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Exerc´ıcios Resolvidos de ´Optica F´ısica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a TERCEIRA prova. Numerac¸ ˜ao conforme a SEXTA edic¸ ˜ao do livro
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte´udo
37 Relatividade 2
37.1 A relatividade do tempo........................................ 2
37.2 A relatividade das distˆancias..................................... 2
37.3 Algumas conseq¨uˆencias das equac¸ ˜oes de Lorentz.......................... 4
37.4 A relatividade das velocidades.................................... 4
37.5 O efeito Doppler para a luz...................................... 4
37.6 Uma nova interpretac¸˜ao da energia.................................. 5
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(listaq3.tex)
37 Relatividade
37.1 A relatividade do tempo
E 38-3 (42-5/
edic¸ ˜ao)
O tempo m´edio de vida de m´uons estacion´arios ´e
s.
O tempo m´edio de vida dos m´uons de alta velocidade
produzidos pelos raios c´osmicos ´e
s no referencial
da Terra. Determine a velocidade em relac¸˜ao a Terra dos
m´uons produzidos pelos raios c´osmicos.
Usamo a equac¸˜ao da dilatac¸˜ao temporal (^) , onde (^) e o intervalo de tempo pr´´ oprio,
(^) , e ! (^). Portanto,
de onde tiramos que
O intervalo de tempo pr´oprio ´e medido por um rel´ogio
em repouso em relac¸˜ao ao m´uon. Ou seja, "
s
e +,
s. Isto nos fornece ent˜ao
Portanto a velocidade do m´uon ´e
:@; .4? m/s
37.2 A relatividade das distˆancias
E 38-11 (42-13/
edic¸ ˜ao)
Uma espac¸onave cujo comprimento de repouso ´e :4. m
passa por uma base espacial a uma velocidade de.
BAC
.
(a) Qual ´e o comprimento da nave no referencial da ba-
se? (b) Qual ´e o intervalo de tempo registrado pelos tri-
pulantes da base entre a passagem da proa e a passagem
da popa da espac¸onave?
(a) O comprimento de repouso D+EF :4. m da
espac¸onave e seu comprimento D medido pela base
est˜ao relacionados atrav´es da relac¸˜ao
DG
D
/D+ 4H
onde
'I = , e J I. Portanto
DK76L>:1.
M68.
NAICO
/P
A
C
m
(b) O intervalo de tempo para a passagem da espac¸onave
´e
" Q
D
P
A
C
NAICO
R:<;=>. ?
!C
.SUT s
P 38-12 (42-16/
edic¸ ˜ao)
(a) Uma pessoa seria capaz, em princ´ıpio, de viajar da
Terra at´e o centro da gal´axia (que est´a a cerca de
anos-luz de distˆancia) em um tempo de vida normal?
Explique por quˆe, levando em conta a dilatac¸˜ao dos tem-
pos ou a contrac¸˜ao das distˆancias. (b) Com que velo-
cidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a
viagem em :1. anos (tempo pr´oprio)?
(a) Em princ´ıpio sim. Se a pessoa mover-se suficien-
temente r´apido, pelo argumento da dilatac¸˜ao temporal,
seu tempo de viagem medido na Terra ´e muito maior do
que um tempo de vida usual. Por outro lado, usando
o argumento da contrac¸˜ao do comprimento, a distˆancia
que a pessoa necessita percorrer (medida em relac¸˜ao `a
sua espac¸onave) ´e muito menor do que
:1.4.1. anos-luz.
De ambos modos, concluimos que ´e poss´ıvel para a pes-
soa alcanc¸ar o centro da gal´axia no per´ıodo normal de
durac¸˜ao de uma vida humana.
(b) Sabemos que
D
D
H
onde o sub´ındice. indica tempo e comprimentos
pr´oprios (que n˜ao s˜ao medidos no mesmo sistema de re-
ferˆencia inercial!), ou seja D
:1.1.4.+ e " V:4.
anos. Sabemos tamb´em que " W
, de modo que
D
Substituindo os dados obtemos
H
ou, equivalentemente,
37.3 Algumas conseq¨uˆencias das equac¸ ˜oes
de Lorentz
E 38-17 (42-20/
edic¸ ˜ao)
Um experimentador dispara simultaneamente duas
lˆampadas de flash, produzindo um grande clar˜ao na ori-
gem de seu referencial e um pequeno clar˜ao no ponto
bK7:4. km. Um observador que est´a se movendo com
uma velocidade de.
N \
no sentido positivo do eixo b
tamb´em observa os clar˜oes. (a) Qual ´e o intervalo de
tempo entre os dois clar˜oes, de acordo com o observa-
dor? (b) De acordo com o observador, qual dos dois
clar˜oes ocorreu primeiro?
(a) Suponha o primeiro flash em repouso no re-
ferencial m e chame de mon o referencial de repouso
do segundo observador. Os rel´ogios de nenhum des-
tes referenciais medem o intervalo de tempo pr´oprio
entre os flashes, de modo que precisamos usar uma
transformac¸˜ao de Lorentz completa. Usamos flashes co-
loridos para fixar id´eias. Seja o tempo e b a coor-
denada do flash azul, como medido no referencial m.
Neste caso, o tempo do flash azul medido no referencial
mon ´e
n
a
pb
V(
H
onde $ I .
\
e
q6R.
