Resumo de Geometria Espacial, Notas de aula de Geometria

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Autor - Lucas Octavio de Souza

(Jeca)

Geometria de Posição

e

Geometria Espacial Métrica

Resumo teórico e exercícios.

3º Colegial / Curso Extensivo.

Relação das aulas.

Aula 01 - Conceitos fundamentais de Geometria de Posição ...........

Aula 02 - Poliedros convexos ............................................................

Aula 03 - Prismas ...............................................................................

Aula 04 - Pirâmides ............................................................................

Aula 05 - Cilindro de revolução ..........................................................

Aula 06 - Cone de revolução .............................................................

Aula 07 - Esferas ...............................................................................

Aula 08 - Sólidos semelhantes ..........................................................

Aula 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos ....................

Página

Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.

Considerações gerais.

Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como

objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de

curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito

menos, perfeita.

Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material,

desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o

material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação

me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.

Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me

comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.

Meu e-mail - [email protected]

Um abraço.

Jeca

(Lucas Octavio de Souza)

Edição de 2014

Os exercícios cujos números estão realçados com um círculo representam os

exercícios que considero necessários à compreensão de cada aula. Nada impede

que mais, ou outros exercícios sejam feitos, a critério do professor.

4b) Ponto - reta. As posições relativas que um ponto e uma reta podem assumir são : I - O ponto está contido na reta.

II - O ponto está fora da reta.

4c) Ponto - plano. As posições relativas que um ponto e um plano podem assumir são :

I - O ponto está contido no plano.

II - O ponto está fora do plano.

4d) Reta - reta.

1) Retas coplanares. Duas retas são ditas coplanares se existe um plano que as contém.

As posições relativas que duas retas coplanares podem assumir são :

I - Duas retas paralelas coincidentes.

II - Duas retas paralelas distintas.

III - Duas retas concorrentes.

a

r

s

P

r s

a r^ s = r (ou s)

r s = P

a r^ s =

r

s O

s’

P

a P’^ r^ s =

r

s

O

a^ r^ a^ = r

r

r’

a^ r^ a^ =

r

O

r

P r a = P

a

P é chamado de “traço de r em a ”.

III - A reta é secante ou concorrente com o plano.

Retas perpendiculares. (caso particular de retas concorrentes) Duas retas concorrentes são ditas perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no plano)

2) Retas reversas (ou não coplanares) Duas retas são ditas reversas ou não coplanares se não existe um plano que as contém.

Retas ortogonais. (caso particular de retas reversas) Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem entre si ângulos de 90º. (no espaço)

4e) Reta - plano.

As posições relativas que uma reta e um plano podem assumir são : I - A reta está contida no plano.

II - A reta é paralela ao plano.

P (^) r (^) P r = P

O

P r P r =

a

P P a = P

a

P

P’ P a = O

(GeoJeca)

Projeções ortogonais (”Sombra”)

P

A

B

C

r

s

t

A - Projeção ortogonal de P em r. B - Projeção ortogonal de P em s. C - Projeção ortogonal de P em t.

A B

A’ B’

C

D

C’ D’

E

F

E’ = F’

r

Projeções ortogonais em r.

Ângulo.

Distância entre duas retas reversas. A distância entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem extremidades nas duas retas e que é simultaneamente perpendicular a essas retas.

r s

d

Distância.

Ângulo entre reta e plano. É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogo- nal da reta sobre o plano.

q

P

P’

Ângulo entre dois planos. É o ângulo formado por duas retas, uma de cada pla- no, perpendiculares à intersecção dos dois planos num mesmo ponto.

q

Intersecção

Determina Existe e é único

Onde se lê Entende-se

Existe um Um único Coincidentes Distintos (^) Têm pelo menos um ponto diferente.

Têm todos os pontos em comum.

Um e somente um.

Existe pelo menos um.

Concorrentes Se cruzam. Colineares Existe uma reta que os contém. Coplanares Existe um plano que os contém. Reversos (^) Não existe um plano que os contém.

Reta perpendicular ao plano. (caso particular de reta secante ao plano)

Teorema. Uma reta é perpendicular a um plano se é perpen- dicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano.

