Resumo de Geometria, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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GEOMETRIA

ESPACIAL

MÓDULO 15 | GEOMETRIA ESPACIAL

PRISMAS

Prismas são os poliedros convexos em que:

I – duas faces congruentes chamadas bases estão contidas em planos paralelos distintos.

II – as demais faces, chamadas faces laterais, são paralelogramos determinados por dois lados corre- spondentes nas duas bases e dois lados comuns às outras duas faces.

ELEMENTOS DO PRISMA

Quando as bases de um prisma reto são polígonos regulares, ele é chamado de prisma regular.

Os prismas são classificados de acordo com o nº de arestas de uma das bases.

PRISMA TRIANGULAR REGULAR

A base é um triângulo equilátero.

PRISMA QUADRANGULAR REGULAR

A base é quadrado.

PRISMA HEXAGONAL REGULAR

A base é hexágono regular.

EM TODO PRISMA REGULAR, AS FACES SÃO

RETÂNGULOS CONGRUENTES ENTRE SI.

ÁREAS E VOLUMES

Dado um prisma qualquer, definimos: Ab = Área da base do prisma Al = Área lateral do prisma At = Área total do prisma

GEOMETRIA

ESPACIAL

CILINDRO RETO

Todo cilindro reto tem a medida da geratriz igual à medida da altura. Esta é perpendicular aos planos das bases. O cilindro reto pode ser obtido giran- do-se uma região retangular (360°) em torno de uma reta que contém um de seus lados. Por isso, ele também é conhecido como cilindro de revolução.

SEÇÃO MERIDIANA

Seção meridiana de um cilindro circular reto é a interseção deste com um plano que contém o eixo. A seção meridiana de um cilindro reto é um retângulo.

Se a seção meridiana de um cilindro circular reto resultar em um quadrado, esse cilindro será equilátero. Em todo cilindro equilátero, a altura é igual ao dobro do raio da base.

h = 2r

PLANIFICAÇÃO DO CILINDRO

Ao fazermos um corte sobre uma das geratrizes do cilindro, podemos desenvolvê-lo e planificá-lo.

ÁREAS E VOLUMES

SÓLIDO DE REVOLUÇÃO 2

CONE CIRCULAR

É um sólido formado pela reunião de todos os segmentos que ligam cada ponto de uma região circular (base) a um ponto V (vértice).

ELEMENTOS DO CONE

Geratriz – é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra no círculo que envolve a base Altura – É a distância do vértice do cone até o plano da base Raio da base – É qualquer segmento que tenha uma extremidade no centro do círculo da base e outra na circunferência da base. Vértice – É um ponto não pertencente ao plano da base do cone.

CLASSIFICAÇÃO

Os cones classificam-se em retos ou oblíquos.

Cone Reto – Um cone circular é reto quando uma reta que passa pelo seu vértice é perpendicular a base. O cone reto pode ser obtido girando um triân- gulo retângulo em torno de ou de seus catetos. Por isso, ele também é conhecido como cone de revolução. Em todo cone circular reto podemos estabelecer a seguinte relação: g^2 = r^2 + h^2

SEÇÃO MERIDIANA

Seção meridiana de um cone circular reto é a interseção dele com um plano que contém o eixo. A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles.

Um cone circular reto cuja seção meridiana é um triângulo equilátero denomina-se cone equilátero. Em todo cone equilátero, a geratriz é igual ao dobro do raio da base.

g = 2r

PLANIFICAÇÃO DO CONE

ÁREAS E VOLUME

TRONCO E CONE

O seccionar o cone original por um plano paralelo a base, determinamos dois sólidos. Um cone menor de mesmo vértice V e um tronco de cone.

O volume do tronco é a diferença entre os volumes do cone inicial (V) e o volume do cone obtido pela secção transversal (v).,

PIRÂMIDE

Pirâmide é um poliedro onde as faces laterais, unidas por um vértice, são todas triangulares e a base é um polígono.

