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CAPÍTULO 11 - MERCADO DE ATIVOS
1. Suponha que o ativo A possa ser vendido a US$11,00 no próximo período. Se outros ativos semelhantes a A pagarem uma taxa de rendimento de 10%, qual deve ser o preço atual do ativo A? R : Considerando que este mercado seja competitivo, e que não seja possível a arbitragem, o ativo A deverá estar se valorizando também em 10% do período atual para o próximo período para que atinja o valor de US$11,00, e dessa maneira, seja equivalente aos outros ativos semelhantes à si. Logo, o preço atual do ativo A deverá ser US$10,00. Isso é equivalente a definirmos o Valor Presente de A a partir dos ativos que lhe são equivalentes: 2. Uma casa que pode ser alugada por US$10.000,00 anuais e vendida por US$110.000, daqui a um ano pode ser comprada por US$100.000,00. Qual a taxa de rendimento dessa casa? R : A taxa de retorno será dada pela razão entre os rendimentos recebidos e o valor presente do ativo. No caso, os rendimentos a serem recebidos será (10.000,00) referente ao aluguel e (10.000,00) referente à valorização nominal do imóvel, e o valor presente do imóvel é dado como 100.000,00. Sendo assim, temos: 3. Os pagamentos de certos tipos de bônus (por exemplo, os bônus municipais) não são tributados. Se bônus semelhantes, porém tributados, rendem 10%, e todos os investidores enfrentam uma taxa marginal de imposto de 40%, que taxa de rendimento os bônus não tributados têm de proporcionar? R : Como colocado no livro texto. O fato de ativos diferentes serem taxados de forma diferenciada significa que a regra de arbitragem tem de ser ajustada para levar em consideração as diferenças na tributação ao se compararem as taxas de rendimento. Suponhamos que um ativo pague uma taxa de juros antes dos impostos de r b, enquanto outro ativo pague um rendimento livre de impostos, r c. Se ambos pertencem a indivíduos que pagam impostos de renda à taxa t, teremos de ter (1 - t ) r b = r c
Sendo assim, no caso da questão apresentada, (1 - 0,4)0,1 = r c r c = 0,06.
4. Suponhamos que um recurso escasso, mas de demanda constante, se esgote em dez anos. Se um recurso alternativo estiver disponível ao preço de US$40,00 e se a taxa de juros for de 10%, qual terá de ser o preço de hoje do recurso escasso? R: Considerando que, o preço máximo que esse recurso poderá atingir é o preço equivalente do seu substituto imediato, então temos que o preço hoje desse ativo, p 0, deve crescer à taxa de juros r nos próximos T anos para ficar igual à tal preço.
Sendo assim, para os dados do problema:
Postado por Gabriel Leão às 21:02 Nenhum comentário:
CAPÍTULO 10 - ESCOLHA INTERTEMPORAL
1. Quanto valem hoje US$1.000.000,00 a serem entregues dentro de 20 anos a uma taxa de juros de 20%? R : O que a questão pede, é exatamente a definição do valor-presente , definido da seguinte forma pelo Varian:
"O valor presente é a única forma correta de converter determinado fluxo de pagamentos em unidades monetárias de hoje".
Em termos matemáticos, o valor presente pode então ser definido como
Onde x é o valor futuro para o qual se analisa o valor presente, r é a taxa de juros (considerada constante) à qual tal valor é analisado, e t é o número de períodos no qual corre tal valor.
Sendo assim, para a questão dada teríamos:
que corresponde à US$26.084,0533.
No livro, o Varian, ou seja lá quem tenha editado os exercícios, foi preguiçoso, e deu uma resposta baseada na tabela 10.1 do capítulo 10, onde ele calcula o valor presente de US$1, para vários períodos.
No caso, para US$1,00 a ser pago daqui a vinte anos o valor presente corresponderia a US$0,03. O autor então pegou esse valor e o multiplicou por 1.000.000,00 obtendo o valor de US$30.000.000,00 (quase US$4.000,00 de diferença!). Esse erro ocorre porque na tabela os valores foram arredondados para duas casas decimais, o valor mais preciso seria 0,0260840533045888, que possui diferença insignificante no contexto de US$1,00. Porém, no contexto de US$1.000.000,00 a diferença se torna consideravelmente grande. Este é um bom exemplo de que não podemos desprezar pequenas imprecisões em determinados contextos.
