Baixe Matemática I - Razões, Proporções e Regra de Três Composta e outras Resumos em PDF para Português (Gramática - Literatura), somente na Docsity!
1 a^ Série Militar – Assunto 4
Abordagem Teórica
1. RAZÃO OU RAZÃO GEOMÉTRICA
Razão ou razão geométrica é a comparação entre dois números por divisão e indica quantas vezes um número contém o outro. Notação: a : b ou a b
Leitura: a está para b Nomenclatura: a é chamado antecedente e b é chamado consequente.
Exemplo: A razão entre o perímetro e o lado de um quadrado qualquer é 4 = 4
, onde é a medida do lado do quadrado.
1.1 Escala
Escala é a razão entre a medida no desenho e a medida real. Exemplo: Uma parede de 2 m na planta de um apartamento mede 2 cm. Qual a escala da planta? Solução:
E d^ 2cm^1 = (^) D = (^) 200cm = 100
1.2 Porcentagem
Porcentagem é uma razão de denominador 100. x% x 100 =
Exemplo: 2 40 40% 5 100 = =
RAZÕES E PROPORÇÕES
Para calcular tantos por cento de um número basta multi- plicar o número pela razão correspondente à porcentagem. Assim, x% de N é igual a x% N x N 100
Exemplo: Calcule 20% de 100. Solução: (^) 20% 100 20 100 20 100
⋅ = ⋅ =
1.3 Velocidade
Velocidade é a razão entre a distância percorrida e o tempo. Exemplo: A velocidade constante para percorrer 240 km em 3 horas é v 240km 80km / h 3h
1.4 Densidade
Densidade é a razão entre a massa e o volume de um corpo. Exemplo: Qual é a densidade de um líquido, sabendo que 100 litros do mesmo têm massa 60 kg? Solução:
d 60kg 0,6kg / 100
= =
2. PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade de duas ou mais razões.
Notação: a^ c^ ou a b c d b d = : :: :
Leitura: a está para b assim como c está para d Nomenclatura: a e d são chamados extremos; b e c são chamados meios.
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1 a^ Série Militar – Assunto 4
2.1 Propriedade Fundamental:
Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Normalmente, refere-se a essa propriedade dizendo que em uma proporção pode-se “multiplicar cruzado”. a c a d b c b d = ⇔ ⋅ = ⋅
2.2 Propriedades:
a c a b c d a b c d e b d a c b d
a c a c a c b d b d b d
a c k a b k e c d k b d
= = ⇔ = ⋅ = ⋅ , onde k é chamado constante de proporcionalidade. Exemplo: Dois números estão na razão 3 para 7 e sua soma é 50. Calcule os números. 1ª Solução: x 3 x y x y 50 x^ 3 5^15 5 y 7 3 7 3 7 10 y^ 7 5^35
+ ^ =^ ⋅^ =
+ =^ ⋅^ =
2ª Solução: x y x^ 3k k x y 10k 50 k 5 3 7 y 7k
^ =
x 3 5 15 y 7 5 35
^ =^ ⋅^ = ⇒ =^ ⋅^ =
3. QUARTA PROPORCIONAL
Quarta proporcional é o quarto termo de uma proporção. A quarta proporcional dos números a, b e c, nessa ordem, é a c bc x b x a
4. TERCEIRA PROPORCIONAL
Terceira proporcional é cada um dos termos desiguais de uma proporção que possui meios ou extremos iguais (proporção contínua). A terceira proporcional de a e b, nessa ordem, é a b b^2 x b x a
O termo igual b é a média proporcional ou geométrica dos termos desiguais.
5. DIVISÃO DE UM SEGMENTO
EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO
(DIVISÃO ÁUREA)
Um ponto P divide internamente um segmento de reta AB segundo uma razão áurea (ϕ) quando a primeira parte está para a segunda parte assim como o segmento todo está para a primeira parte, ou seja, PA^ AB PB PA = = ϕ. O ponto P assim obtido é denominado ponto áureo de AB e o segmento PA , segmento áureo de AB. Note que o segmento áureo (PA) é a média geométrica entre o segmento dado (AB) e o outro segmento aditivo (PB). Sejam AP = a, PB = b, AB = a + b, onde o ponto P divide AB auricamente, temos:
2
PA AB a a b a 1 b PB PA b a b a 1 1 1 0 1 5 2
= = ϕ ⇔ = + = ϕ ⇔ = + = ϕ ⇔
⇔ ϕ = + ⇔ ϕ − ϕ − = ⇔ ϕ = ± ϕ
0 1 5 2 ϕ > ⇒ ϕ =^ +
O retângulo áureo é um retângulo no qual a razão entre o maior lado e o menor lado é igual à razão áurea. Seja um retângulo áureo cujo maior lado possui medida a e o menor lado possui medida b tais que a b = ϕ (^). Se colocarmos esse retângulo adjacente a um quadrado cujo lado mede a, obtemos um retângulo áureo semelhante com lado maior de medida a + b e lado menor de medida a.
