y z
Agora, diagonaliza-se a forma quadr´atica q : Rn^ → R, definida por
q(v) = [v]t[A][v],
em que [A] ´e a matriz na base canˆonica do operador linear sim´etrico A : R^2 → R^2 , A(x, y) = (z, −y, x). Para que os termos mistos desapare¸cam, escolhe-se eixos coordenados de E^3 onde as dire¸c˜oes s˜ao determinadas pelos autovalores de A.
fazendo o c´alculo do polinˆomio de A, obtemos
p(λ) = (λ^2 − 1)(λ + 1).
Logo, os autovalores de A s˜ao λ 1 = 1, λ 2 = −1 e λ 3 = −1. Seja β = {v 1 , v 2 , v 3 } base espectral tal que A(v 1 ) = v 1 , A(v 2 ) = −v 2 e A(v 3 ) = −v 3. Pela Preposi¸c˜ao 10. 7 .1, (p´ag. 262), substituindo
[v] = [id]β C [v]β , onde [v]β =
x′ y′ z′
na equa¸c˜ao 11.6 obtemos
E : [v]β [A]ββ [v]β =
[
x′^ y′^ z′^
]
x′ y′ z′
Fazendo as devidas multiplica¸c˜oes obtemos
E : x′^2 − y′^2 − z′^2 = 1
Portanto, o gr´afico da equa¸c˜ao ´e um hiperbol´oide de duas folhas.
XVI