N \ 9
'^
OAI0
Analogamente, seja Lr o tempo e bsr a coordenada do
flash verde, como medido no referencial m. Neste caso,
o tempo do flash verde medido no referencial mon ´e
nr
&Lrt^
pbsr
(
Agora, subtraia a primeira transformac¸˜ao de Lorentz da
segunda. Como os flashes disparam simultaneamente,
temos u r. Seja b ub r qb V:4. km e seja
" LnU Lnr Ln . Ent˜ao
" n '
v b
6 L
4A!
R.
N \ 9
8:4.j; .Y
\
P
<; .SUw s
(b) Como " Ln e negativo,´ Ln e maior do que´ Lnr. O flash
verde dispara antes no referencial mon.
37.4 A relatividade das velocidades
E 38-24 (42-29/
edic¸ ˜ao)
A partir de medidas do deslocamento para o vermelho,
os astrˆonomos chegaram `a conclus˜ao de que um certo
quasar x y est´a se afastando da Terra a uma velocida-
de de.
P 1. O quasar x
, que est´a na mesma direc¸˜ao
que x y, mas se encontra mais pr´oximo da Terra, est´a se
afastando a uma velocidade de.
C
. Qual seria a velo-
cidade de afastamento de x
medida por um observador
localizado em x y?
Chame de z o referencial fixo na Terra e de z no refe-
rencial fixo no quasar x y, movendo-se com velocidade
{.
P 1 em relac¸˜ao `a Terra. Desejamos encontrar a
velocidade |}n no referencial z+n , fixo em x y, que corres-
ponda a uma velocidade |~.
C
em relac¸˜ao `a Terra
(velocidade esta que, ´e claro, vem a ser a velocidade do
quasar x
como medida na Terra). Portanto, usando-se
a transformac¸˜ao INVERSA da Eq. 38.28, vemos que a
velocidade |}n de x
medida em x"y e´
| n
O|! a
C
P 4
M68.
P 4
6 R.
C
I a
\
P1P+ H
onde o sinal negativo indica que x
esta afastando-se de
x"y (i.e. movendo-se em direc¸˜ao `a Terra).
NOTA: leia o livro-texto e aprenda como, a partir da
Eq. 38.28, obter a express˜ao da transformac¸˜ao INVER-
SA, acima usada.
37.5 O efeito Doppler para a luz
P 38-31 (42-36/
edic¸ ˜ao)
Uma espac¸onave est´a se afastando da Terra a uma ve-
locidade de.
. Uma fonte luminosa na popa da nave
parece azul (
C
\
. nm) para os passageiros. Que cor
teria a fonte para um observador terrestre que estivesse
assistindo `a partida da nave?
Como a espac¸onave est´a se afastando da Terra temos
que, de acordo com a Eq. 38-30,
X
H
onde
e a freq¨´ uˆencia no referencial da espac¸onave,
! , e ´e a velocidade da espac¸onave em relac¸˜ao `a
Terra. A freq¨uˆencia e o comprimento de onda obedecem
a relac¸˜ao
, de modo que se for o comprimento
de onda visto na espac¸onave e o comprimento detec-
tado na Terra, ent˜ao
, de onde tiramos que
XK
C\
XG.
N
N
\
1\
nm
Este comprimento de onda corresponde a uma cor
amarelo-esverdeada no espectro vis´ıvel.
37.6 Uma nova interpretac¸ ˜ao da energia
P 38-38 (42-46/
edic¸ ˜ao)
Qual ´e o trabalho necess´ario para fazer a velocidade de
um el´etron aumentar (a) de.
>P1 para.
e (b) de
.
P 4 para.
? Observe que o aumento de velocida-
de ´e o mesmo (.
. ) nos dois casos.
(a) O trabalho ´e dado pela diferenc¸a das energias
cin´eticas calculadas para cada uma das velocidades
mencionadas. Da Eq. 38.49 sabemos que 6
. Portanto,
l .
l .
P4 (
6 L
.2 P1Qq
(b) ^
l .
l .
P (
A
4P1P1P
\
\
41:4W
Vemos claramente que
P
. Ou seja,
quando estivermos andando com velocidades mais ele-
vadas, custa bem mais mudar a velocidade de uma mes-
ma quantidade (.
.2 no problema em quest˜ao).
P 38-44 (42-55/
edic¸ ˜ao)
O tempo de vida m´edio dos m´uons em repouso ´e
s.
As medidas dos m´uons produzidos em um acelerador
de part´ıculas mostram que eles tˆem um tempo de vida
de
s. Determine (a) a velocidade, (b) a energia
cin´etica e (c) o momento destes m´uons no referencial
do laborat´orio. A massa de um m´uon ´e
A
vezes maior
que a do el´etron.
(a) Da Eq. 38.9 vemos que intervalos m´edios de vi-
da [ou seja, que o tempo de vida m´edia em repouso
e , viajando com velocidade ] est˜ao relacionados do
seguinte modo:
Portanto, temos
^(
NQ
s
s (
!C
P
Portanto, a velocidade pedida ´e </.
!C
P
(b) Da Tabela 38.3 vemos que a energia de repouso dum
el´etron vale
\
1 keV. Portanto, para o m´uon a energia de
repouso ´e
Q 76
A
\
1;=>. Y
\
BA
>.1 MeV
Consequentemente,
q
t
N g (
6 L .4 MeV
MeV
(c) Das Eqs. 38.51 e 38.52 temos que
q68
6 RX
q68o
X .4
g>.1 :
C
MeV I