4f) Plano - plano. As posições relativas que dois planos podem assumir são : I - Dois planos paralelos coincidentes.

II - Dois planos paralelos distintos.

III - Dois planos secantes (ou concorrentes)

Planos perpendiculares. (caso particular de planos secantes ou concorrentes)

Teorema. Dois planos são perpendiculares entre si se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.

t

a s

r

b

a b = a (ou b)

a

b a b =

a

O

a a b = r

b r

t

a

b

(GeoJeca)

Se uma reta é paralela a dois planos se- cantes, então ela é paralela à interseção des- ses planos. Se dois planos distintos são paralelos, en- tão toda reta paralela a um deles é paralela ao outro. Se dois planos distintos são paralelos a um terceiro, então são paralelos entre si. Se uma reta é perpendicular a um plano, en- tão ela é perpendicular a uma reta do plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, en- tão ela é perpendicular a todas as retas desse plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, en- tão ela é perpendicular a infinitas retas desse plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, en- tão ela é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do plano. Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas desse plano. Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas concorrentes des- se plano. Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é perpen- dicular ao plano. Por um ponto dado pode-se conduzir uma única reta perpendicular a um plano dado. Dois planos perpendiculares a um terceiro, podem ser perpendiculares entre si. Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então são paralelos entre si. Se uma reta é ortogonal a duas retas para- lelas distintas, então ela é paralela ao plano que as contém. Se uma reta é perpendicular a um plano, en- tão toda reta perpendicular a ela é paralela ao plano. Se uma reta é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. Dadas duas retas reversas, existe um plano que contém uma e é perpendicular à outra. As intersecções de dois planos paralelos com um terceiro plano, são retas paralelas. Se um plano contém duas retas concorrentes e ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos entre si. A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto. A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta. A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é um ponto ou uma reta. A projeção ortogonal de um quadrilátero pla- no sobre um plano é um quadrilátero. A projeção ortogonal de um plano sobre outro plano é um plano ou uma reta.

21 - F

22 - V

23 - V

24 - F

25 - V

26 - F

27 - F

28 - F

29 - V

30 - V

31 - V

32 - F

33 - V

34 - V

35 - V

36 - F

37 - F

38 - F

39 - F

40 - F

01 - V

02 - V

03 - V

04 - V

05 - F

06 - F

07 - V

08 - V

09 - V

10 - V

11 - F

12 - V

13 - F

14 - V

15 - V

16 - F

17 - V

18 - V

19 - V

20 - F

41 - V

42 - V

43 - F

44 - F

45 - V

46 - V

47 - V

48 - F

49 - V

50 - F

51 - V

52 - F

53 - V

54 - F

55 - F

56 - V

57 - F

58 - F

59 - F

60 - F

61 - V

62 - V

63 - F

64 - V

65 - F

66 - F

67 - V

68 - F

69 - V

70 - F

71 - V

72 - V

73 - F

74 - V

75 - V

76 - F

77 - V

78 - F

79 - V

80 - V

81 - V

82 - F

83 - F

84 - F

85 - F

86 - V

87 - V

88 - V

89 - F

90 - V

91 - F

92 - V

GABARITO

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP)

Geometria de Posição

Aula 01

Exercícios complementares.

(Geometria de Posição)

1. (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice : a) A b) B c) C d) D e) E

A

B

C

D E

G

3. (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é: a) 6 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

A

B

C

D

cumeeira

t

s

v

r

u

3 m

4 m

4 m

2. (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.

Das retas assinaladas, podemos afirmar que: a) t e u são reversas. b) s e u são reversas. c) t e u são concorrentes. d) s e r são concorrentes. e) t e u são perpendiculares.

4. (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB é perpendicular ao plano a, CD e BC estão contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC. Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis- tância de A a D. A

C B

a D

5. (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano." Na figura abaixo, determine a medida da projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano a.