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1 a^ Série Militar – Assunto 4
Exemplo: Dividir 235 em três partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. Resolução: Sejam x, y e z as três partes, então x + y + z = 235 e x y z 1 1 1 3 4 5
= = (^). Assim, temos:
x y z x y z 235 1 1 1 1 1 1 47 300 3 4 5 3 4 5 60
= = = = =
x 1300 100 3
= ⋅ = ,^
y 1300 75 4
= ⋅ = e (^) z 1300 60 5
Em alguns problemas temos que dividir um número em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a uma lista de números e inversamente proporcionais a outra. Veja como fazer no exemplo a seguir. Exemplo: (ENCE) Dividindo-se o número 316 em partes diretamente proporcionais a 11; 9 e 7,5 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 18, 12 e 9, respectivamente, a diferença entre a parte maior e a menor é: a) 20 b) 12 c) 88 d) 56 e) 32 Gabarito: E Resolução: As três partes devem ser diretamente proporcionais a 11 1 18
⋅ e (^) 7,5^1 9
Assim,
x 36k 22k 18 x y z 9 11 9 7,5 36k^ y^ 36k^ 27k 12 18 12 9 7, z 36k 30k 9
=^ ⋅^ =
x y z 316 22k 27k 30k 316 79k 316 k 4
A diferença entre a maior e a menor parte é z − x = 30k − 22k = 8k = 8 4⋅ = 32.
10. PROBLEMAS TIPO TORNEIRA
Problemas tipo torneira são aqueles em que são abordadas as relações entre os tempos que cada torneira demora a encher um recipiente e o tempo que elas demorariam para enchê-lo juntas. Para resolver esse tipo de problema, deve-se calcular quanto do recipiente cada torneira enche na unidade de tempo (vazão). A soma
desses valores será o que as torneiras juntas encherão na unidade de tempo. Para finalizar, basta observar que essa soma multiplicada pelo tempo tem como resultado o volume do recipiente. Algumas variações desse problema apresentam um ralo. Nesse caso deve-se subtrair o quanto o ralo esvazia o recipiente na unidade de tempo. Problemas que envolvem trabalhadores realizando deter- minada tarefa simultaneamente também podem ser resolvidos pelo mesmo método. Exemplo 1: Uma torneira sozinha enche um tanque em 2 horas e outra também sozinha enche o mesmo tanque em 3 horas. Quanto tempo as duas torneiras juntas levam para encher o tanque? Resolução: Deve-se observar que em 1 hora a primeira torneira sozinha
enche
do tanque e a segunda
do tanque.