2. À medida que a taxa de juros aumenta, a restrição orçamentária intertemporal torna-se mais íngreme ou mais plana? R : Observe a curva de restrição orçamentária intertemporal:
(diminuição da taxa de juros), essa curva se torna mais plana. Quando há uma mudança na taxa de juros, a curva de restrição orçamentária gira tendo como pivô o ponto de dotação inicial do indivíduo (afinal sua renda nominal não mudara). Logo, o seguinte gráfico ilustra essa situação:
Observe que, se o sujeito continua como emprestador, a curva de indiferença que tocará a sua curva de restrição deverá obrigatoriamente passar pela área amarela. Logo, ela não terá como estar acima da curva de indiferença anterior (esse exemplo não perde em generalidade). Logo, o sujeito estará numa condição pior (uma vez que estará numa curva de indiferença inferior).
5. Qual o valor presente de US$100,00 daqui a um ano, à taxa de juros de 10%? E qual o valor presente se a taxa for de 5%? R : Como na primeira questão, podemos utilizar a seguinte fórmula:
À 10% teremos:
À 5% teremos:
Postado por Gabriel Leão às 14:50 Um comentário:
SEGUNDA-FEIRA, 17 DE MAIO DE 2010
CAPÍTULO 7 - PREFERÊNCIA REVELADA
1. Quando os preços são ( p 1, p 2) = (1, 2), o consumidor demanda ( x 1, x 2) = (1, 2) e quando os preços são ( q 1, q 2) = (2, 1), o consumidor demanda ( y 1, y 2) = (2, 1). Esse comportamento é consistente com o modelo de comportamento maximizador? R: Observe primeiramente o consumo do bem 1. Quando este custava 1, o consumidor comprou 1, e quando custava 2, o consumidor comprou 2. Na verdade ele podia ter comprado 2 antes. Agora observe o consumo do bem 2. Quando este custava 2 o consumidor comprou 2, e quando passou a custar 1 ele comprou apenas 1, sendo que se o seu gosto se tivesse mantido constante ele poderia ter comprado quatro. Juntado o consumo de ambos os bens torna-se claro que o consumidor está violando o Axioma Fraco da Preferência Revelada, e não está sendo consistente com o modelo de comportamento maximizador. 2. Quando os preços são ( p 1, p 2) = (2,1), o consumidor demanda ( x 1, x 2) = (1, 2) e quando os preços são ( q 1, q 2) = (1, 2), o consumidor demanda ( y 1, y 2) = (2,1). Esse comportamento é coerente com o modelo de comportamento maximizador? R: Vamos observar novamente o consumo de cada bem, primeiramente o bem 1. Quando este custava 2, o consumidor comprou 1 dele. E quando passou a custar 1 o consumidor comprou
- Desta maneira ele foi consistente com suas escolhas. Para o bem 2, quando o preço era 1 o consumidor comprou 2, e quando era 2 o consumidor comprou 1, mantendo-se fiel às suas escolhas anteriores. Logo, o consumidor realmente não podia consumir a cesta y antes, sendo assim coerente com o modelo de comportamento maximizador. 3. No exercício anterior, qual cesta é preferida pelo consumidor, a cesta X ou a cesta Y? R: Não há como responder à questão por que os bens trocaram de posição quanto aos preços. Se alguma das cestas tivesse sido consumida quando a outra estava disponível, ai sim poderíamos dizer que tal cesta é preferida em relação à outra que estava disponível. 4. Vimos que o ajustamento da Previdência Social para as variações de preços tipicamente fariam com que os beneficiários ficassem pelo menos tão bem quanto estavam no ano-base. Que tipo de variações de preços deixaria os beneficiários exatamente na mesma situação, independentemente de suas preferências? R: Se ambos os preços variarem na mesma quantidade, a nova reta orçamentária será paralela à anterior e assim, com a compensação da renda, o aposentado voltaria ao mesmo ponto de consumo anterior.