6. (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano a definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a a em A, com A c, o ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X a, então a reta s, definida por X e B:

C

C

a) é paralela à reta c. b) é paralela à reta b c) está contida no plano a. d) é perpendicular à reta d. e) é perpendicular à reta b.

a

b

A

d c B

a e p são planos secantes A p e B t AB t e BC t AB = 10 cm

CT^ C^ T

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

60º

p

a

t

A

B C

(GeoJeca)

x

y

z s

t

r

7. (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en- treaberta e o canto de uma sala:

As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, as posições relativas: a) paralelas, paralelas e perpendiculares. b) paralelas, perpendiculares e reversas. c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares. d) reversas, paralelas e perpendiculares. e) perpendiculares, reversas e paralelas.

09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não

se pode afirmar: a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor- rentes de um plano, então é perpendicular a esse plano. b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que sejam perpendiculares duas a duas. c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem infinitas retas desse plano perpendiculares a ela. d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas. e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos passar um e apenas um plano perpendicular à reta e passando pelo ponto.

10. (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida no plano a. A reta s, perpendicular a a, o intercep- ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a: a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5

11. (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12. (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana- res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân- gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas: a) EA e EB b) EC e CA c) EB e BA d) EA e AC e) AC e BE

13. (Fuvest-SP) São dados um plano a, uma reta r contida em a e uma reta s perpendicular a r, mas não a a. Demonstre que a projeção ortogonal de s sobre a é perpendicular a r.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

x

y

z s

t

r

7. (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en- treaberta e o canto de uma sala:

As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, as posições relativas: a) paralelas, paralelas e perpendiculares. b) paralelas, perpendiculares e reversas. c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares. d) reversas, paralelas e perpendiculares. e) perpendiculares, reversas e paralelas.

09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não

se pode afirmar: a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor- rentes de um plano, então é perpendicular a esse plano. b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que sejam perpendiculares duas a duas. c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem infinitas retas desse plano perpendiculares a ela. d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas. e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos passar um e apenas um plano perpendicular à reta e passando pelo ponto.

10. (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida no plano a. A reta s, perpendicular a a, o intercep- ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a: a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5

11. (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12. (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana- res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân- gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas: a) EA e EB b) EC e CA c) EB e BA d) EA e AC e) AC e BE

13. (Fuvest-SP) São dados um plano a, uma reta r contida em a e uma reta s perpendicular a r, mas não a a. Demonstre que a projeção ortogonal de s sobre a é perpendicular a r.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

r e s são paraleas s e t são perpendiculares x e r são reversas

(resp. b)

a

r

s A

A' B

r é perpendicular a s (do enunciado). AA' é perpendicular a a porque é a projeção ortogonal. A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas con- correntes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendi- cular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no plano AA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)

a) V b) F c) V d) V e) V

r s

t É possível passar 3 retas per- pendiculares entre si num mesmo ponto.

cubo

r

s

B

C

A a D

d

x

BC = 2 5 cm AD = 5 cm (proj. ortogonal) BD = 6 cm

x^2 = 5^2 + 6^2 x^2 = 61 x = 61 cm

d^2 = (2 5 )^2 + x^2 2 d = 20 + 61 = 81 d = 9 cm (resp. b)

V

A (^) B

C VAC e VAB são retos pois VA é perpendicular ao plano ABC. ACB é reto porque ACB é um triângulo inscrito numa semicircun- ferência. VCB é reto porque BC é perpendicular ao plano ACV. (BC é perpendicular a AC e BC é ortogonal a AV) Teorema - Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendi- cular ou ortoggonal a duas retas concorrentes desse plano.

A

C B

D

E

São perpendiculares as retas EA e AC. (resp. d)

A reta EA é perpendicular ao plano ABCD porque é perpendi- cular às retas AD e AB, que pertencem a ABCD. Portanto a reta EA é perpendicular a qualquer reta de ABCD que passe por A. resp. e)

13. (Fuvest-SP) São dados um plano p, um ponto P do mesmo e uma reta r oblíqua a p que o fura num ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta por P, contida em p, e ortogonal a r.

14. (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição verdadeira. a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela é perpendicular a todas as retas do plano. b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei- ro são paralelos entre si. c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é sempre uma reta. d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano. e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a três planos paralelos, são paralelas.

