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Resumos de macs 11°ano bastante sintetizado
Tipologia: Resumos
1 / 56
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MACS 11.ºano
Trabalho realizado por:
= =
(^) \
{ } { }
≠ ≠
∅ ∅
× ×
∩ ∩
≤ ≤
∪ ∪
Índice
Desde o início das civilizações que o estudo das populações foi importante, claro que ao longo dos séculos houve um melhoramento deste estudo, mas naquela altura para pequenas atividades como a racionalização e organização das colheitas ou o controlo de crescimento animal estes estudos eram muito importantes e úteis.
Contexto Histórico
Defenição de População Defenição de Modelo
Atualmente, podemos dizer que os modelos populacionais são a descrição do número de elementos de determinada população ao longo do tempo, um modelo populacional deve assim prever o número de indivíduos da população a partir da evolução da população ao longo do tempo, podendo estar sempre em constante alteração.
Com o passar dos tempos e o desenvolvimento desta área, e também a necessidade de a utilizar para diversos fins, foram criadas diversas disciplinas como por exemplo a bioestatística, a ecologia matemática ou a biologia populacional.
Definição de Modelos Populacionais
População é o conjunto de todos os elementos com pelo menos uma caracteristica em comum.
Representação simples, por vezes matemática, de uma realidade mais complexa
Modelo de Crescimento Linear
Modelo de Crescimento Exponencial
Modelo de Crescimento Logístico
Modelo de Crescimento Logarítmico
Para estudar de forma concreta e incisiva este tema utilizam-se alguns modelos:
Neste trabalho vamos centrarmo-nos no modelo de crescimento linear e modelo crescimento exponencial.
modelo de
c (^) e c^ n
r s^ o i
m e (^) t
l (^) n a i e^ r
Modelo de crescimento linear discreto
Este é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão aritmética.
0 1 2 3
0 1 2 n (^0) n
Na progressão aritmética deste exemplo, 1000€ corresponde ao valor inicial. Este será representado por P e os termos seguintes serão P (montante existente ao fim do primeiro mês), P , P , (...).
A razão, ou seja, r, é de 1000€.
Assim, podemos concluir que a evolução de uma população pode traduzir-se por uma sucessão: P , P , P , .... P em que, P representa o número de indivíduos da população inicial e P representa o número de indivíduos da população ao fim de n transições.
O exemplo que estamos a analisar é um exemplo de modelo crescimento linear discreto.
Modelo de crescimento linear discreto é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão
aritmética (P - P = r).
Para um modelo de crescimento linear discreto:
n + 1 n
P n = P 0 + r n , n ∈ IN 0 ou P (n) = P(0) + r n , n ∈ IN 0 ou seja^ Pn^ = P 0 + r n
em que, P representa a população inicial e P representa a população ao fim de um determinado tempo, n (em horas, dias, semanas, meses, anos, etc.).
0 n
Os gráficos são muito importantes para nos ajudar a perceber a evolução de uma população. Por isso, é essencial saber interpretá-los.
Variável independente sempre no eixo do x Variável dependente sempre no eixo do y
x
y
b
a
a - constante (declive - positivo ou negativo)
b - ordenada na origem (ponto de interseção)
No eixo das abcissas (x), representa-se o tempo e, no eixo das ordenadas, y, o número de indivíduos (efetivo da população).
Função afim de equação y = ax + b
Correspondência entre dois conjuntos A e B, em que a cada elemento do conjunto A (objetos) faz corresponder um e um só elemento do conjunto B (imagens).
Não é obrigatório b = 0
Crescimento constante e ilimitado
Vamos fazê-lo da seguinte forma pressionando:
Tecla F1 "Formula" Tecla F5 "SET" Mudar para 20 no "End"
Assim, na nossa tela vamos obter o seguinte:
3 De seguida, o próximo passo será pressionar a tecla "EXE", aparecendo o seguinte:
4 5 6
Agora, a nossa tela apresenta-nos o número de pontos que nos vão aparecer no gráfico, ou seja, o número de meses em que a Carolina vai receber a sua mesada e o respetivo montante ao fim de determinados meses. Como o nosso objetivo é encontrar o número de meses necessários até que esta tenha um montante de 2500€ e, sabendo que a mesma só recebe 100€ por mês, é óbvio que irá ser necessário um número elevado de meses para que isto se concretize. Assim, vamos ter de mudar este número para, por exemplo 20, ou seja, como se fosse necessário 20 meses para que a Carolina chegasse ao seu objetivo.
Agora, pressionando a tecla "EXE", obtemos novamente a tela anterior, mas os valores só terminam no 20.º mês, ou seja:
De seguida, pressionamos novamente "EXE", onde nos vai aparecer o seguinte gráfico:
7
8
Podemos concluir que o que visualizámos não é o pretendido, por isso teremos de ajustar a nossa janela da seguinte forma:
9
Agora sim, temos todas as ferramentas necessárias para podermos responder às questões do exemplo 1.
Resolução
P 1 = 1000 + 100 x 1 = 1100€ P 5 = 1000 + 100 (^) x 5 = 1500€ P 8 = 1000 + 100 (^) x8 = 1800€
Pn = P 0 + r.^ n P 0 = 1000€ r = 100€ Pn^ = 1000 + 100 n
2500 = 1000 + 100 n <=> 2500 - 1000 = 100n <=> <=> 1500 = 100n <=> <=> n = 1500 <=> n = 15
x
Sem calculadora: (^) Com calculadora: Rever a análise do exemplo anteriormente descrita, respeitando todas as etapas e alterando e adaptando, se necessário, os valores e observações de acordo com o pedido.
Respostas
Um exemplo de crescimento linear do qual já temos conhecimento é o caso do regime de juros simples. Vamos agora relembrá-lo.
Capitalização de juros: é o processo pelo qual se adiciona ao capital os juros produzidos em consequência da aplicação desse capital.
Juro simples: o juro produzido pelo capital, em cada período de tempo, é depositado na conta à ordem.
Exemplo
Quanto terá ao fim de um ano? E ao fim de 4 anos? Represente graficamente a evolução da população.
A Mariana efetuou um depósito de 2000€ numa conta em regime de juro simples, com uma taxa anual de 10%.
Resolução
C = capital depositado N = período de tempo em anos i = taxa de juro anual
C = 2000€ N = 1 / N = 4 i = 10% = o.1 C = 2000 + 2000 x 0.1 x1 = 2200€
n
1
C 4 = 2000 + 2000 x 0.1 x4 = 2800€
Juros Simples