Logo, as duas torneiras juntas, em 1 hora, encherão 1 1 2 3
(^) + do tanque. Assim, temos: 1 1 6 t 1 t 1 h 12min 2 3 5
Exemplo 2: Dois trabalhadores podem fazer um trabalho em 15 e 16 dias, respectivamente, trabalhando sós. Com o auxílio de um terceiro podem fazê-lo em 6 dias. Em quanto tempo o terceiro trabalhador pode fazer o serviço, trabalhando só? Resolução: 1º trabalhador realiza 1 15
do trabalho em 1 dia
2º trabalhador realiza 1 16
do trabalho em 1 dia
3º trabalhador realiza 1 d
do trabalho em 1 dia Se os três trabalhadores estão trabalhando juntos, temos: 1 1 1 1 9 2 6 1 d 26 dia 15 16 d d 240 3
Exemplo 3: Uma torneira aberta só enche um tanque em 5 horas e outra, igualmente só, o enche em 6 horas. Por outro lado um ralo aberto esvazia o mesmo tanque em 10 horas. Estando o tanque, inicialmente, vazio, e abertas as duas torneiras e o ralo, em quanto tempo o tanque estará cheio? Resolução: 1ª torneira enche 1 5
do tanque em 1 hora
2ª torneira enche 1 6
do tanque em 1 hora
Ralo esvazia 1 10
do tanque em 1 hora Se as duas torneiras e o ralo estão abertos, temos:
(^) + − ⋅ = ⇔ = =
(^1 1 1) t 1 t 30 3 horas 45 min 5 6 10 8
(^389389)
1 a^ Série Militar – Assunto 4
11. REGRA DE SOCIEDADE
A divisão dos lucros ou prejuízos em uma sociedade é diretamente proporcional ao capital aplicado e ao tempo que o mesmo permaneceu aplicado. Exemplo: Uma sociedade foi fundada pelos sócios A e B com capitais de R$ 300.000,00 e R$ 150.000,00. Após 6 meses do início foi admitido um novo sócio C com capital de R$ 200.000,00. Sabendo que a sociedade obteve um lucro R$ 110.000,00, após 1 ano de funcionamento, que parcela do lucro coube a cada um dos sócios? Resolução: Sócio A: R$ 300.000,00 por 12 meses Sócio B: R$ 150.000,00 por 12 meses Sócio C: R$ 200.000,00 por 6 meses
Parcela de A: a = 300.000 ⋅ 12 ⋅ k Parcela de B: b = 150.000 ⋅ 12 ⋅ k Parcela de C: c = 200.000 ⋅ 6 ⋅ k
Simplificando os valores, tem-se: Parcela de A: a = 3 2 k'⋅ ⋅ =6k' Parcela de B: (^) b = 1,5 2 k'⋅ ⋅ =3k' Parcela de C: c = 2 1 k'⋅ ⋅ =2k'
Lucro: 6k' + 3k' + 2k' = 110.000 ⇔ k' =10.
Logo, a parcela de A é R$ 60.000,00; a parcela de B é R$ 30.000,00 e a de C é R$ 20.000,00.
12. MISTURAS
Problemas de misturas abordam a relação entre as concentrações dos componentes nas misturas originais e, após sua reunião, as concentrações na mistura resultante.
A fim de resolver esses problemas, basta calcular a massa ou volume de cada um dos componentes nas misturas originais e somá-los para obter a quantidade de cada componente na mistura resultante. Com essa informação, pode-se calcular que percentual cada componente representa na mistura resultante. A seguir, vamos analisar algumas situações exemplificativas. Misturando-se x gramas da substância A com y gramas
da substância B, obtém-se uma mistura com x^ 100% x y
⋅
da
substância A e y^ 100% x y
⋅
da substância B.
Misturando-se P gramas de uma mistura que contém x% da substância A com q gramas de uma mistura que contém y% da
substância A, obtém-se uma nova mistura com p x^ q y % p q
⋅ + ⋅
da
substância A, ou seja, a concentração de A na nova mistura é a média aritmética ponderada das concentrações tendo as massas como pesos.
Isso ocorre porque a primeira mistura contém p x 100
⋅ (^) gramas
de A e a segunda mistura contém q y 100
⋅ gramas de A, portanto
a mistura resultante contém p x^ q y 100
⋅ + ⋅ (^) gramas de A em uma
massa total de ( p + q)gramas.
EXERCÍCIOS NÍVEL 0
Uma firma de engenharia asfaltou uma estrada de 36 km em 14 dias. Quantos dias seriam necessários para a mesma firma asfaltar uma estrada de 54 km?
Suponhamos que eu aplique R$6.000,00 na caderneta de poupança, e, no mesmo dia, meu amigo Daniel aplique R$9.000,00. Se, no fim de um mês, meu saldo for de R$6.048,00, qual será o saldo do Daniel?
Um pequeno edifício tem três andares. Os dois últimos andares têm dois apartamentos cada um: 201 e 301, com 80 m 2 ; e 202, 302 , com 100 m 2. O primeiro andar tem só um apartamento, o 101, com 286 m 2. O gasto mensal com a administração do edifício é de R$4.000,00. Qual deve ser a cota de condomínio de cada um dos cinco apartamentos?
Trabalhando 8 horas por dia, três trabalhadores constroem um muro de 40 m de comprimento em 12 dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para seis e o número de trabalhadores aumentado para cinco, qual é o comprimento de um muro de mesma altura que eles construirão em 15 dias?
Se três torneiras conseguem encher um tanque em 2 horas, quanto tempo demorará para esse tanque encher quando uma das torneiras não for aberta?
