Seções Cônicas
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Professor Beto Rober Bautista Saavedra
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Colegiado de Engenharia de Produção - UNIVASF
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Outubro 2009
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Seções Cônicas, Notas de estudo de Engenharia de Produção
Demostrando Seções Cônicas por geometria Euclidiana, de Professor Beto Rober Bautista Saavedra
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Professor Beto Rober Bautista Saavedra
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Colegiado de Engenharia de Produção - UNIVASF
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Outubro 2009 Outubro 2009
Seções Cônicas
Seções Cônicas
Introdução,
Introdução,
Prova da Propriedade Focal da Hipérbole,
Prova da Propriedade Focal da Hipérbole,
Prova da Propriedade Focal da Parábola.
Prova da Propriedade Focal da Parábola.
Introdução
Introdução
Seja
Seja V
V
um ponto de
um ponto de A
A
que não é centro de
que não é centro de C
C
. Tome um . Tome um
ponto
ponto P
P
de
de C
C
e desenhe uma reta
e desenhe uma reta PV
PV
Introdução
Introdução
Fazendo
Fazendo P
P
percorrer
percorrer C
C
, a reta
, a reta PV
PV
gera uma superfície
gera uma superfície
chamada
chamada cone circular reto com eixo
cone circular reto com eixo A
A
e vértice
e vértice
V
V
Introdução
Introdução
As curvas obtidas cortando-se um cone com um plano
As curvas obtidas cortando-se um cone com um plano
que não passa pelo vértice chamam-se
que não passa pelo vértice chamam-se seções cônicas
seções cônicas
ou simplesmente
ou simplesmente cônicas
cônicas .
Se o plano secante é
Se o plano secante é
paralelo a uma geratriz, a cônica chama-se
paralelo a uma geratriz, a cônica chama-se parábola
parábola .
Noutro caso, a cônica chama-se
Noutro caso, a cônica chama-se elipse
elipse ou
ou hipérbole
hipérbole ,
conforme o plano corte uma só ou ambas folhas. A
conforme o plano corte uma só ou ambas folhas. A
hipérbole deve ser assumida como uma curva só,
hipérbole deve ser assumida como uma curva só,
consistindo em dois “ramos”, um em cada folha.
consistindo em dois “ramos”, um em cada folha.
Introdução
Introdução
FIGURA 1
FIGURA 1
Introdução
Introdução
Por outro lado, na disciplina
Por outro lado, na disciplina Geometria Analítica
Geometria Analítica estuda
estuda
mos as cônicas usando definições equivalentes que se
mos as cônicas usando definições equivalentes que se
referem somente ao plano em que as curvas estão e
referem somente ao plano em que as curvas estão e
que dependem de pontos especiais desse plano chama-
que dependem de pontos especiais desse plano chama-
dos
dos focos
focos .
Introdução
Introdução
Figura 2
Figura 2
Prova da Propriedade Focal da
Prova da Propriedade Focal da
Hipérbole
Hipérbole
Seja a hipérbole H determinada pelo cone K e o plano
secante ao cone paralelo ao eixo do cone A como
mostra a Figura 3
Figura 3
Prova da Propriedade Focal da
Prova da Propriedade Focal da
Hipérbole
Hipérbole
Para provar a propriedade focal da hipérbole
Para provar a propriedade focal da hipérbole H
H
usarmos
usarmos
duas esferas, uma em cada folha do cone
duas esferas, uma em cada folha do cone K,
K,
mostradas
mostradas
na Figura 4, internamente tangentes ao cone
na Figura 4, internamente tangentes ao cone K
K
nos
nos
pontos das circunferências
pontos das circunferências horizontais
horizontais C
C
1
1 e
e C
C
. As . As
esferas são também tangentes ao plano secante
esferas são também tangentes ao plano secante
que origina a hipérbole, nos
que origina a hipérbole, nos pontos
pontos F
F 11
e
e F
F
Observamos que esses pontos pertencem aos
Observamos que esses pontos pertencem aos
meridianos maiores de cada esfera. Por motivos de
meridianos maiores de cada esfera. Por motivos de
visualização retirarmos o gráfico da hipérbole
visualização retirarmos o gráfico da hipérbole H
H
na
na
Figura 4.
Figura 4.
Prova da Propriedade Focal da
Prova da Propriedade Focal da
Hipérbole
Hipérbole
Tomarmos qualquer ponto
Tomarmos qualquer ponto P
P
de
de H
H
. Os segmentos . Os segmentos PF
PF
e
e
PF
PF
são tangentes às esferas respectivamente,pois
são tangentes às esferas respectivamente,pois
estão contidos no plano
estão contidos no plano
Figura 5
Figura 5
Prova da Propriedade Focal da
Prova da Propriedade Focal da
Hipérbole
Hipérbole
Como
Como P
P
é um ponto do cone
é um ponto do cone
K
K
existe uma geratriz que
existe uma geratriz que
passa por
passa por P
P
tangente às esferas nos pontos
tangente às esferas nos pontos Q
Q
da
da
circunferência
circunferência C
C
e
e R
R
da circunferência
da circunferência C
C
1
1 .
. Ver Figura
Ver Figura
Figura 6
Figura 6
Prova da Propriedade Focal da
Prova da Propriedade Focal da
Hipérbole
Hipérbole
Observarmos que os segmentos
Observarmos que os segmentos PQ
PQ
e
e PR
PR
são tangentes
são tangentes
às esferas respectivamente. Logo,
às esferas respectivamente. Logo,
d(P;F) = d(P;Q)
d(P;F) = d(P;Q) e
e d(P;F
d(P;F 1
1 ) = d(P;R)
) = d(P;R)
Assim,
Assim,
| d(P;F) - d(P;F
| d(P;F) - d(P;F 1
1
) | = d(Q;R)
) | = d(Q;R)
Prova da Propriedade Focal da
Prova da Propriedade Focal da
Hipérbole
Hipérbole
Por outro lado, o segmento
Por outro lado, o segmento QR
QR
esta contido numa
esta contido numa
geratriz, onde
geratriz, onde Q
Q
pertence a
pertence a C
C
e
e R
R
a
a C
C 11
.Então,
.Então,
| d(P;F) - d(P;F
| d(P;F) - d(P;F 11 ) | =
constante
constante