Assim, se u ( x 1, x 2) > u ( y 1, y 2), saberemos que u ( tx 1, tx 2) > u ( ty 1, ty 2), de modo que as preferências Cobb-Douglas serão ainda homotéticas.
4. A curva de renda-consumo está para a curva de Engel como a curva de preço- consumo está para a...? R: Para responder a esta questão "tão bem elaborada" basta que raciocinemos sobre qual variável econômica é derivada da relação de preço e consumo. Na verdade, duas grandezas principais são extraídas, a oferta e a a demanda. No caso, como estamos trabalhando com a teoria do consumidor, torna-se claro que a curva derivada da curva de preço-consumo é a curva de demanda. 5. Se as preferências forem côncavas, o consumidor chegará a consumir ambos os bens juntos? R: Não, pois o seu ponto ótimo dada a sua restrição orçamentária sempre implicará em uma solução de canto (consumo zero de um dos bens). 6. Hambúrgueres e pãezinhos são complementares ou substitutos? R: A questão é tosca mas tem algo de interessante. Se pensarmos em termos sanduíches, diremos que os bens propostos são complementares. Mas se pensarmos que há muitas pessoas que consomem hambúrgueres isoladamente, podemos pensas que como ambos são alimentos, seriam substitutos. 7. Qual a forma da função de demanda inversa para o bem 1 no caso de complementares perfeitos? R: Para inverter uma função de demanda é só evidenciar o preço do bem ao invés da sua quantidade na sua função de demanda. Como nos casos de complementares perfeitos essa função de demanda para o bem 1 é dada por x 1 = m /( p 1 + p 2), teremos que sua função de demanda inversa será dada por p 1 = ( m / x 1) - p 2. 8. Verdadeiro ou Falso? Se a função de demanda é x 1 = - p 1, então a função de demanda inversa será x = 1/ p 1. R: Falso. Como foi feito na questão anterior, seria o caso de evidenciar o preço, a função de demanda inversa seria p 1 = - x 1.
Postado por Gabriel Leão às 05:38 Nenhum comentário:
CAPÍTULO 5 - ESCOLHA
1. Se dois bens forem substitutos perfeitos, qual será a função de demanda do bem 2?
R: Quando os bens são substitutos perfeitos nós temos uma condição que pode ser caracterizar de três maneiras distintas. Primeiro observe o gráfico de escolha ótima para tais bens:
Observe que se o preço do bem 1 for menor do que o preço do bem 2, o consumidor irá consumir somente do bem 1, e nesse caso a reta orçamentária será mais plana que a curva de indiferença (que nesse caso é linear). Caso o bem 2 seja mais barato, a reta orçamentária será mais inclinada que a reta orçamentária, concentrando o consumo numa solução de canto para o bem 2. Caso ainda o preço dos bens seja iguais, a reta orçamentária terá a mesma inclinação que a curva de indiferença, e qualquer combinação dos dois bens é uma escolha ótima. Isso pode ser sintetizado na seguinte forma:
2. Suponhamos que as curvas de indiferença sejam descritas por linhas retas com uma inclinação de - b****. Dados preços arbitrários p 1 e p 2 e renda em dinheiro m , como serão as escolhas ótimas do consumidor? R: Se as curvas são retas é porque tratamos de bens substitutos. Se b = 1 então teremos o caso de substitutos perfeitos. No caso, não sabemos exatamente o valor de b , mas o tratamento analítico será semelhante ao da questão anterior. Podemos averiguar as seguintes condições: A inclinação da reta orçamentária é absolutamente maior ou menor que b? - Para p 1/ p 2 > b , a reta orçamentária será mais inclinada, e nesse caso, a quantidade a se concentrar o consumo será no bem 2. - Para p 1/ p 2 < class="Apple-tab-span" style="white-space:pre"> concentrar o consumo será o bem 1. - Para p 1/ p 2 = b, temos que qualquer quantia dentro da curva de indiferença que toca a reta orçamentária será uma escolha ótima. 3. Suponhamos que o consumidor consuma sempre duas colheres de açúcar em cada xícara de café. Se o preço de cada colher de açúcar for p 1 e o da xícara de café, p 2, e se o consumidor tiver US$ m para gastar em café e açúcar, quanto o consumidor quererá comprar? R: O raciocínio que devemos fazer é o seguinte: para cada xícara de café consumida o consumidor compra duas colheres de açúcar. Sendo assim, na sua função de demanda, o número de colheres será duas vezes o número de xícaras. Logo, se simbolizarmos xícaras de café por x , teremos a seguinte equação de demanda: p 1(2 x ) + p 2 ( x ) = m Isolando x temos: x = m /(2 p 1 + p 2)