Com 5 teares funcionando 6 horas por dia, uma tecelagem fabrica 1.800 m de tecido com 1,20 m de largura em 4 dias. Se um dos teares não puder funcionar e a largura do tecido for de 0,80 m, em quanto tempo a tecelagem fabricará 2.000 m do mesmo tecido, com as máquinas funcionando 8 horas por dia?
Conrado, que estava acima do peso recomendado para a sua idade, fez uma dieta e perdeu 3 kg em 2 meses. Continuando a mesma dieta, quantos quilos ele perderá em 3 meses?
(^391391)
1 a^ Série Militar – Assunto 4
idade da outra é igual a 72 anos, pode-se afirmar que, daqui a 4 anos, a idade da mais nova será: a) 22 anos
b) 24 anos c) 26 anos d) 28 anos
11. (CN)
Um tanque tem duas torneiras para enchê-lo. A primeira tem uma vazão de 6 litros por minuto e, a segunda, de 4 litros por minuto. Se metade do tanque é enchido pela primeira torneira num certo tempo t 1 , e o restante pela segunda em um certo tempo t 2 , qual deveria ser a vazão, em litros, por minuto de uma única torneira para encher completamente o tanque no tempo t 1 + t 2? a) 4, b) 4,
c) 5, d) 5,
e) 5,
12. (CMRJ)
Numa certa escola, onde só há ensino médio e fundamental, o
número de alunos do ensino fundamental é 5 9
do número de
alunos do ensino médio. Em relação ao total de alunos da escola, a fração que representa a quantidade de alunos do ensino médio é:
a) 1 14
b) 3 14
c) 145
d) 9 14 e) 11 14
13. (CMRJ)
Uma firma ganhou uma concorrência para embutir, num prazo de 80 dias, os tubos pelos quais passariam os fios de uma TV a cabo em 14,4 km de calçadas das ruas de um bairro. Para executar essa obra, contratou 18 operários. Se, nas mesmas condições de trabalho, a obra tivesse mais 4,8 km e o prazo fosse dilatado em mais 40 dias em relação às condições iniciais, a firma deveria ter contratado
a) metade do nº de operários. b) mais 6 operários.
c) mais 12 operários. d) menos 2 operários. e) mais 9 operários.
Um objeto, solto do alto de um edifício, leva 5 segundos para atingir o solo. Quanto tempo levaria esse objeto para cair de um prédio três vezes mais alto? Dado: o tempo de queda é proporcional à raiz quadrada da altura.
Um barco com sete pessoas, à deriva no mar, tem suprimento de água suficiente para 28 dias. Após 3 dias, o barco acolhe dois náufragos. Se o consumo diário de água por pessoa se mantiver o mesmo, em mais quantos dias acabará a reserva?
Em um problema de regra de 3 composta entre as variáveis A, B, C e D, sabe-se que, quando os valores de B e C aumentam, o valor de A também aumenta e que, quando o valor de D aumenta, o valor de A diminui. Além disso, para A = 2, B = 40 e C = 80, o valor de D = 360. Calcular o valor de A, para B = 20, C = 40 e D = 30.
a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 72
02. (CMRJ)
Um grupo de pessoas foi dividido em duas metades. Na primeira metade, a razão do número de homens para o de mulheres é de 1 para 2 e, na segunda metade, a razão do número de mulheres para o de homens é de 2 para 3. No grupo todo, a razão do número de mulheres para o de homens é de:
a) 19 para 11 b) 5 para 11 c) 8 para 7 d) 16 para 15 e) 15 para 14
03. (EPCAr) Se x homens, trabalhando x horas por dia durante x dias, produzem x artigos, então o número de dias necessário para que y homens, trabalhando y horas por dia, produzam um número y de artigos é:
a) y^2 x
b) x^2 y
c)
3 2
y
x
d)
2 3
x y
04. (CN)
Os raios das rodas dos carros A, B e C, inscritos em uma corrida, são respectivamente iguais a x, 2x e 3x. Quantos quilômetros, respectivamente, percorrerão os três carros, se desenvolverem uma velocidade de 80 km/h durante 4 horas?