ELEMENTOS DA PIRÂMIDE

Apótema da base – Segmento que liga o centro geométrico do polígono regular da base e o ponto médio de um dos lados desse polígono. O apótema é perpendicular ao lado. Apótema lateral ou apótema da pirâmide – Altura de um dos triângulos que compõe a superfície lateral da pirâmide regular. Altura – É a distância do vértice da pirâmide até o plano da base. Aresta lateral – Segmento comum a dois triângulos consecutivos que compõe a superfície lateral. Aresta da base – Lado do polígono da base. Vértice – É um ponto não pertencente ao plano da base da pirâmide.

As pirâmides são classificadas de acordo com o número de arestas da base.

ESFERA

Esfera é um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua, cujos pontos estão equi- distantes de um outro ponto, chamado centro.

1. (PUC RS/2013) Um desafio matemático construído pelos alunos do Curso de Matemática tem as peças no formato de um cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas. A área dessa peça é de ______ cm^2.

a) 10π

b) 16 π

c) 20 π

d) 28 π

e) 40 π

2. (UNIFRA INV/2003) Um cone regular reto tem raio da base igual a e a altura igual ao valor da diag- onal de um cubo cuja área total é 144 m², então o volume, em metros cúbicos, desse cone é

a) 18√3π

b) 18√2π

c) 36√2π

d) 36π

e) 18π

3. (IMED/2015) Após a limpeza de um aquário, que tem o formato de um paralelepípedo, com dimensões internas de 1,20 m de comprimento, 1 m de largura e 50 cm de profundidade, consta- tou-se que o nível da água atingiu 80% de sua altura

máxima. Nessa situação, a quantidade de água que falta para encher completamente o aquário, em litros, corresponde a: a) 80. b) 100. c) 120. d) 240. e) 480.

4. (UCS INV/2015) Aumentando-se a medida "a" da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular em 30% e diminuindo-se sua altura "h" em 30% , qual será a variação aproximada no volume da pirâmide? a) Aumentará 18%. b) Aumentará 30%. c) Diminuirá 18%. d) Diminuirá 30%. e) Não haverá variação.
5. (UNISC INV/2015) Um reservatório cúbico de 60 cm de profundidade, está com 1/3 de água e precisa ser totalmente esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de a) 7,2 litros. b) 72 litros. c) 21,6 litros. d) 216 litros. e) 25 litros.

EXERCÍCIOS

MÓDULO 15 | GEOMETRIA ESPACIAL

12. (UCS INV/2013) De uma caixa d'água de forma cúbica, cujas arestas medem 0,9 metros e que contém água até a altura de 0,7 metros, devem ser retirados 162 litros de água.

Com essa retirada, a altura do nível de água irá baixar ________, restando ________ de água na caixa.

Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente as lacunas acima. (dado 1 litro = 1 dm³)

a) 20 cm e 405 litros

b) 20 cm e 567 litros

c) 2 cm e 405 litros

d) 30 cm e 567 litros

e) 3 cm e 405 litros

13. (UCS/2012) A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 40 cm de diâmetro, durante uma chuva torrencial, e depois colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 24 πcm. Qual e a altura que a água havia alcançado no pluviômetro, se no recipiente ela alcançou 200 mm de altura?

a) 1,2 cm

b) 12 cm

c) 3,6 cm

d) 7,2 cm

e) 72 cm

14. (UPF/2009) Um cone reto é obtido pela rotação, em torno do maior cateto, do triângulo retângulo cujos catetos medem 5cm e 12 cm. A área total do referido cone, em π cm^2 , é:

a) 165

b) 169

c) 90

d) 85

e) 60

15. (UERJ INV/2013) Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano a de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração:

Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a a) 10 b) 9 c) 8 d) 7

16. (PEIES/2008) Considere um cilindro circular reto cuja altura é o dobro do diâmetro da base e um prisma reto de base quadrada cuja altura é o dobro do lado da base. Para um mesmo volume, a razão entre a superfície total do cilindro e a super- fície total do prisma é igual a: a)1/

b) (^34)

ð

c) 4

ð

d)

3 3

ð

e) 2

17. (PUC RS/2012) A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Quer-se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo.