SÁBADO, 15 DE MAIO DE 2010
CAPÍTULO 4 - UTILIDADE
1. O texto afirmou que a elevação de um número a uma potência ímpar era uma transformação monotônica. E a elevação de um número a uma potência par? Seria uma transformação monotônica? (Dica: examine o caso f ( u ) = u ²) R: A transformação monotônica é um caso em que o ordenamento da utilidade deve ser mantido perante o ordenamento da quantidade dos bens. Ou nas palavras matemática de Varian, "transformação monotônica é um modo de transformar um conjunto de números em outro, mas preservando a ordem original dos números". Por essa definição, fica claro porque a potência ímpar é uma transformação monotônica, ela mantém a ordem dos números transformados mesmo que eles sejam negativos (o expoente ímpar de um número negativo é um número negativo), o que não ocorre em expoentes pares. Isso responde à pergunta do enunciado. A elevação a uma potência par seria uma transformação monotônica somente para números pares. 2. Qual das seguintes transformações é monotônica? (1) u = 2 v - 13; (2) u = -1/ v ² ; (3) u = 1/ v²; (4) ( u ) = ln v ; (5) u = -exp[- v ]; (6) u = v ²; (7) u = v ² para v > 0; (8) u = v² para v <>. R: Considerando as definições colocadas na resposta da questão 1, temos: Para (1) a tranformação é monotônica, pois é linear, e toda forma linear é uma transformação linear. Para (2) a transformação não é monotônica, pois números crescentes serão transformados em números decrescentes. Para (3) a transformação não é linear pois os valores negativos serão positivados enquanto os positivos continuarão negativos, afetando a ordem. Para (4) a transformação pode ser monotônica desde que considerada apenas para v positivo (não há nenhum número para o qual elevemos e que resulte em um número negativo). Para (5) ela será uma transformação monotônica para todos os números, já que a ordem é mantida graças ao "meno" que antecede a exponencial. Para (6) não há transformação monotônica (vide exercício anterior). Para (7) há transformação monotônica dada a restrição de positividade de v imposta. Para (8) não há transformação monotônica uma vez que a ordem dos valores será alterada.
3 Afirmamos no texto que, se as preferências fossem monotônicas, uma diagonal que partisse da origem interceptaria cada uma das curvas de indiferença apenas uma vez. Você pode provar isso de maneira rigorosa? (Dica: o que aconteceria se a diagonal interceptasse alguma curva de indiferença duas vezes?) R: Se tal linha interceptasse uma mesma curva mais de uma vez, implicaria que esses dois pontos de intercepto teriam utilidades equivalentes. Porém como a transformação é monotônica, isso seria um absurdo, pois o segundo intercepto implicaria em maior utilidade do que o intercepto anterior.
4.Que tipos de preferências são representados pela função de utilidade com a forma
? E pela função de utilidade ? R: No caso da primeira função temos um caso em que acréscimos do bem 1 ou do bem 2 ocasionam aumento da utilidade independente do outro bem. A utilidade aumenta da mesma forma se acrescentarmos um ou outro bem, temos assim um caso de substitutos perfeitos. Observe que o mesmo princípio se aplica à segunda equação de utilidade, sendo esta também um caso de substitutos perfeitos.
