Sistema Comunicação - telecom capitulo1, Provas de Engenharia Elétrica

Baixe Sistema Comunicação - telecom capitulo1 e outras Provas em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Capítulo 1

Matemática

Aplicada em

Telecomunicações

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

1.1 Introdução

O aprendizado de telecomunicaÁıes exige o conhecimento b·sico de v·rias ·reas da matem·tica para a soluÁ„o de muitos problemas. Por conseguinte, o aluno de telecomunicaÁıes deve ter algumas habilidades para os c·lculos dos v·rios problemas que lhe s„o apresentados. Neste capÌtulo vamos tratar dos tÛpicos mais importantes e mais utilizados em telecomunicaÁıes. Abordaremos a parte de logarÌtmos e as aplicaÁıes pertinentes, nos c·lculos de ganho, atenuaÁ„o, relaÁ„o, sinal ñ ruÌdo, decibÈis e suas relaÁıes derivadas em dBm, dBrn, etc. Ser„o estudados, tambÈm, as principais relaÁıes e propriedades da ·lgebra complexa e as relaÁıes trigonomÈtricas mais usuais nos tÛpicos relativos aos mÈtodos de modulaÁ„o. Fechando o capÌtulo estudaremos a representaÁ„o de sinais periÛdicos em sÈrie de Fourier, de sinais n„o periÛdicos em transformada de Fourier, e por ˙ltimo, abordaremos noÁıes de probabilidade fazendo uma preparaÁ„o do uso destes conceitos no estudo de telecomunicaÁıes.

1.2 Logarítmos

O logarÌtmo de um n˙mero N È o expoente p que È aplicado a uma base b para reproduzir o n˙mero N bp^ = N (1) log (^) b N = p (2) O logarÌtmo mais usado È o de base 10 e normalmente È abreviado por log. Quando a base n„o È especificada fica implÌcito que a base È 10. Os logarÌtmos de base e (neperiano) s„o chamados de logarÌtmos naturais e abreviados normalmente por ln. A base e È igual a 2,. Os logarÌtmos podem ser usados para simplificar longos e entediosos c·lculos. Eles normalmente ocorrem quando descrevem fenÙmenos matem·ticos de engenharia ou conceitos cientÌficos.

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Ex.: 1.3. log (10 x 100) = log 10 + log 100 = 1 + 2 = 3

Ex.: 1.3. Sendo log 2 = 0,30103 e log 3 = 0, log 6 log (2 x 3) = log 2 + log 3 = 0,30103 + 0, log 6 = 0,

2) log b ÷ø

ç ö

è

æ

N

M

= log (^) b M - log (^) b N (4)

Ex.: 1.3. Sendo log 5 = 0, log (^) çèæ^10005 ÷øö= log 1000 ñ log 5 = log (10 x 10 x 10) ñ log 5

log (^) çèæ^10005 ÷øö= 3 ñ 0,69893 = 2,

3) log (^) b Mx^ = x. log (^) b M (5)

Ex.: 1.3. log 5^2 = 2. log 5 = 2 x 0,69897 = 1,

4) .log P

log bx P^1

= x b (6)

Ex.: 1.3.

log 83 8 = 31. log 8 8 = 13

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

5) log b N = b

N

a

a

log

log

Ex.: 1.3.

Obter log 5 150 = loglog^150 5 = log(10logx 55 x3)

log 5 150 = 1 +^ 0,69893 0 , 69893 +0,47712 = 3, 1134019

6) blogbN^ = N (8)

5 log 5150 = 150 à 5 3,

1.4 Exercícios Propostos

1) Sendo dado log 2 = 0,30103 e log 3 = 0,47712. Obtenha: log 24 =

log 3 27 =

log 91,5^ =

log 3 36 =

log 6 343 =

2) Obtenha: log 8 512 =

log 7 49 =

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

A equaÁ„o de uma funÁ„o de potÍncia È da forma x n^. Se n > 0, o gr·fico de y = x n^ È uma curva parabÛlica. Se n < 0 o gr·fico de y = x n^ È uma curva hiperbÛlica. A equaÁ„o de uma funÁ„o exponencial È da forma ax. Se a > 1, o gr·fico de y = ax^ È uma curva exponencial. A curva passa pelo ponto (0,1) e se desenvolve acima do eixo x e È assintÛtica a ele.

