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FÍSICA
F B O N L I N E. C O M. B R
Professor(a): Carlos Eduardo
assunto: rEflExão da luz
frente: físiCa ii
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AULAS 03 E 04
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Introdução Já que fixamos os conceitos básicos da óptica geométrica, vamos conhecer as leis da reflexão e estudar os espelhos (planos e esféricos). Para simplificar nossa vida, estudaremos somente reflexão especular (reflexão que ocorre nos espelhos). Inicialmente, vamos definir alguns elementos. É possível esquematizar a reflexão de um raio de luz, ao atingir uma superfície polida, da seguinte forma:
A^ N
T
i r
B
C
Em que: AB = raio de luz incidente; BC = raio de luz refletido; N = reta normal à superfície no ponto B; T = reta tangente à superfície no ponto B; i = ângulo de incidência, formado entre o raio incidente e a reta normal; r = ângulo refletido, formado entre o raio refletido e a reta normal.
Leis da Reflexão Os fenômenos que acontecem na reflexão, tanto regular quanto difusa, obedecem a duas leis fundamentais, que são:
Primeira Lei da Reflexão
O raio de luz refletido e o raio de luz incidente, assim como a reta normal à superfície, pertencem ao mesmo plano, ou seja, são coplanares.
Segunda Lei da Reflexão
O ângulo de reflexão ( r ) é sempre igual ao ângulo de incidência ( i ). ˆi (^) =rˆ Para um caso particular (espelho esférico), os focos se encontram e qualquer raio que incida no vértice do espelho sairá formando o mesmo ângulo. Veremos isso daqui algumas páginas.
Conhecendo estes resultados, dedicaremos nossa atenção aos espelhos planos.
Espelho plano Como o próprio nome sugere, é uma superfície completamente lisa que produz reflexão regular. A formação da imagem no espelho plano é simples, se você entender que espelho plano gera simetria.
B (^1) B
D A
Objeto
Espelho Plano
Imagem
C d o d i Ao gerar simetria, é fácil perceber que a distância da imagem é sempre igual à distância do objeto (do = di). Observe também que o tamanho da imagem é sempre constante e igual ao tamanho do objeto. Um objeto real sempre formará uma imagem virtual. A imagem virtual pode ser vista e até fotografada, porém, não projetada sobre um anteparo.
Campo visual de um sistema formado por um observador e um espelho plano O campo visual é a região no espaço na qual devem estar os objetos para que a pessoa possa enxergá-los.
Campo visualCampo visualCampo visual
O
O’ O método prático para encontrar o campo visual é refletir o observador e traçar os raios que passam pelos extremos do espelho. Assim, todos os objetos que se encontrarem na região destacada poderão ser vistos pelo observador O através de reflexão no espelho.
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Translação e rotação de espelho plano Ao rotacionar um espelho plano (rotação coplanar), o raio incidente de um ponto-objeto fixo passa a incidir em uma posição diferente no mesmo espelho em razão da rotação. Dois ângulos serão analisados e relacionados conforme a figura a seguir. Seja o referencial fixo no ponto objeto P, diante de um espelho plano E, e P’ sua imagem. Se o espelho transladar retilineamente na direção da reta que passa por P e P’, o espelho conjugará a P uma segunda imagem, P’’, associada à segunda posição do espelho.
1 E
E
P
P P”
P’
d d
D
x
d + x d + x
2
Na figura acima, o espelho E afasta-se uma distância x da posição 1 para a posição 2 e a imagem do ponto P passa a ser P”. Estudemos, do ponto de vista do objeto, o deslocamento sofrido pela imagem. Da figura, resulta: PP’ = 2d PP” = 2(d + x) = 2d + 2x O deslocamento sofrido pela imagem do ponto P é: D = PP” – PP’ D = 2d + 2x – 2d D = 2x Então, podemos concluir que se um objeto estiver fixo diante de um espelho que translada retilineamente de uma distância d , a correspondente imagem translada, no mesmo sentido que o espelho, uma distância 2d. Já para a rotação, iremos girar o espelho em torno de um ponto fixo de um ângulo a. Observe o esquema abaixo:
Raio incidente
Raio Refletido antes da rotação
α
α Rotação do espelho plano
N (^1)
N (^2)
∆
^i 1
^i 2
^r 1
^r 2
Raio refletido após o espelho ser rotacionado
Neste caso, a relação entre o ângulo ∆ e o ângulo α é dada pela expressão:
E 1
E 2
Note que o ponto C é equidistante de P 1 ’ e de P e também de P 2 ’, já que se trata de imagem e objeto, sendo este (o objeto) mantido fixo. Portanto, P 1 ’, P e P 2 ’ pertencem a uma circunferência com centro em C. Assim, b = 2a.