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a) 320, 640 e 960 b) 240, 640 e 960 c) 320, 160 e 80 d) 320, 320 e 320 e) 640, 320 e 160
05. (CN)
Uma bicicleta tem uma roda de 40 cm de raio e a outra de 50 cm de raio. Sabendo que a roda maior dá 120 voltas para fazer certo percurso, quantas voltas dará a roda menor para fazer 80% do mesmo percurso? a) 78, b) 187, c) 120 d) 96 e) 130
06. Sá Bido tem um horário fixo de chegada ao trabalho. Se ele dirigir a uma velocidade de x km/h, chegará um minuto atrasado; por outro lado, se ele dirigir a y km/h, chegará um minuto adiantado. Que distância, em quilômetros, ele dirige até o trabalho?
a) ( )
xy 30 y −x
b)
2xy y −x
c) x y y x
−
d) x^ y 3
e) ( )
x y 60 y x
−
07. (CN)
Os minérios de ferro de duas minas, X e Y, possuem, respecti- vamente, 72% e 58% de ferro. Uma mistura desses dois minérios deu um terceiro minério possuindo 62% de ferro. A razão entre as quantidades do minério da mina X para o da mina Y, nessa mistura, é:
a) 1, b) 1, c) 0, d) 0, e) 0,
08. (CN)
Antônio constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia. Severino constrói 15 cadeiras do mesmo tipo em 8 dias de 2 horas de trabalho por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 horas por dia, produzirão 250 cadeiras em:
a) 15 dias b) 16 dias c) 18 dias d) 20 dias e) 24 dias
09. (EPCAR)
Um terreno de 5.400 m 2 foi dividido em quatro lotes com as seguintes áreas: a 2 , b^2 , c 2 e d 2. Se os valores de a, b, c e d são positivos e, respectivamente, proporcionais a 2, 3, 4 e 5, então o valor de 2a – 3b + 2c – 3d é:
a) – b) – c) 12 d) 120
Duas torneiras despejam água num tanque. Se a primeira estiver aberta durante 7 minutos e a segunda 15 minutos, a quantidade de água despejada será 549 litros. Se, pelo contrário, a primeira estivesse aberta 15 minutos, e a segunda 7 minutos, o volume seria 573 litros. Quanto tempo precisaria cada torneira para encher o tanque, que tem capacidade de 3.240 litros?
a) 120 e 135 min b) 140 e 150 min c) 120 e 100 min d) 110 e 135 min e) 150 e 130 min
As idades de Vilma e Eduardo são proporcionais a 5 e 7, respectivamente. Sabe-se que, há 4 anos, a soma de suas idades era 28 anos. Se, dentro de n anos, suas idades serão proporcionais a n e (n + 1), a idade de Vilma daqui a 2n anos será:
a) 40 b) 30 c) 42 d) 45 e) 21
02. (CN)
Duas estradas de iguais dimensões começam simultaneamente a ser construídas por 15 operários cada uma delas. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno, percebe-se que, enquanto uma turma avançou 2 3 na sua obra, a outra avançou 4 5 da sua. Quantos operários devem ser retirados de uma e colocados na outra para que as duas obras fiquem prontas ao mesmo tempo?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 8 e) 10
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1 a^ Série Militar – Assunto 4
GABARITO
EXERCÍCIOS NÍVEL 0
01. 21 dias. 02. R$9.072,00. 03. R$495,40 para 201 e 301, R$619,20 para 202 e 302 e R$1.770,90 para 101. 04. 62,5 m. 05. 3 horas. 06. 2 dias, 6 horas e 13 minutos. 07. 4,5 kg. 08. Letra C. 09. Letra C. 10. Porque 6, 15 e 21 são proporcionais a 4, 10 e 14.
EXERCÍCIOS NÍVEL 1
02. R$288.000, R$192.000, R$96.000 e R$64.000, respectivamente. 03. 45 kg e 105 kg, respectivamente. 04. 12 pessoas. 05. Letra B. 06. 500. 07. a. 17, 119, 221. b. 110, 330, 440, 770. c. 20, 15, 10. d. 45, 225, 25. 08. R$28.160,00 e R$61.440,00. 09. a. R$512,00, R$320,00 e R$448,00. b. R$320,00, R$800,00 e R$160,00. 10. Letra A. 11. Letra B. 12. Letra D. 13. Letra D. 14. 8,66 segundos. 15. 19,44 dias.
EXERCÍCIOS NÍVEL 2
01. Letra A. 02. Letra C. 03. Letra B. 04. Letra D. 05. Letra C. 06. Letra A. 07. Letra E. 08. Letra B. 09. Letra A. 10. Letra A.
EXERCÍCIOS NÍVEL 3
01. Letra E. 02. Letra C. 03. Letra B. 04. Letra C
NOTAS