Figura 1.2 – Gráfico de função y = a x^ (a > 1)

A equaÁ„o de uma funÁ„o logarÌtmica È da forma y = logb x. O gr·fico de y = logb X È uma curva logarÌtmica conforme se vÍ na Figura 1.1. A curva passa pelo ponto (0,1) e est· a direita do eixo y sendo assintÛtica ao mesmo.

1.6 Logarítmo Natural

O logarÌtmo natural È uma funÁ„o com base e onde e È um n˙mero irracional proveniente de

lim 1 1 = + + + + +

÷

ø

ç ö

è

= æ^ +

e n → ∞ n (9)

e = 2, ...

A notaÁ„o normalmente empregada para log (^) e N È ln N onde a base e È dada pelo n˙mero acima.

1

0

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

ln e = 1 ln e^2 = 2. ln e = 2

O logarÌtmo natural de N e o logarÌtmo base 10 de N s„o relacionados pela formula

ln N = 2,3026. log N (10)

1.7 Característica Mantissa e Cologarítmo

Num sistema qualquer sÛ as potÍncias da base tem logarÌtmos inteiros. Assim, no sistema de base 2, teremos

log 2 32 = log 2 25 = 5 log 2 64 = 6

Os n˙meros compreendidos entre 32 e 64 ter„o os logarÌtmos compreendidos entre 5 e 6. Para o n˙mero 43, por exemplo, teremos

log 2 43 = 5 + fraÁ„o

Os logarÌtmos dos n˙meros constam, ent„o, de duas partes: ü uma parte inteira que se denomina característica ; ü uma parte fracion·ria que se denomina mantissa.

Ao logarÌtmo do inverso de um n˙mero, d·-se o nome de cologarítmo do n˙mero. Assim,

colog b N = log b N

= log (^) b 1 - log (^) b N

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

As caracterÌsticas de log 584; log 8,501; log 27,432; log 5873 s„o: 2, 0, 1 e 3 respectivamente.

2) A caracterÌstica do logarÌtmo decimal de um n˙mero positivo e menor que 1 È negativa e tem tantas unidades quantos forem os zeros que precedem seu primeiro algarismo significativo. Um n˙mero decimal, cujo primeiro algarismo significativo È de centÈsimos, isto È, que tem dois zeros prendendo o primeiro algarismo significativo como, por exemplo 0, È maior que 0,01 e menor que 0,1, e, portanto, fica compreendido entre 10-2^ e 10-^. Um n˙mero decimal com trÍs zeros precedendo o primeiro algarismo significativo, como 0,0081 ser· maior que 0,001, menor que 0,01 e ficar· compreendido entre 10 -3^ e 10-^. De modo geral, um mÌnimo N, com n zeros precedendo o primeiro algarismo significativo ficar· compreendido entre 10 -n^ e 10-(n-1)^ e, portanto, pode-se escrever

10 -n^ < N < 10 - (n-1)^ (13)

Tomando os logarÌtmos na base 10, tem-se

• n < log N < - (n ñ 1) log N = - n + fraÁ„o A caracterÌstica È, pois, -n.

Ex.: 1.7. As caracterÌsticas de log 0,4; log 0,0581; log 0,0027; log 0, s„o: -1, -2, -3 e ñ

1) Quando se multiplica ou divide um n˙mero por uma potÍncia de 10, a mantissa de seu logarÌtmo decimal n„o se altera. Representamos por c a caracterÌstica e por m a mantissa do logarÌtmo de um n˙mero N, isto È,

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

log N = c, m (14)

De acordo com as propriedades dos logarÌtmos

log (N x 10p^ ) = log N + p. log 10 = log N + p

log ÷ø

ç ö

è

æ

p

N

10 = log N - p. log 10 = log N ñ p

ou, de acordo com a hipÛtese dada por (14)

log (N x 10p^ ) = c, m + p

log ÷ø

ç ö

è

æ

p

N

10 = c, m ñ p

Como p È inteiro deve ser adicionado ou subtraÌdo da parte inteira c e teremos

log (N x 10 p) = (c + p), m (15)

log ÷ø

ç ö

è

æ

p

N

10 = (c - p), m

Assim, a mantissa mantÈm o seu valor m , enquanto que a caracterÌstica fica aumentando ou diminuindo do expoente da potÍncia.