C
Rotação doespelho
Rotação daimagem P’ (^1)
P’ 2
P
β α
α
Associação de espelhos planos Quando dispomos de dois espelhos planos fazendo um ângulo θ, as imagens de um ponto P, formadas pelos espelhos, estarão sobre uma circunferência cujo centro está no ponto de encontro dos dois espelhos. O número n de imagens formadas é:
n = 360 º− 1 θ
Observações:
- Em uma associação de espelhos planos, as imagens e o objeto são equidistantes do vértice do ângulo formado pelos dois espelhos.
- Em uma associação de espelhos planos, um ponto objeto real formará sempre imagens virtuais para qualquer valor do ângulo formado pelos espelhos.
A’ (^1)
D 1
A’ 2 A’ 3
0
A
O ângulo entre B 1 e B 2 é de 90º, logo, o número de imagens é 3. ( A 1 ’ ; A 2 ’^ e A’ 3 )
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08. Dois caçadores estão em um labirinto formado por três espelhos e cada um vê o outro através da geometria de espelhos planos representados a seguir. Calcule o ângulo θ na figura.
55º
θ
15º15º15º
09. A ilustração a seguir mostra as motos M 1 e M 2 em movimento uniforme, em um trecho retilíneo de uma estrada. Suas velocidades escalares, dadas de acordo com a orientação da trajetória, estão indicadas na figura. Sabendo que a moto M 1 é equipada com um retrovisor plano, calcule, para a imagem de M 2 conjugada pelo referido espelho:
30 m/s 40 m/s
M 2 M 1
(+)
A) a velocidade escalar em relação ao espelho; B) a velocidade escalar em relação a M 2 ; C) a velocidade escalar em relação à estrada.
10. Dois blocos, cada um com massa m , encontram-se sobre uma mesa lisa. Eles estão ligados a outros dois blocos, como mostrado na figura a seguir. As polias e as cordas não têm massa. Um objeto O é mantido em repouso sobre a mesa. Os dois lados dos blocos, que estão voltados para o objeto O, são espelhados (espelhos planos). A aceleração relativa das primeiras imagens formadas é
3 m
m
2 m
m
o
A) 5g/ B) 5g/ C) 17g/ D) 17g/ E) 17g/
11. Uma superfície refletora é representada pela equação: y L^ x L
π
sin π , 0 ≤ x ≤ L.
x
y
Observa-se que um raio incidiu horizontalmente e refletiu verticalmente. Quais as coordenadas (x, y) de incidência do raio?
Obs.: a derivada dy dx
= tan ϕ (coeficiente angular da reta tangente).
A) L^ L
π
B) L^ L
π
C) 3
L , 2 L
π
D) 2
L , 3 L
π
E) n.d.a.
12. Um foguete de brinquedo voa na direção e sentido indicados pela figura a seguir, com velocidade constante v. Durante todo o voo, um par de espelhos, composto por um espelho fixo e um espelho giratório que gira em torno do ponto A, faz com que um raio laser sempre atinja o foguete, como mostra a figura.
d
v
A
d
foguete
espelho fixo
fonte laser
d
d
Reprodução/IME
O módulo da velocidade de rotação do espelho é A) [v sen (θ)]/d B) [v sen^2 (θ/2]/d C) [v sen^2 (θ)]/d D) [v sen(θ)]/2d E) [v sen^2 (θ)/2d
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13. (OBF) A figura a seguir ilustra uma pessoa, de altura H, posicionada diante de um espelho plano fixado em uma parede inclinada de um ângulo θ em relação ao solo.
L
d
H θ
Supondo-se conhecida a distância d entre o topo da cabeça da pessoa e o espelho e desprezando-se a distância entre seus olhos e o topo de sua cabeça, pede-se A) o comprimento L do espelho para que a pessoa possa se ver de corpo inteiro; B) o valor de L para o caso particular em que θ = 90º.
14. Um homem se aproxima de um espelho plano e depois se afasta. Qual dos gráficos é o que representa o tamanho real h de sua altura em função do tempo? h
t
A)
h
t
C)
h
t
E)
h
t
D)
h
t
B)
Gabarito
A A – E C – B
– – D B E – D
- Demonstração.
Resolução
01.
I. Observe:
OBJ IMG
IMG
DEPOIS, XIMG = 2d + x
ANTES, XIMG = x
OBJ
x
x x
d + x
∆x = 2d Afirmativa verdadeira
d
II. Analisando os raios refletidos:
i 1
i 2
α Antes
Depois
- ∆ + 180 − 2 i 2 + 2 i 1 = 180 ° → ∆ = 2 i 2 + 2 i ; 1
- Além disso, α + 90 + i 1 + 90 − i 2 = 180 ° → α= i 2 −i ; 1
- Logo, ∆ = 2a e a afirmativa é verdadeira.