A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 20 cm necessárias para fazer esse telhado é

a) 10^4

b) 10 5

c) 5.10^3

d) 5.10^4

e) 25.10^4

18. (UPF INV/2014) As quatro faces do tetraedro ABCD são triângulos equiláteros. M é o ponto médio da aresta AB:

O triângulo MCD é:

a) escaleno.

b) retângulo em C

c) equilátero.

d) obtusângulo.

e) estritamente isósceles.

19. (PUC RS/2008) No cubo representado na figura. A área do triângulo ABC é

a) 4√

b) 8√

c) 4√

d) 8

20. (UFCSPA/2009) Os pontos M, N, O, P, Q e R são pontos médios das arestas a que pertencem, no cubo. A ligação desses pontos forma o hexágono MNOPQR, conforme mostra a figura abaixo: Sabendo que a área total do cubo é igual a 216 cm 2 , qual é a área do hexágono MNOPQR?

a) 54√2 cm b) 9 √3cm c) 108√3 cm d) 18√2 cm e) 27√3 cm

21. (UFSM) Na figura, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 4(1 +√2 )cm. Então o volume do cubo em cm^3 , é

a) 4(1 +√2). b) 8. c) 16. d) 64. e) 2√3.

22. (UFRGS/2016) Se um jarro com capacidade para 2 litros está completamente cheio de água, a menor medida inteira, em cm, que o raio de uma bacia com a forma semiesférica deve ter para comportar toda a água do jarro é a) 8. b) 10. c) 12.

a) VB = 2VA

b) VB = 4VA

c) VA = 4VB

d) VA = 2VB

e) VA = VB

29. (UFSM/2009) Para o armazenamento do mate- rial reciclável, foram utilizados recipientes dispostos no interior de uma escola, sendo um deles formado por metade de um cilindro circular reto e por um paralelepípedo retângulo, conforme a figura. A capacidade desse recipiente, em m^3 , é de

a) 1/25(10+ π)

b) 2/25(10+ π)

c) 4/25(5+ π)

d) 1/50(40+ π)

e) 1/25(20+ π)

30. (UNIOESTE/2011) Uma ponte será construída sobre um rio, apoiada sobre dois pilares em forma de arco de circunferência. A estrutura da ponte será feita em ferro e concreto. A figura abaixo mostra a visão lateral do esquema da ponte. Qualquer secção da ponte paralela a esta visão lateral possui as mesmas medidas. Sabendo-se que a largura da ponte será de 5 metros, então qual deve ser o volume de concreto e ferro a ser utilizado nesta construção? (Considere π = 3,14)

a) 100 m³. b) 651,3 m³. c) 412,9 m³. d) 198,8 m³. e) 250 m³.

31. (UFRGS/2016) Considere ABCDEFGH um para- lelepípedo reto retângulo conforme representado na figura abaixo. Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, o volume do sólido ACDH é

a) 10. b) 20. c) 30. d) 60. e) 90.

32. (UNIR) Um lápis com a forma de um cilindro circular reto tem 8 mm de diâmetro e 16 cm de comprimento. O grafite, com a mesma forma cilín- drica, tem 3 mm de diâmetro, conforme mostra a figura ao lado. O volume de madeira usada na fabri- cação do lápis é, em centímetros cúbicos, é igual a:

a) 1,2π

b) π

c) 2,5 π

d) 2,2 π

e) 3,2 π

33. (UPF/2013) Um caminhão transporta cinco tubos de PVC iguais, como se mostra na figura. Os tubos têm a forma cilíndrica com 1m de diâmetro. A altura da carga em metros é:

a) 1+√3/

b) 2+√3/

c) 2

d) √3/

e) √

34. (UFRGS/2014) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um sólido sombreado com as alturas indicadas no desenho.

O volume do sólido sombreado é

a) 300.

b) 350.

c) 500.

d) 600.

e) 700.

35. (UFRGS/2014) Na figura abaixo, encontra-se representada a planificação de um sólido de base quadrada cujas medidas estão indicadas.

O volume desse sólido é a) 144. b) 180. c) 216. d) 288. e) 360.