Ex.: 1.7. Sendo log 327 = 2, log 3,27 = 2,5145 ñ 2 = 0, log 327000 = 2,5145 + 3 = 5,

Conseqüência: A mantissa do logarÌtmo de um n˙mero decimal, no sistema de base 10, È independente da posiÁ„o da vÌrgula.

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Assim, por exemplo para transformar o logarÌtmo preparado 3 ,^3010 em negativo realiza-se a operaÁ„o

• 3 + 0,3010 = - 2,

Para operaÁ„o inversa consideramos o logarÌtmo negativo - 3,9867. Podemos escrever

• 3 - 0, somando e subtraindo uma unidade
• 3,9867 = (- 3 - 1) + (1 - 0,9867) = - 4 + 0,

dando finalmente

• 3,9867 = 4 ,^0133

A operaÁ„o acima descrita pode ser utilizada na obtenÁ„o do cologarÌtmo de um n˙mero N na forma preparada.

Ex.: 1.8. log N = 3, colog N = - 3, colog N = (- 3 - 1) + (1 - 0,5170) = 4 ,^4830

1.9 Mudança de Base

… o problema que consiste em determinar os logarÌtmos dos n˙meros da base α, sendo conhecidos e tabelados os logarÌtmos dos mesmos n˙meros no sistema de base b.

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Seja N um n˙mero qualquer, cujo logarÌtmo na base α queremos achar. Representamos por x , o logarÌtmo procurado. Teremos

αααα x^ = N

Tomando os logarÌtmos dos dois membros no sistema conhecido (base b) vem:

x. logb αααα = lobb N e finalmente

x = log b N. logb α

donde conclui-se: Para passar os logarÌtmos de base b para o de base α, multiplicamos os primeiros pela constante logb α.

ln10^1 =2,3026^1 =0,^4342

Portanto, basta multiplicar por 0,4342 qualquer logarÌtmo neperiano para se obter o logarÌtmo decimal correspondente.

Exercício Obter log 49 343

log 49 343 = log 343. log 49

1.1.0 Exercícios

1) Sendo 74

53 128 N (^125) ÷ ø ç ö è = æ calcular o log N sabendo que log 2 = 0,30103.

R:^1 ,^99263

−

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

4) Dados no sistema de base 10 log 3 = 0,47712 e log 2 = 0,30103 calcular na

base neperiana log

3 51 9

ú

ú û

ù ê

ê ë

é çèæ ÷øö

R: 0,

5) Resolver o sistema

î

í

ì

log log 3

x^2 y^2

x y

R: 40 e 25 1.10 Decibéis

Decibel , ou dB È uma forma de logarÌtmo. A resposta do ouvido ao som È proporcional ao logarÌtmo da potÍncia que produziu o som. Um decibel È aproximadamente a menor variaÁ„o que o ouvido humano pode detectar. Por quÍ usamos decibÈis? AlÈm do fato de ouvirmos os sons de forma logarÌtmica e 1 dB ser o mÌnimo que ouvimos, usa-se db porque È muito f·cil de us·-lo. DecibÈis s„o razıes. Eles relacionam dois nÌveis de potÍncia (ou outros par‚metros similares). Eles relacionam, por exemplo, o nÌvel de potÍncia de um receptor e o nÌvel de potÍncia do transmissor ou a potÍncia do sinal de entrada e o nÌvel de potÍncia do ruÌdo que o acompanha, a relaÁ„o sinal/ruÌdo. Devemos ter em mente que quando adicionamos ou subtraÌmos decibÈis, estamos realmente multiplicando ou dividindo porque eles s„o baseado em logarÌtmos.