5. Que tipo de preferências a função de utilidade com a forma
representa? A função de utilidade é uma transformação monotônica de? R: O primeiro caso trata de preferências quase-lineares. Essa é um tipo raro mas útil de forma de preferência. Para a segunda pergunta do enunciado a resposta é sim. Basta observar que trata-se de um quadrado perfeito de uma soma que tem sempre resultados não-negativos (já que estamos tratando da quantidade dos bens).
6. Considere a função de utilidade. Que tipo de
preferência ela representa? E a função é uma transformação
monotônica de? E a função é uma
transformação monotônica de? R: A primeira função seria o equivalente a multiplicar a quantidade do bem 1 elevada à 1/2, pela quantidade do bem 2 elevada à 1/2. Como 1/2 + 1/2 = 1, estamos diante de uma Cobb- Douglas, que gera uma curva de preferências normal e bem comportada. Quanto à segunda pergunta ela não pode ser considerada uma transformação monotônica porque, ao potencializar somente o primeiro bem estaremos alterando a ordem na qual a quantidade de cada bem é estabelecida. Já no segundo caso, como cada bem é potencializado, tal ordem é mantida, podendo assim ser considerada uma transformação monotônica.
7. Como você explica que tomando-se uma uma transformação monotônica de uma função de utilidade a taxa marginal de substituição não se altera? R: Isto ocorre porque a TMS analisa a razão das utilidade dos dois bens em questão. Se a TMS for tomada então numa curva de indiferença, tal proporção não deve se alterar, pois o conjunto de bens implicará sempre na mesma quantidade de utilidade, sendo assim a TMS também não se alterará. Observe que as utilidades marginais de cada bem mudam com a transformação monotônica, mas a razão entre as utilidades marginais permanece a mesma. Postado por Gabriel Leão às 11:36 Um comentário:
CAPÍTULO 3 - PREFERÊNCIAS
1. Se observarmos o consumidor escolher quando está disponível,
poderemos concluir que? R: Preste atenção ao sinal da relação entre uma cesta e outra. No enunciado, está se afirmando que a cesta x é estritamente preferível à cesta y. Na verdade, a única coisa que podemos concluir é que a cesta x é pelo menos tão boa quanto a cesta y (elas são no mínimo iguais). Ou seja, a resposta é NÃO, e a relação deveria ser denotada por
.
6. A Figura 3.2 poderia ser uma única curva de indiferença se as preferências fossem monotônicas? R: Não, porque a ordem crescente da utilidade não seria respeitada, uma vez que existem cestas que possuem estritamente mais dos dois bens que outra na mesma curva de indiferença. 7. Se tanto o pimentão quanto a anchova forem males, a curva de indiferença terá inclinação positiva ou negativa? R: A inclinação será negativa como para cestas normais, a diferença será que a utilidade crescerá na direção da origem. No livro há o exemplo em que a anchova é "mau" e o pimentão é "bem". Nesse caso, a curva teria inclinação positiva. 8. Explique por que as preferências convexas significam que "as médias são preferidas aos extremos". R: Porque o pressuposto da convexidade implica que o consumidor prefira fracamente uma cesta com um pouco de cada bem que uma cesta com apenas um dos bens, ou com grande maioria de um dos bens. Se tomássemos por exemplo o caso do "refrigerante" e "sanduíche", o consumidor provavelmente optaria por uma combinação média de ambos, ao invés de uma cesta só com refrigerante ou só sanduíche. 9. Qual a sua taxa marginal de substituição de notas de R$1 por R$5?
R: Considerando que a taxa marginal de substituição seja a razão dada por - que a taxa à qual o consumidor está propenso a substituir o bem 2 pelo bem 1, com a razão negativa para simbolizar que a curva de preferência tem inclinação negativa. Como a TMS é a própria derivada da curva de indiferença, ela tem que ser negativa. Sendo assim, no caso do enunciado, teríamos -5/1, ou seja, -5. O consumidor estaria disposto a trocar cinco notas de 1 por uma de 5. (Seria -1/5 para a troca dos eixos, como o mesmo significado).