36. (PEIES/2005) Um cilindro circular reto tem área de base 64π cm^2 e altura 10√3 cm. Nesse cilindro, é inscrito um prisma regular hexagonal. Uma das bases desse prisma será também a base de uma pirâmide regular hexagonal que tem a mesma altura do prisma. O volume da região externa à pirâmide e interna ao prisma, em cm^3 , é a) 640 b) 1440 c) 1920 d) 2560 e) 2880
37. (UFSM) Uma pirâmide tem altura H. A que distância do vértice deve-se passar um plano para- lelo à base, para dividi-la em duas partes de mesmo volume? a) H/^3 √ b) 3 √2/ c) 3√H d) H/ e) H/

O volume desse sólido é

a) 64.

b) 128.

c) 256.

d) 512

e) 1024

45. (PUC RS/2015) Uma casquinha de sorvete na forma de cone foi colocada em um suporte com formato de um cilindro, cujo raio da base e a altura medem a cm, conforme a figura. O volume da parte da casquinha que está no interior do cilindro, em cm³, é

a) πa²/

b) πa²/

c) πa3/

d) πa3/

e) πa3/

46. (ENEM/2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.

Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em

a) 14,4% b) 20,0% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0%

47. (UFSM/2012) Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influ- entes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria. Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, as quais são aproximadas por semicír- culos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta e suficiente para pintar 39 m^2 de área, qual a quan- tidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use π = 3) a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60.
48. (UFRGS/2015) Considere a planificação do sólido formado por duas faces quadradas e por quatro trapézios congruentes, conforme medidas indicadas na figura representada abaixo.

O volume desse sólido é: a) 16√2/ b) 28√ c) 8√ d) 16√ e) 20√

49. (UNIFRA/2013) O professor de Educação Física de uma escola encomendou embalagens cilíndricas, de camurça, para armazenar, uma sobre a outra, sem folga, 3 bolas de basquete em cada uma. Sabendo que cada bola de basquete tem 40 cm de diâmetro e que as embalagens terão tampa e fundo do mesmo material, a quantidade de camurça para fabricar cada uma será de, aproximadamente,

a) 0,75 m^2.

b) 1,52 m^2.

c) 1,76 m².

d) 2,56 m².

e) 3,82 m².

50. (UNIJUÍ RS) Para poder distribuir a substância que encheu um recipiente de forma cilíndrica em recipientes em forma de cone, cujo raio e altura coin- cidem com as medidas do raio e altura do cilindro, e que nos recipientes em forma de cone a altura do líquido atinja só a metade da altura, quantos recipientes em forma de cone são necessários? Veja disposição dos recipientes na figura abaixo:

a) 8

b) 6

c) 4

d) 24

e) 2

51. (UFSM/2011) Um fabricante decidiu produzir luminárias no formato de uma semiesfera com raio de 20 cm. A parte interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte externa da luminária receberá uma pintura convencional que custa R$ 10,00 o metro quadrado. Desconsiderando

a espessura da luminária e adotando o valor de π = 3,14, o custo, em reais, da pintura de cada luminária é a) 3, b) 6, c) 12, d) 18, e) 25,

52. (UPF/2009) Um cone reto é obtido pela rotação, em torno do maior cateto, do triângulo retângulo cujos catetos medem 5cm e 12 cm. A área total do referido cone, em π cm^2 , é: a) 165 b) 169 c) 90 d) 85 e) 60
53. (UFSM/2016) O “Pequeno Principe”, de Antoine de Saint-Exupery, e uma das obras literarias mais famosas no mundo. Em um dos trechos dessa obra, o Pequeno Principe relata que, no asteroide B612, de onde ele vem, pode-se apreciar o por do sol quantas vezes desejar, bastando para isso deslocar sua cadeira. Suponha que o B612 seja uma esfera, que o Pequeno Príncipe desloque sua cadeira através de um equador 15,7 centímetros a cada por do sol e que após 40 pores do sol ele tenha dado uma volta completa. Qual é o volume, aproximadamente, em m3, do asteroide B612? (Use π = 3,14) a) 3, b) 4, c) 12, d) 33, e) 65,