15. (FEI-SP) Assinale a proposição falsa. a) Por uma reta perpendicular a um plano a passa pelo menos um plano perpendicular a a. b) A projeção ortogonal sobre um plano a de um segmento oblíquo a a é menor do que o segmento. c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de um plano a é perpendicular ao plano a. d) Um plano perpendicular à dois planos concorren- tes é perpendicular à intersecção deles. e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma ter- ceira reta são paralelas.

16. (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verda- deira? a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano. b) Um ponto e uma reta determinam um plano. c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único. d) Se uma reta é paralela a um plano e não está con- tida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano. e) Se a é o plano determinado por duas retas con- correntes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s.

17. (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no espaço. Analise as seguintes afirmações: ( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano que as contém. ( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, então r é paralela a s. ( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então existe um plano que as contém. ( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e s são reversas.

Considerando V para sentença verdadeira e F para sentença falsa, a sequência correta que classi- fica essas afirmações é: a) V, V, V, V. b) F, V, V, F. c) V, F, F, V. d) V, V, F, F.

U

16. (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verda- deira? a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes. b) Duas retas não coplanares são reversas. c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então elas são paralelas. d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém. e) Se três retas distintas são duas a duas concorren- tes, então elas determinam um e um só plano.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Demonstração r A

B

C A'^ B' p P

Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro- jeções ortogonais sobre o plano p. A reta de p ortogonal a r é a única reta de p que passa por P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única. (CQD)

a) F b) F c) F d) F e) V r

s m

m // r

a

V

F

F

V

resp. c)

Resp. b)

Reversa é sinônimo de não coplanar.

Duas retas são reversas se não existe um plano que as contém.

a) F b) F c) F d) F e) V

a) V b) V c) V d) V e) F

r

s

t

cubo

A reta r é perpendicular à reta s. A reta r é perpendicular à reta t. As retas s e t não são paralelas entre si.

resp. e)

resp. e)

A (^) B

D C

E (^) F

H G

19. A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces como planos, responda as solicitações abaixo.

Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando- se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição.

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB. Resp.

b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH. Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH. Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AD. Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano EAB. Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano EHG. Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ADC. Resp.

h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e EH? Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o plano ABF? Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano FGH? Resp.

k) Determine todas as arestas do cubo que são perpendiculares à reta BC. Resp.

l) Determine todas as arestas do cubo que são or- togonais à reta EF. Resp.

m) Determine todas as arestas do cubo que são concorrentes com a reta DH. Resp.

n) Determine todas as arestas do cubo que são pa- ralelas ao plano BCG. Resp.

o) Determine todas as arestas do cubo que são pa- ralelas ao plano BDH. Resp.

p) Determine todas as faces do cubo que são para- lelas à aresta CG. Resp.

q) Determine todas as faces do cubo que são per- pendiculares à face AEF. Resp.

r) Determine todos os vértices do cubo que não es- tão contidos no plano FGH. Resp.

s) Determine todas as arestas do cubo que são pa- ralelas distintas à aresta AB. Resp.

t) Determine todos os vértices do cubo que não es- tão contidos no plano EGD. Resp.

(GeoJeca)

A B

D C

E (^) F

G

H

R

S T

U

20. A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan- gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti- vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices desse paralelepípedo, determinar o que se pede em cada questão a seguir :

a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis- tintas à aresta AD? Resp.

b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF? Resp.

c) O que é e qual é a intersecção entre os planos ADB e EFH? Resp.

d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH? Resp.

e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu- lares à aresta EF? Resp.

f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à aresta DC? Resp.

g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula- res ao plano AEH? Resp.

h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC? Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre os planos CGH e BFH? Resp.

j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF? Resp.

l) Qual a distância entre os pontos S e R? Resp.

m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao plano BCG? Resp

n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao plano CDH? Resp.

o) Qual a tangente do ângulo formado entre os planos ABF e BFH? Resp.

p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e EG? Resp.

q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm do vértice E? Resp

r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice D? Resp.

s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à reta FC? Resp.

t) O que é e qual é a intersecção entre os planos AHG e DEF? Resp.

u) Qual a medida da soma dos comprimentos de todas as arestas do paralelepípedo? Resp.