10. Se o bem 1 for "neutro", qual será a sua taxa marginal de substituição pelo bem 2? R: Observe o gráfico para o caso de um bem neutro e um bem normal:
A quantidade do bem neutro não interfere na utilidade, que será dada somente pela quantidade do bem normal. Observe também que a Taxa Marginal de Substituição do bem normal pelo neutro será zero. Se você tirar uma bem normal do consumidor, não precisará acrescentar nada do bem neutro. É interessante aqui observar que a derivada é infinita, e de fato se dividirmos as variações teríamos um número inteiro do bem normal dividido por zero do bem 2. Mas tomando o conceito de TMS e de curvas de indiferença bem comportadas, desconsideramos esse caso excêntrico para a TMS, e levamos em conta a divisão do bem 2 (o) pelo bem 1, que será igual a zero.
11. Imagine alguns outros bens para os quais suas preferências podem ser côncavas. R: Seria o caso por exemplo de uma disciplina na faculdade na qual você deve buscar especialização em detrimento de outra. Se por exemplo você pretende na pós-graduação se especializar em Macroeconomia, não poderá se dedicar à microeconomia. Nesse caso, você
busca a especialização num dos bens, em detrimento de uma carga horária média entre as matérias.
CAPÍTULO 2 - RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA
1. A princípio, o consumidor defronta-se com a reta orçamentária p 1 x1 + p 2 x 2 = m****. Depois, o preço do bem 1 dobra, o do bem 2 passa a ser oito vezes maior e a renda quadruplica. Escreva uma equação para a nova reta orçamentária com relação aos preços e à renda originais. R: A resposta para a questão é simples, basta fazer a substituição na equação que define a reta orçamentária do consumidor. A reta orçamentária é o conjunto de cestas que custam exatamente m, como a equação do enunciado:
p 1 x 1 + p 2 x 2 = m
O que essa equação diz é que, dada a renda do sujeito, e dado o preço do bem 1 e do bem 2 (sendo que um dos bens pode ser algo específico e outro simbolizar todo o restante das mercadorias), o consumidor terá de encontrar as quantidades x 1 e x 2 que se adequem à essas condições. Logo, qualquer alteração nos preços ou na renda é considerada exógena, devendo ser incluída imediatamente na equação. A nova reta orçamentária então será dada por 2 p 1 x 1
2. O que ocorre com a reta orçamentária se o preço do bem 2 aumentar, mas a renda e o preço do bem 1 permanecerem constantes? R: Essa é uma questão clássica. Pensando intuitivamente, podemos observar que o consumo do bem 2 deverá diminuir enquanto o consumo do bem poderá ser mantido o mesmo. Observe que não estamos considerando que haja uma realocação da renda entre as proporções de consumo de cada bem. Em termos analíticos, podemos ver no gráfico que a reta se tornará menos íngreme, ou seja, o ponto onde a reta orçamentária corta x 2 no eixo das ordenadas irá se aproximar de zero. 3. Se o preço do bem 1 duplicar e o do bem 2 triplicar, como ficará a reta orçamentária: mais inclinada ou menos inclinada? R: Parecido com a primeira questão. Basta raciocinar que o preço que aumentar mais será aquele que se aproximará mais de zero. Se for o preço do bem 1 que aumentar mais, então a reta se tornará mais inclinada (considerando que o bem 1 é geralmente medido no eixo das abscissas). Se o preço do bem 2 aumentar, a reta tende a se tornar mais plana. Considerando o que o enunciado diz, o preço do bem 2 aumentará mais do que o do bem 1, tendendo a tornar a reta mais plana (menos inclinada). Analiticamente, podemos ainda pensar como a inclinação da reta ficará. Dado que atualmente (sem alterações nos preços), essa inclinação é dada por - p 1/ p 2, depois da mudança ela passará a ser - 2 p 1/3 p 2, que é menor do que 1, e logo menor do que a condição anterior. Ou seja, a inclinação da reta diminuirá, tornado-a mais plana. 4. Qual a definição de um bem numerário?