ESTRUTURA

Pin Pout

Figura 1.3: RepresentaÁ„o esquem·tica de uma estrutura e suas potÍncias de entrada (Pin) e saÌda (Pout)

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

DecibÈis requerem que as dimensıes sejam as mesmas. Por exemplo, se Pout est· em watts (W) Pin tambÈm deve estar em watts, ou deve ser convertida. Miliwatts (mW) e Kilowatts (kW) s„o outros termos comuns. A fÛrmula geral para o ganho ou atenuaÁ„o de potÍncia È

Pin

G = Pout (18)

Se G > 1 h· um ganho de potÍncia, porÈm se G < 1 h· uma perda ou atenuaÁ„o da potÍncia. Se G = 1 significa que n„o h· ganho nem atenuaÁ„o na potÍncia.

Ex.: 1.10. Dado o nÌvel de potÍncia do transmissor Pin = 4W e o nÌvel de potÍncia do receptor Pout = 2W, determine o ganho ou perda de potÍncia.

4W

G =2W =

Como o resultado È menor que 1 h· perda ou atenuaÁ„o. A fÛrmula geral para convers„o da raz„o de potÍncias em dB È:

÷

ø

ç ö

è

= æ

Pin

G 10 log Pout

dB

Ex.: 1.10. Se Pin = 10 W e Pout = 5W determine a raz„o de potÍncia em dB

10 *( 0 , 3 ) 3 dB

G 10 log^5

dB ÷ø= − =−

ç ö

è

= æ

Como o resultado È negativo houve atenuaÁ„o.

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

10 log 1W2W÷=− 10 log 2 =− 3 dB ø ç ö è

æ

10 log 1W4W÷=− 10 log 4 =− 6 dB ø ç ö è

æ

10 log 1W8W÷=− 10 log 8 =− 9 dB ø ç ö è

æ

10 log 16 12 dB 16W 10 log 1W ÷=− =− ø ç ö è

æ

Conclusão importante ü Quando se dobra a potÍncia h· um acrÈscimo de 3dB; ü Quando se divide a potÍncia pela metade h· um decrÈscimo de 3dB.

Ex.: 1.10. Determine a perda ou ganho se Pout = 125 W e Pin = 1kW

Pin

Pout = =

Como h· uma diminuiÁ„o na potÍncia de 8 vezes. Perda (dB) = 9dB Ganho (dB) = -9 dB

Ex.: 1.10. Lista-se abaixo alguns c·lculos importantes:

10 log 10 10 dB

10W

10 log 100W÷= =

ø

ç ö

è

æ

10 log 10 20 dB

10W

10 log 1000W÷=^2 =

ø

ç ö

è

æ

10 log 10 30 dB

10W

10 log 10000W÷=^3 =

ø

ç ö

è

æ

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

10 log 10W1W ÷= 10 log 101 =− 10 dB

ø

ç ö

è

æ −

10 log 100W1W ÷= 10 log 10 2 =− 20 dB

ø

ç ö

è

æ −

Conclusão Cada vez que a potÍncia se multiplica por um fator de 10, o ganho em dB È acrescido de 10 dB. Cada vez que a potÍncia È dividida por um fator de 10 o ganho È diminuÌdo de 10dB.

Ex.: 1.10. DecibÈis podem ser usados para medir o ganho ou atenuaÁ„o em potÍncia numa conversaÁ„o telefÙnica ocorrendo entre vocÍ e um amigo. Se a potÍncia de entrada de sua voz È de 0,25mW, a perda em cada aparelho sendo de 3dB, a atenuaÁ„o total dos cabos seja 9dB e um amplificador de linha seja colocado no circuito com um ganho de 12dB, qual È a Pout no terminal de seu amigo?

Figura 1.4 – Trecho de uma rede telefônica

Perda Total = - 3 - 9 - 3 = -15 dB Ganho = 12 dB AtenuaÁ„o (dB) = -15 + 12= - 3 dB

Uma queda de 3 dB significa que a Pout de ser a metade da Pin.

TLF Cabos AMP Linha

Pin (^) TLF Pout =?

-3dB -9dB +12dB -3dB