III.
x x
d h h
OBJ IMG
Para que a pessoa enxergue a imagem, no limite, para semelhança, devemos ter: d x
h x
= → d =h 2 2
Afirmativa falsa. Resposta: A
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I. Analogia ao item (B): y^ ’^ H^ y ’ H^ m;
II. Analogia ao item (C): Y^ ’^ ‘ ,. 1 2 2
= h^ ⇒ Y = h^ =0 8m Resposta: A) figura; B) 2 m; C) 0,8 m; D) y’ = y = 1 m e Y’ = Y = 0,8 m.
07. Observe o triedro:
I 3 I 1
E 1
E 3
E 2
I 2
I 2
O
I’ 3
O’
Formato final I’ 1
I. Espelhos E 1 e E 2 geram 3 imagens; II. Espelhos E 1 e E 3 geram 3 imagens; III. Espelhos E 2 e E 3 geram 3 imagens.
Entretanto, dessas 9 imagens, 2 são contadas duas vezes. Sobram 7.
Resposta: B
08. As leis da reflexão nos permitem montar a seguinte imagem:
55°
55° 55°
75° 15°
15°
α α
35° 35° α^ + 55° = 75°^ ⇒ α = 20°
Resposta: 20°
A) No referencial do espelho: VESP, ESP = 0.
I. VOBJ, ESP = 30 – 40 = – 10 m/s (afastando-se);
II. Como o espelho não se move:
| VOBJ, ESP | = | VIMG, ESP | = 10 m/s (afasta-se do espelho).
B) No referencial de M 2 : VOBJ, OBJ = 0.
I. VESP, OBJ = 40 – 10 = 10 m/s (afastando-se);
II. Como VIMG = 2VESP , VIMG, OBJ = 2VESP, OBJ = 20 m/s.
C) Observe:
OBJ
xOBJ xESP xIMG
IMG
d d
xIMG = xIMG(FIM) – xIMG(O) ⇒ xIMG (xESP + xESP + d – xOBJ) – (d) ⇒
xIMG = 2xESP – xOBJ
d dt
VIMG = 2VESP – VOBJ
Assim, VIMG = 2 · 40 – 30 = 50 m/s
Resposta:
A) 10 m/s;
B) 20 m/s
C) 50 m/s
- No bloco da direita: 2 2 2 3
mg T m a T ma g^ a
D D D
{ (^) = =
- No bloco da esquerda: 3 3 3 4
mg T m a T ma g^ a
E E E
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- Logo, temos a seguinte situação: Se VIMG = 2VESP , aIMG = 2aESP.
O
E
D
(^3) g 4
(^2) g 3
I.
a (^) IMGD = 2 ⋅ 2 g = g 3
II.
a (^) IMGE = 2 ⋅ 3 g = g 4
III.
a (^) IMG (^) REL = g ⋅ 3 + = g 2
Resposta: D
dy dx
Tg L L
x L
Tg
d = d x ^
^ →^ =^ =^ ⋅^ ⋅^
^
π
π (^) ϕ π
π (^) cos π
ϕϕ = 2cos πx. L
ϕ
ϕ
ϕ
2 ϕ = 90° → ϕ = 45° → Tgϕ = 1.
= cos π^ x ⇒ π^ = π⇒ =. L
x L
x L
0 ≤ x ≤ L
- Se x = L^ Y = L sen ⇒ Y =L 3
π
π π
Portanto, o ponto é: L^ L 3
π
^
Resposta: B
Solução 1:
θ R
d
V
Vx
VY
- Do movimento circular: ω θ IMG θ
VY Y
R
mas V Vsen e R d sen
Daí, ω (^) IMG Vsenθ R
2 .
- Mas, se α (^) IMG = 2 α (^) ESPd d ( )θ→ ω (^) IMG = 2 ω (^) ESP ⇒ ω (^) ESP=ωIMG 2
Logo, ω (^) ESP Vsenθ R
2 2
Solução 2:
θ
x
(d – x)
v
θ = d d x −
= (^ − )^ −^1
d d t
d dt
d dx dt
( ) d x
( )
sec 2 θ θ 2 →
mas dx dt
V e d dt
d V d x
mas Tg d d x
θ (^) ω ω cos 2 θ (^) , θ 2
2 2 2
logo, ω = Tgθ^ ⋅ θ → ω = θ d
V Vsen d
2 2 2 cos.
Como, ω (^) ESP ω^ ω (^) ESP Vsenθ d
2 ,.
Resposta: E
