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OPERAÇÕES COM DESCONTO – Parte B
3.3 Desconto composto
O desconto composto, utilizado basicamente em operações de longo prazo, pode ser identificado, igualmente ao desconto
simples, em dois tipos: o desconto “por dentro” (racional) e o desconto “por fora”.
O desconto composto “por fora” (ou comercial) é raramente empregado no Brasil, apresentando pouco uso prático. O
desconto “por dentro” (racional) envolve valor atual e valor nominal de um título capitalizado segundo o regime de juros
compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática.
Desconto Racional (por dentro) Desconto Comercial (por fora)
𝑟
𝑛
𝑓
𝑛
𝑟
𝑛
𝑓
= 𝑁 [ 1 − ( 1 − 𝑑)
𝑛
Exemplo: Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12 meses, foi descontado 5 meses antes de seu vencimento. O
valor nominal do título é de $ 42.000,00 e a taxa de desconto, de 3,5% ao mês. Calcule o valor líquido liberado nesta
operação sabendo-se que foi utilizado o desconto composto “por dentro”.
𝑟
𝑛
𝑟
- 000
( 1 + 0 , 035
)
5
Um título foi descontado à taxa de 3% a.m. 5 meses antes de seu vencimento. Sabe-se que esta operação produziu um
desconto de $ 39.000,00. Admitindo o conceito de desconto composto “por fora”, calcule o valor nominal do título.
𝑓
= 𝑁 [ 1 − ( 1 − 𝑑)
𝑛
39000 = 𝑁 [ 1 − ( 1 − 0 , 03 )
5
N = 276.074,
.
Assim como no regime simples, o desconto racional (por dentro) composto incide sobre o VALOR PRESENTE e o desconto
comercial (por fora) composto incide sobre o VALOR NOMINAL
Hora de Praticar (3. 3 ):
Exercício 1: Um título de valor nominal igual a R$ 5000,00 é resgatado 2 meses antes do vencimento, segundo
o critério do desconto comercial composto. Sabendo que a taxa de desconto é de 3% a.m, qual o valor atual e
o valor do desconto?
Exercício 2 : Qual o desconto racional que se obtém ao resgatar-se, dois anos antes do vencimento, uma nota
promissória com R$ 1000,00 de valor descontado, cujo termo é de 6 anos a juros de 18% a.a com capitalização
mensal, se a taxa corrente de juros composto for de 1% a.m.
3.4 Desconto para vários títulos
Em operações com bancos comerciais, é comum proceder de uma única vez ao desconto de vários títulos.
Estes títulos, com prazos e valores nominais geralmente diferentes, são descontados numa mesma data, produ
zindo um valor descontado representativo da soma do valor descontado de cada título.
O problema maior dessa operação restringe-se à obtenção da taxa efetiva de juros representativa de um
conjunto de títulos com prazos desiguais. Uma maneira simples e bastante empregada na prática de solucionar
essa questão é definir o prazo de antecipação dos títulos pelo seu valor médio ponderado.
onde: n = prazo médio ponderado de desconto dos títulos.
Exemplo:
Suponha que em determinada data um banco creditou o valor líquido de $ 23.600,00 na conta de um cliente
após efetuar a seguinte operação de desconto no borderô de duplicatas enviado:
Título Valor nominal Prazo de Antecipação
A R$ 5.000,00 50 dias
B R$ 9.000,00 70 dias
C R$ 8.000,00 82 dias
D R$ 4.000,00 60 dias
TOTAL R$ 26.000,
Logo:
Valor Nominal Total do Títulos (N) : R$ 26.000,
Valor Descontado (Vf) R$ 23.600,
Valor do Desconto (Df) R$ 2.400,
Fazendo a média ponderada
Aplicando a fórmula da taxa de juros racional
Segundo Assaf Neto, quando se adota a metodologia baseada em juros simples tem-se critérios de uma
simplicidade para os cálculos. Ao adotar o regime de juros compostos para a obtenção da taxa efetiva desta
operação, a solução passa necessariamente pela taxa interna de retorno (IRR) do fluxo de caixa, ou seja:
Logo, há uma taxa implícita de juros na operação, superior aos declarados 5% ao mês, que conduz
VF e N a um mesmo resultado no período. Esta taxa é obtida pelo critério de desconto racional (juros
“por dentro”)
Substituindo os valores:
= 5 .26% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
O resultado indica que há uma taxa implícita de juro de 5,26% numa operação de desconto de 5%
a.m. (d = 5%) pelo período de um mês
Os cálculos de apuração da taxa racional de juros podem ser substituídos pelo emprego direto da
seguinte fórmula:
Para descobrir a equivalente composta:
Hora de Praticar (3.5):
Exercício 1: Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto definida
pelo banco é de 3,3% ao mês. Sendo de $ 25.000,00 o valor nominal deste título, e sabendo-se que a instituição
financeira trabalha com o sistema de desconto “por fora”, pede-se calcular:
a) o valor do desconto cobrado pelo banco e o valor descontado do título liberado ao cliente;
b) a taxa implícita simples e composta desta operação;
c) a apuração da taxa implícita pela fórmula direta de cálculo.
Algumas observações conclusivas com relação aos tipos de descontos simples são elaboradas a seguir:
a) O desconto “por fora” é apurado sobre o valor de resgate (valor nominal) do título, e o desconto “por
dentro” é obtido sobre o valor líquido liberado (capital).
Em verdade, o desconto “por fora”, apesar de amplamente adotado nas operações bancárias e comerciais de
curto prazo, não pode ser entendido como juro em sua forma mais rigorosa de interpretação. É preferível
interpretá-lo como uma metodologia peculiar de cálculo, pois o seu valor é obtido do montante a pagar (ou
receber) e não do capital efetivamente empregado pelo devedor (ou credor).
O valor do desconto “por fora” será sempre superior ao do desconto “por dentro” quando obtidos em idênticas
condições de prazo e taxa, determinando maior volume de receitas ao credor.
b) A operação de desconto “por fora” a uma determinada taxa d, e a um prazo n, implica a existência de
uma taxa implícita i apurada para este mesmo prazo, a qual é calculada segundo os critérios de desconto
racional (“por dentro”). A taxa de desconto “por fora” adotada numa operação será sempre inferior à taxa
de desconto racional calculada nas mesmas condições.
𝑛