(GeoJeca)

A B

D C

E (^) F

G

H

R

S T

U

20. A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan- gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti- vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices desse paralelepípedo, determinar o que se pede em cada questão a seguir :

a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis- tintas à aresta AD? Resp.

b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF? Resp.

c) O que é e qual é a intersecção entre os planos ADB e EFH? Resp.

d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH? Resp.

e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu- lares à aresta EF? Resp.

f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à aresta DC? Resp.

g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula- res ao plano AEH? Resp.

h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC? Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre os planos CGH e BFH? Resp.

j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF? Resp.

l) Qual a distância entre os pontos S e R? Resp.

m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao plano BCG? Resp

n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao plano CDH? Resp.

o) Qual a tangente do ângulo formado entre os planos ABF e BFH? Resp.

p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e EG? Resp.

q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm do vértice E? Resp

r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice D? Resp.

s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à reta FC? Resp.

t) O que é e qual é a intersecção entre os planos AHG e DEF? Resp.

u) Qual a medida da soma dos comprimentos de todas as arestas do paralelepípedo? Resp.

(GeoJeca)

EH , FG e BC

São retas reversas e ortogonais.

É um conjunto vazio. Não existe intersecção.

d = 4 cm

AE , EH , BF e FG

ABCD , DCGH , EFGH e ABFE

d = 6 cm

É uma reta. A reta DH.

São retas reversas.

AE , EH , BF e FG

2 2 2 d = 4 + 5 = 41 d = 41 cm

AD , DH , HE e AE

ABFE

tg q = 8 / 10 = 4 / 5

É um ponto. O ponto U.

F e D

ABCD , HGCD e AEHD

AB e HG

É uma reta. A reta RT.

S = 4. 6 + 4. 8 + 4. 10 = 24 + 32 + 40 S = 96 cm

Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando- se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição.

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB. Resp.

b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ. Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE. Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AF. Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano GMA. Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano JLE. Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ABH. Resp.

h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e GM? Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o plano HIB? Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano CDJ? Resp.

k) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta AG. Resp.

l) Determine todas as retas do prisma que são or- togonais à reta EF. Resp.

m) Determine todas as retas do prisma que são con- correntes com a reta CD. Resp.

n) Determine todas as retas do prisma que são para- lelas ao plano BCE. Resp.

o) Determine todas as retas do prisma que são pa- ralelas ao plano BCH. Resp.

p) Determine todas as faces do prisma que são pa- ralelas à reta DJ. Resp.

q) Determine todas as faces do prisma que são per- pendiculares à face AEF. Resp.

r) Determine todos os vértices do prisma que não estão contidos no plano JLD. Resp.

s) Determine todas as retas do prisma que são per- pendiculares à reta AB. Resp.

t) Determine todas as retas do prisma contidas no plano GMA. Resp.

A B C (^) D

E

F

A

B

C D

E

F

G H I J

L

M

figura 01

figura 02

21. A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas como retas e as faces como planos, responda as solicitações abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém nenhuma aresta.

(GeoJeca)

DE , JL ou GH

JL , JI , ED ou CD

FM , AG , BH ou CI

AB , EF , DE. BC , FM ou AG

CDJI

GHIJLM ou ABCDEF

GHIJLM , ABCDEF , HICB , AFMG , EFML ou CDJI

É um ponto. O ponto G.

É um ponto. O ponto C.

É uma reta. A reta CD.

GM , GH , AF e AB

AG , BH , CI e DJ

FE , DE , AB , BC , IC e JD

IJ , JL , LM , MG , GH e HI

ML , EF , JD , LE , MF e AG

FELM , MGAF , GHBA e HICB

ABHG , BCIH , CDJI , DELJ , EFML e FAGM

HB e AG

GM , MF , AF e AG

M , G , H , I , F , A , B e C

22. As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retor- retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são: AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.

A

B (^) C

D

E

F (^) G

H

a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o plano BCG? a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10

b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta GH? a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6

c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH? a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10

d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta FH? a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/

e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto B? a) 273 b) 247 c) 257 d) 261 e) 253

f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta AD? a) 109 b) 117 c) 123 d) 113 e) 127

g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH e a face EFGH? a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/

h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos BCG e BCH? a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/

(GeoJeca)