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1.Séries e Sequências.
1.1. Sequência: Convergência e divergência de sequências:
- Se CONVERGE Pois estabiliza num numero.
- (^) Se DIVERGE Se a sequência diverge, significa que:
- Ela vai para infinito; ou
- Ela oscila; ou
- Não existe padrão.
1.2. Série:
Soma parcial: É a soma dos n primeiros termos.
Testes:
- Teste do n-ésimo termo: Se DIVERGE
an= padrão que a série segue
Explicação: Para que uma série seja convergente, os termos da série devem convergir para zero, porém se o limite é igual a zero NÃO garante que a série converge (é condição necessária, mas não suficiente).
- Teste da série geométrica: Forma da série geométrica:
Sendo: a= termo constante R= razão (será um valor constante) N= 1,2,3,4,5,6,...,n
- Se 0<|r|<1 Converge
- Se |r|>1 ou |r|=1 Diverge
Explicação: Digamos que temos uma razão de valor 2. Se eu tenho um valor, em que o módulo, é maior do que 1 e esse número está sendo elevado a um número n positivo, a tendência é sempre aumentar. Ex: 2^1= 2^2= 4 2^3= 2^4= Agora, se eu tenho uma razão de ½, a tendência é que, quando elevado a um expoente positivo, o número chegue cada vez mais próximo do zero.
Se o p>1, a série continua em formato de fração, sendo n um número positivo, crescente e inteiro a tendência é que, cada vez mais o número descreça. Ex: p= an = 1/n^ a1 = 1/1^2= 1 a2 = 1/ 2^2 = ¼ a3 = 1/ 3^2= 1/ a4 = 1/ 4^2= 1/ Se o p<1, segue o exemplo: P= ½ an = 1/n^ ½ Por alguma propriedade aí dos treco de expoente, é a mesma coisa que escrever 1 x n^ e... como vimos antes nas séries geométricas, séries nesse estilo, divergem. Então:
Testes de comparação:
- Comparação direta. Pegar uma série que tu SABE O COMPORTAMENTO e que: ▲ Se a série que você sabe que tem um comportamento divergente, a série que você não sabe o comportamento deve ter termos maiores do que a que você está comparando.
▲ Se a série que você sabe que tem um comportamento convergente, a série que você não sabe o comportamento deve ter termos menores do que a que você está comparando.
- Comparação no limite. Sejam an e bn séries. Você sabe o comportamento de uma delas e quer descobrir o da outra. Se: O comportamento delas é igual. Ou ambas convergem, ou ambas divergem. Obs: Teste bom para comparar polinômios.
- Teste da comparação na integral. 1º Transforma a série numa função e resolva a integral imprópria dessa função.
Se Se
Os testes dos “R”.
- Usa apenas a série que tu quer investigar.
- Razão. Obs: Funciona bem com séries que envolvem fatoriais (n!) e em séries onde o n está na potência.
Se:
