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3 Trigonometria
Ficha para praticar 11
Pág. 54
π π π π 2 2sin cos sin 2 sin 8 8 8 4 2
= × = =
2 5π^2 5π^ 5π cos sin cos 2 8 8 8
− = × =
5 π π π 2 cos cos π cos 4 4 4 2
5π 5π 5π 2sin cos sin^2 5π 5π 8 8 8 cos sin 8 8 2 2
×
5π π π 2 sin sin^ π sin 4 4 4 2 2
2 2 2 2 4
2 5π^2 5π^2 5π^2 5π sin cos cos sin 12 12 12 12
5 π 5π cos 2 cos 12 6
= − × = − =
π π 3 3 cos π cos 6 6 2 2
^ ^
4 π 3π π sin , , π 5 2 2 2
( ) ( )
2 2 sin 2 α = 2sin α cos α; cos 2 α = cos α − sinαe
( )
( )
( )
sin 2 tan 2 cos 2
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
2 2 sin α + cos α= 1 , ou seja,
2 4 2 2 16 cos 1 cos 1 5 25
+^ =^ ⇔^ =^ −^ ⇔
cos cos cos 25 5 5
⇔ α= ⇔ α= − ∨ α= , como
π , π 2
α
, cos α < 0 , pelo que
cos 5
α = −.
( )
sin 2 2 5 5 25
α
( )
cos 2 25 25 25
α = − = − ; (^) ( )
tan 2 (^7 )
25
( ) ( ) ( )
sin 2 cos 2 tan 2 25 25 7 175
3. (^) ( ) ( )
2 2 2 2
cos 2 θ = cos θ − sin θ⇔ cos 2 θ = 1 − sin θ −sinθ
( )
2 ⇔ cos 2 θ = 1 − 2sinθ⇔. Como (^) ( )
cos 2 3
1 2sin 2sin 1 3 3
2sin sin sin sin 3 3 3 3
sin sin 3 3
0 < 2 θ < π, isto é,
π 0 2
< θ< pelo que
sin 3
4. sin (^) ( a + b (^) )= sin a cos b + sin b cos a (1)
Determinemos cos a e sin b.
Pela fórmula fundamental da trigonometria:
2 2 cos a + sin a = 1 , isto é,
2 2 2 2 cos 1 3
a
cos 1 9
⇔ a = − ⇔
cos cos cos 9 3 3
⇔ a = ⇔ a = − ∨ a =
Como
π , π ,cos 0 2
a a
pelo que
cos 3
a = −.
2 2 cos b + sin b = 1 , isto é,
2 (^3 ) sin 1 5
b
sin 1 sin 25 25
⇔ b = − ⇔ b = ⇔
sin sin 5 5
⇔ b = − ∨ b = , como
π , 0 2
b
sin b < 0 pelo que
sin 5
b = −.
Voltando a (1) :
( )
sin 3 5 5 3 5 15
a b
+ = × + − − = +
π π π cos cos cos sin sin 4 4 4
−^ =^ +
2 2 4 2 16 sin 1 sin 1 5 25
sin sin sin 25 5 5
Como
3π π , , sin 0 2
, pelo que
sin 5
Voltando a (1) :
π 2 4 2 3 cos 4 2 5 2 5
β
−^ =^ −^ +^ −^ =
π π π sin sin cos sin cos 4 4 4
α α α
−^ =^ −^ =
cos sin 2 2
= α − α =
( )
cos sin 2
= α − α
Como
cos sin 5
α − α= , substituindo:
π 2 1 2 sin 4 2 5 10
α
−^ =^ ×^ =
π 4π 3π π π cos cos cos 12 12 12 3 4
π π π π cos cos sin sin 3 4 3 4
= × + × = + =
π π π π π π π sin sin sin cos sin cos 12 3 4 3 4 4 3
= × − × = − =
π π 2 6 6 2 cos sin 12 12 4 4
Pág. 55
8.1. (^) ( ) ( )
2 2 4 4cos α− sin 2 α = 4cos α =
( )
2 2 = 4cos α− sin 2 α =
( ( ) ( ))
2 2 = 4cos α− 2sin α cosα =
2 2 2 = 4cos α− 4sin α cosα=
( (^ ))
2 2 = 4cos α 1 − sin α =
( (^ ))
2 2 4 = 4cos α cos α =4cosα
2 2 2
(^2 2 )
2 2 2 2
2 2
sin cos sin 1 1 tan (^) cos cos
1 tan sin cos sin 1 cos cos
α α α
α α α
α α α α
α α
( )
2 2 cos sin cos 2 1
8.3. (^) ( ) ( )
4 4 cos 3 α− sin 3 α =
( ) ( )
2 2 2 2
= cos^3 α ^ − ^ sin 3 α =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 = cos^3 α − sin 3 α ^ × cos^3 α +sin 3 α
( ) ( )
2 2 = cos^3 α − sin 3 α × 1
( ) ( )
2 2 = cos 3 α − sin 3 α =
= cos 2 ( × 3 α) =cos 6( α)
2
2
2
sin 2 2 tan (^) cos 2sin cos
1 tan 1 cos
cos
α
α α α α
α α
α
= 2sin α cos α=sin 2 ( α)
sin cos 2sin cos 2 4 4
x x = ⇔ x x = × ⇔
( ) ( )
1 π sin 2 sin 2 sin 2 6
⇔ x = ⇔ x =
π π 2 2 π 2 π 2 π, 6 6
⇔ x = + k ∨ x = − + k k ∈ ℤ⇔
π 5π π π, 12 12
⇔ x = + k ∨ x = + k k ∈ ℤ
9.2. ( )
cos sin cos 2 2 2
x − x = − ⇔ x = − ⇔
( )
5π cos 2 cos 6
x
5π 5π 2 2π 2 2π, 6 6
⇔ x = + k ∨ x = − + k k ∈ ℤ⇔
5π 5π π π, 12 12
⇔ x = + k ∨ x = − + k k ∈ ℤ
1 3 1 π π 1 cos sin cos cos sin sin 2 2 2 3 3 2
x − x = ⇔ x − x = ⇔
π 1 π π cos cos cos 3 2 3 3
x x
π π π π 2 π 2 π, 3 3 3 3
⇔ + x = + k ∨ + x = − + k k ∈ ℤ⇔
2π 2 π 2 π, 3
⇔ x = k ∨ x = − + k k ∈ ℤ
9.4. sin x = −cos x − 1 ⇔ sin x + cos x = − 1 ⇔
sin cos 2 2 2
⇔ x + x = − ⇔
π π 2 sin cos sin cos cos 4 4 2
⇔ x + x = − ⇔
π π sin sin 4 4
x
π π π π π 2 π, 4 4 4 4
x x k k
π 2 π π 2 π, 2
⇔ x = − + k ∨ x = + k k ∈ ℤ
9.5. sin sin sin sin 0 2 2
x x x = − ⇔ x + = ⇔
2sin cos sin 0 sin 2cos 1 0 2 2 2 2 2
x x x x (^) x ⇔ + = ⇔ (^) + (^) = ⇔
sin 0 2cos 1 0 2 2
x x ⇔ = ∨ + = ⇔
sin 0 cos 2 2 2
x x ⇔ = ∨ = −
2π 2π π 2 π 2 π, 2 2 3 2 3
x x x ⇔ = k ∨ = + k ∨ = − + k k ∈ ℤ⇔
4π 4π 2 π 4 π 4 π, 3 3
⇔ x = k ∨ x = + k ∨ x = − + k ℤ
9.6. ( )
2 2 cos 2 x − sin x = 0 ⇔ cos x − sin x − sin x = 0 ⇔
2 2 ⇔ 1 − sin x − sin x − sin x = 0 ⇔ 2 ⇔ − 2sin x − sin x + 1 = 0 ⇔ 2 ⇔ 2sin x + sin x − 1 = 0 ⇔
(^1 1 4 2) ( 1 ) sin 2 2
x
− ± − × × −
×
sin sin 4 4
x x
sin sin 1 4
⇔ x = ∨ x = − ⇔
π π sin sin sin sin 6 2
x x
π 5π π 2 π 2 π 2 π, 6 6 2
⇔ x = + k ∨ x = + k ∨ x = − + k k ∈ ℤ
9.7. (^) ( )
2 2 cos 2 x −5cos x + 3 = 0 ⇔ cos x −sin x −5cos x + 3 = 0 ⇔
( )
2 2 ⇔ cos x − 1 − cos x − 5cos x + 3 = 0 ⇔
2 2 ⇔ cos x − 1 + cos x − 5cos x + 3 = 0 ⇔ 2 ⇔ 2cos x − 5cos x + 2 = 0 ⇔
cos 2 2
x
± − × ×
×
cos 2 cos 2
⇔ x = ∨ x = ⇔
Portanto:
7 π 9π π π 7π
16 32 32 16 32
x = − ∨ x = − ∨ x = − ∨ x = ∨ x = ∨
15 π 9π 23π 31π
32 16 32 32
∨ x = ∨ x = ∨ x = ∨ x =
10.5. 2 cos( x + sin x ) = 1 ⇔ 2 cos x + 2 sin x = 1 ⇔
cos sin 2 2 2
⇔ x + x = ⇔
π π 1 cos cos sin sin 4 4 2
⇔ x + x = ⇔
π π cos cos 4 3
x
π π π π 2 π 2 π, 4 3 4 3
⇔ − x = + k ∨ − x = − + k k ∈ ℤ⇔
π π π π 2 π 2 π, 3 4 3 4
⇔ − x = − + k ∨ − x = − − + k k ∈ ℤ⇔
π 7π 2 π 2 π, 12 12
⇔ x = − − k ∨ x = − k k ∈ ℤ
Como
π π , 2 6
x
, vem que
π 2 π 12
x = − + k
π 0 12
k = ⇒ x = −
23 π 1 12
k = ⇒ x =
25 π 1 12
k = − ⇒ x = −
7π 2 π 12
x = + k
7 π 0 12
k = ⇒ x =
17 π 1 12
k = − ⇒ x = −
Portanto,
π
x = −
11. (^) ] [
π π , 2π , π 2 2
x x
3cos 2 cos 2 2 3
x x = − ⇔ = −
2 2 cos sin 1 2 2
x x
2 2 2 2 2 sin 1 sin 1 3 2 2 9
x x −^ +^ = ⇔^ = −^ ⇔
sin sin sin 2 9 2 3 2 3
x x x ⇔ = ⇔ = ∨ = −
Se
2 π cos 0 , π 2 2 2
x x
= −^ <^ ∧^ ∈
então, sin 0 2
x
, pelo que,
sin 2 3
x =.
( )
π cos π cos cos sin 2
x x x x
2 2 cos sin 2sin cos 2 2 2 2
^ x^ x^ x^ x = − (^) − (^) + =
^ ^ ^
12.1. Seja M o ponto médio de (^) [ AC ] ,tem-se que
tan 2 ( ) 2 tan 2( ) 2
BM
x = ⇔ BM = x
Área (^) [ ]
( ) ( )
4 2 tan 2 4 tan 2 2 2
AC BM x ABC x
× ×
Portanto, (^) ( ) ( )
π 4 tan 2 , 0 , 4
A x x x
π 4 4 sin cos 2 5 5
β β
2 2 4 2 16 sin 1 sin 1 5 25
sin sin 25 5
⇔ β= ⇒ β= , pois β ∈1.º Q
( )
sin 2 2sin cos 2 5 5 25
β = β β= × × =
( )
2 2 cos 2 β = cos β − sin β=
2 2 4 3 16 9 7
( )
( )
( )
sin 2 25 24 25 24 tan 2 cos 2 7 7 25 7
25
β β β
×
×
( ) ( )
4 tan 2 4 7 7
A β = β = × =
Portanto, (^) ( )
A β =.
13.1. (^) ] [
π π sin cos cos sin 0 0 , 2π 3 3
x − x > ∧ x ∈ ⇔
π π π 5π sin 0 , 3 3 3 3
x x
π π π 0 π π 3 3 3
⇔ < x − < ⇔ < x < + ⇔
π 4π , 3 3
x
13.2. cos 2( x ) + 3cos x ≥ 1 ∧ x ∈ −] π , π[
] [
2 2 ⇔ cos x − sin x + 3cos x ≥ 1 ∧ x ∈ −π , π ⇔
( ) ]^ [
2 2 ⇔ cos x − 1 − cos x + 3cos x ≥ 1 ∧ x ∈ − π , π⇔
] [
2 ⇔ 2cos x + 3cos x − 2 ≥ 0 ∧ x ∈ − π , π⇔
Cálculo auxiliar: 2 2 cos x + 3cos x − 2 = 0
cos 2 2
x
− ± − × × − ⇔ = ×
3 5 3 5 cos cos 4 4
x x
− + − − ⇔ = ∨ =
1 cos cos 2 2
⇔ x = ∨ x = −
] [
2 2cos x + 3cos x − 2 ≥ 0 ∧ x ∈ − π , π⇔
] [
cos 2 cos π , π 2
x x x
] [
cos π , π 2
x x x
] [
cos π , π 2
⇔ x ≥ ∧ x ∈ − ⇔
π π
⇔ − ≤ x ≤
Portanto,
π π , 3 3
x
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14. Área [ ] 2
RQ PQ
PQR
×
cos α = OQ ; sin α = PQ
RQ = RO + OQ = 1 +cos α
Assim:
( )
( 1 cos^ )sin^ sin sin cos
x x (^) x x x A x
2 sin ( sin cos )
x + x x = = ×
2sin 2sin cos 2sin^ sin 2 ( )
x + x x x^ + x = =
Portanto, (^) ( )
2sin sin 2( )
x x A x
15.1. Perímetro ∆ (^) [ ABC (^) ]= AB + BC + AC
tan tan tan 1
BC BC
x x x BC AB
cos cos cos
AB
x x AC AC AC x
( )
1 tan cos
f x x x
sin 1 cos sin 1 1 cos cos cos cos cos
x x x
x x x x x
1 sin cos
cos
x x
x
Portanto, ( )
1 sin cos π , 0 , cos 2
x x f x x x
15.2. ( )
( ) ( )
( )
1 sin 2 cos 2 2 cos 2
x x f x x
2 2
2 2
1 2sin cos cos sin
cos sin
x x x
x x
( )( )
2 2 1 sin cos 2sin cos
cos sin cos sin
x x x x
x x x x
( )( )( )
2 2 cos cos 2sin cos
cos sin cos sin
x x x x
x x x x
( )( )
2 2cos 2sin cos
cos sin cos sin
x x x
x x x x
( )
( )( )
2cos cos sin
cos sin cos sin
x x x
x x x x
2cos
cos sin
x
x x
2cos
sin cos 1 cos
x
x x x
, pois
π 0 , 2
x
, cos x ≠ 0.
1 tan x
Logo, ( )
1 tan
f x x
16. ( ) ( )
π 3π 2 sin sin 4 sin 4 sin π 2 2 3
θ θ θ θ
−^ +^ +^ −^ =^ ⇔
( ) ( ) ( ( ))( )
cos sin 4 cos 4 sin 32
⇔ θ θ + − θ θ = ⇔
( ) ( )
cos sin 4 cos 4 sin 3
⇔ θ θ − θ θ= ⇔
( ) ( )
sin 4 cos sin cos 4 3
⇔ θ θ − θ θ = ⇔
( ) ( )
sin 4 sin 3 3 3
⇔ θ − θ = ⇔ θ =
Por outro lado:
( ) ( ) ( )
2 2 cos 6 θ = cos 3 θ − sin 3 θ =
( ) ( )
2 2 = 1 − sin 3 θ − sin 3 θ =
( )
2 2 2 8 1 1 2sin 3 1 2 1 3 9 9
= − = − × = − =
1 sin cos tan 3 3 tan cos sin
2 2 sin cos 3 cos sin
β β
β β
cos β sinβ
⇔ 3cos β sin β= 1 ∧ cos β sin β≠ 0 ⇔
cos sin 2cos sin 3 3
⇔ β β= ⇔ β β= ⇔
( )
sin 2 3
⇔ β =
18.1. (^) ( )
( )
( )
sin tan cos
sin cos sin cos
cos cos sin sin
- O triângulo (^) [ ADC (^) ]é isósceles e retângulo em A
Logo,
π
α = pelo que
cos sin 2
α = α=.
• AB = 1 + 1 + 3 = 2 + 3
( )
2 2 2 BC = 1 + 2 + 3 = 1 + 4 + 4 3 + 3 = 8 + 4 3
Como BC > 0 , vem BC = 8 + 4 3.
cos
8 4 3
AB
BC
β = =
sin
8 4 3
AC
BC
β = =
( )
tan 2 2 3 2 1
2 2 8 4 3 8 4 3
× + ×
× − ×
×
×
( )( )
( )( )
+ − −^ −
18.2. (^) ( )
2 2
cos 2 β = cos β − sin β=
2 2 2 3 1
+^ +
( )
2 (^2 3 )
sin 1 lim lim sin 0 x x
x x →−∞ (^) x →−∞ x
= × =
dado que
, 1 sin 1, lim 0 x
x x →−∞ x
∀ ∈ ℝ − ≤ ≤ = e o limite de
uma função limitada por uma função de limite nulo é
igual a 0.
( )
π 2
tan lim π
x
x
x → −
, temos de calcular os limites laterias:
( )
π 2
tan lim π (^0)
x
x
x
− − →
e
( )
π 2
tan lim π (^0)
x
x
x
→
Portanto,
( )
π 2
tan lim π
x
x
x →
( )
2
0 0
lim lim x (^) sin x sin
x x^ x x
→ (^) x → x
( ) ( ) ( ) 0 0
0
lim lim 1 1 1 1 sin sin 1 lim
x x
x
x x x x
x
→ →
→
= × − = × − = × − = −
( )
(^0) ( ) 0 0 ( )
sin (^) sin lim lim lim x (^) sin 4 x x sin 4
x (^) x x
→ (^) x → (^) x → x
= − × =
( ) 0
1 lim 4 x sin 4
x
→ x
= − × × =
0
4 sin 4 lim y
y
→ y
= − × = −
( )
0 0
π 2
cos lim π
x
x
x
→
0
π cos 2 lim y
y
→ y
0 0
sin sin lim lim 1 y y
y
→ (^) y → y
( ) ( )
( )( )
0 0
3 2 3
sin 3 sin 3 lim lim x (^) 9 x 3 3
x x
x x x
→ →
( )
3 3
1 sin^3 lim lim x (^) 3 x 3
x
→ (^) x → x
= ×
0
1 sin 1 lim 3 3 y 6
y
→ y
= × =
( )
( )
0 0
π π^2 4 4
sin 1 1 tan cos lim lim x cos 2^ x cos^ sin
x
x x
x x x
→ →
( )
π 2 2 π^2 4 4
cos sin
cos cos^ sin lim lim x cos sin x cos cos sin
x x
x x^ x
→ x x → x x x
( )( ) π 4
lim x → cos^ x^ cos^ x^ sin x
( )
0 0
0
π cos 2 lim x sin 2
x
x
→
( ) 0
sin lim x sin 2
x
→ x
0 0
sin 1 1 lim lim x (^) 2sin cos x 2cos 2
x
→ (^) x x → x
lim sin x
x →+∞ x
^
( )
0 0
1 sin lim sin lim 1 y y
y y → (^) y → y
= × = =
0 0
0
lim x sin
x
x
→
= , calculemos os limites laterais:
(^0) ( ) 0
0
lim lim 1 sin sin sin 1 lim
x x
x
x x
x x x
x
→ →
→
0 0
0
lim lim 1 sin sin sin 1 lim
x x
x
x x
x x x
x
− −
−
→ →
→
Como 0 0
lim lim x (^) sin x sin
x x
x x → +^ →−
≠ , não existe 0
lim x sin
x
→ (^) x
( ) ( )
( )
( )
( )
0 3 0 3
sin sin tan sin cos lim lim x x
x x x x x
→ (^) x → x
( ) ( )
( )
0 3 0 3
sin sin cos
cos sin sin cos lim lim x x cos
x x x
x x x x
→ (^) x → x x
( ) 3 0
sin 1 cos lim x cos
x x
→ x x
0 0 2 0
sin 1 cos 1 lim lim lim x x x cos
x x
→ (^) x → (^) x → x
= × × =
( )( )
( )
2 0
1 cos 1 cos 1 lim 1 x 1 cos
x x
→ x x
= × × =
2
0 2 0
1 cos 1 lim lim x x 1 cos
x
→ (^) x → x
= × =
2
2 0
sin 1 sin 1 1 lim lim x 1 1 2 2
x x
→ x x
= × = × =
π π^2 4 4
cos sin cos sin lim lim x cos^ x cos^ sin
x x x x
→^ x^ → x^ x
( )( ) π 4
cos sin lim x cos^ sin^ cos^ sin
x x
→^ x^ x^ x^ x
π 4
lim cos sin 2 2 2 2
x → x^ x
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20. Assíntotas verticais
A função é contínua em
π 3π , 2 2
pois é definida pela
soma e quociente de duas funções contínuas (função
polinomial).
4
Se 0,
0
y x
x
y
=
→
→
π π
2 2
π Se , 0 2
y x x y
x y
= − ⇔ = +
→ →
3
Se 3, 0
y x
x y
= −
→ →
1 1
Se , 0
y x x y
x y
= ⇔ =
→ +∞ →
Assim, as únicas possíveis assíntotas verticais são as de
equações
π
2
x = − e
3 π
2
x =.
( ) π π 2 2
sin 1 lim lim 1 sin 0
→− →−
x x
x f x x
A reta de equação
π
2
x = − é uma assíntota ao gráfico de f.
( ) 3π 3π 2 2
sin 1 lim lim 1 sin 0 − − + → →
x x
x f x x
A reta de equação
3 π
2
x = é uma assíntota ao gráfico de f
Assíntotas não verticais
O gráfico de f não tem assíntoas não verticais, uma vez
que o domínio é um conjunto limitado.
21.1. Dg = (^) { x ∈ ℝ : sin 3( x ) ≠ (^0) } = (^) { x ∈ ℝ : 3 x ≠ k π, k ∈ ℤ}=
π π : , \ , 3 3
g
k k x x k D k
21.2. (^) ( )
( )
sin 3
g
x g x x x D x
= ⇔ = ⇔ = ∧ ∈ ⇔ x ∈ ∅
A função g não tem zeros.
22. A função h é contínua no intervalo (^) ] 0 , + ∞[ pois é aí
definida pela soma e quociente de funções contínuas (função
polinomial e função seno).
A função h é contínua no intervalo (^) ] −∞ , 0[pois é aí
definida pela diferença e quociente de funções contínuas
(função seno e funções polinomiais).
Investiguemos se a função h é contínua em x = 0.
( )
0 0
0 0 0 0
sin sin lim lim lim lim 1 1 2 x x x x
x x x x h x x x x
→ → → →
( )
( )( )
( )
0 0
0 0 0
1 cos^1 cos^1 cos lim lim lim x x x 1 cos
x^ x^ x h x x x x
− − −
→ → →
−^ −^ +
( )
2
0
1 cos lim x 1 cos
x
x x
− →
( )
2
0 0 0
sin sin sin lim lim lim 0 x (^) 1 cos x x 1 cos
x x x
x x x x
− − − → → →
= = × =
Como ( ) ( ) 0 0
lim lim
x x
h x h x , não existe 0
lim x →
pelo que a
função h não é contínua em x = 0.
Conclusão: A função h é contínua em ℝ \ { 0 }.
23.1. A função f é contínua no intervalo (^) ] −∞ , 0[pois é aí
definida pela composta e quociente de duas funções
contínuas (função seno e funções polinomiais).
A função f é contínua no intervalo (^) ] 0 , + ∞[ pois é
constante nesse intervalo. No ponto x = 0 :
( ) ( ) 0
0 lim x
f f x a
→
( )
( )
0 0
sin 2 lim lim x x 4
x f x x
− − → →
( ) ( )
0 0
sin 2 1 1 sin 2 lim lim 2 2 2 2
− − → →
= × =
x x
x x
x x
0
1 sin 1 1 lim 1 2 x 2 2
y
y →−
= = × =
Assim, f é com tínua em ℝ se e só se
a =.
23.2. Assíntotas verticais
A função f é contínua em ℝ \ (^) { (^0) }.
Em x = 0 :
( ) 0
lim x
f x a →+
= ; (^) ( ) 0
lim 2 →−
x
f x
Logo, o gráfico de f não tem assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais
Em −∞ :
∀ ∈ x ℝ, − 1 ≤ sin 2( x (^) )≤ 1 e
lim 0 x →−∞ (^4) x
Logo, lim (^) ( ) 0 x
f x →−∞
= por ser o produto de uma função
limitada por uma função de limite nulo.
A a reta de equação y = 0 é assíntota ao gráfico de f em
lim ( ) lim x x
f x a a →+∞ →+∞
Logo, a reta de equação y = a é uma assíntota ao gráfico de
f em +∞.
24. A função h é contínua em x = 3 quando e apenas quando
( ) ( ) ( ) 3 3
lim lim 3 → −^ →+
x x
h x h x h.
( ) ( ) 3
π 1 3 lim cos 3 2 →+
x
h h x k k
( ) ( )
0 (^2 )
3 3
lim lim x x sin 3
x x h x x − −
→ →
Portanto, (^) ( )( )
2 3 x − 8 x − 3 = x − 3 3 x + 1.
Recorrendo a uma regra de Ruffini, tem-se:
( )
( )( )
( )
2
3 3
lim lim x (^) sin 3 x sin 3
x x^ x^ x
x x
− − → →
− − −^ +
( )
( ) 3 3
lim lim 3 1 x (^) sin 3 x
x x x
− − → →
= − × + =
( ) 0
0
lim 9 1 10 10 sin sin lim
y
y
y
y y
y
→
→
= − × + = − × = −
Logo, h é contínua em x = 3 se
1 1 21 10 10 2 2 2
k + = − ⇔ k = − − ⇔ k = −.
Pág. 60
25.1. ( )
2
0 0
lim lim 6 6 3
− − → →
x x − −
x x g x x
( ) ( ) 0
0 lim 3
− →
x
g g x
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0 0
sin 3 1 sin 3 lim lim lim sin 5 sin 5 1
x x x
x x x x x g x x x x x x
→ → →
( )
( )
0
0
0
sin 3 (^) sin 1 3 1 3 lim 3 lim sin 5 sin 1 5 1 lim 5
ux
x
v
x (^) u
x u
x v
x v
→
→
→
− × −
+ ×^ +
− × −
+ ×
2
Se 0 , 0
y x
x y − −
=
→ →
3
Se 3 , 0
y x
x y − +
= −
→ →
3
Se 0, 0
5
Se 0, 0
u x
x u
v x
x v
=
→ →
=
→ →
( ) ( ) 1 1
1 sin 1 lim lim 2 1 1 2 x^ 1 x
x x → (^) x →
= × − + =
( )
1
1 sin 1 lim 2 2 x 1
x
→ x
= × =
0
1 sin lim 1 2 y
y
→ y
= × =
( ) ( )
0 0
π 4
sin 2 cos 2 1 lim cos sin
→
x^ −
x x
x x
( )
2 2
π 4
2sin cos cos sin 1 lim x cos^ sin
x x x x
→ x^ x
( ( ))
2 2
π 4
2sin cos cos 1 cos 1 lim x cos^ sin
x x x x
→ x^ x
2
π 4
2sin cos 2cos lim x cos^ sin
x x x
→^ x^ x
( ) ( ) π π 4 4
2cos cos sin lim lim 2cos x cos^ sin x
x x x x →^ x^ x →
π 2 2cos 2 2 4 2
0 0
0
lim 1 sin 1 sin
→
x
x
x x
( )
( )( )
0
1 sin 1 sin lim 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
x
x x x
x x x x
→
( )
( ) ( )
0 2 2
1 sin 1 sin lim
1 sin 1 sin
x
x x x
x x
→
( )
( ) 0
1 sin 1 sin lim x 1 sin 1 sin
x x x
→ x x
( )
0
1 sin 1 sin lim x 2sin
x x x
→ x
( ) 0 0
lim lim 1 sin 1 sin 2 x^ sin x
x x x → (^) x →
= × + + − =
0
2 sin 2 1 lim x
x
→ x
= × × = × × =
Pág. 61
28. Df = Dg = ℝ
f (^) ( x (^) ) = sin 3( x ) (^) = sin (^) ( x + 2 x )=
= sin x cos 2 ( x ) + sin 2( x )cos x =
( )
2 2 = sin x cos x − sin x + 2sin x cos x cos x =
( )
2 2 = sin x 1 − 2sin x + 2sin x cos x =
3 2 = sin x − 2sin x + 2sin x cos x =
( )
3 2 = sin x − 2sin x + 2sin x 1 − sin x =
3 3 = sin x − 2sin x + 2sin x − 2sin x = 3 = 3sin x −4sin x
Como D (^) f = Dg ∧ f ( x ) = g ( x ) ,∀ ∈ x Df temos que f = g.
29.1. ▪ (^) ( )
( )
0 (^2 )
0 0 0
lim lim lim 2 x x x
x x x x f x x x
→ → →
▪ (^) ( )
( )
( )( )
0 2 0 2
0 0 0
sin sin 1 cos lim lim lim x x (^) 1 cos x 1 cos 1 cos
x x x f x x x x − − −
→ → →
( ) ( )(^ )
2 2
2 2 0 0
sin 1 cos^ sin^1 cos lim lim x (^) 1 cos x sin
x x^ x^ x
x x → −^ →−
+^ +
( )
2 2
(^2 2 ) 0
sin lim lim 1 cos x sin x
x x x x x →−^ →
= × × + =
( )
2
0 2 2
0
sin 1 lim 1 1 sin lim
x
x
x
x (^) x
x
−
→
→
= × × + =
2 0
sin 1 lim 2 1 1 2 2 y 1
y
y →+
= × × = × × =
▪ f ( 0 )= 2
Como (^) ( ) ( ) ( ) 0 0
lim lim 0 → −^ →+
x x
f x f x f , existe (^) ( ) 0
lim x
f x →
pelo que f é contínua no ponto x = 0.
29.2. Assíntotas verticais
f é contínua em (^) ] −2π , + ∞[ , pois é contínua em (^) ] − 2 π , 0[
por ser definida pela composta, diferença e quociente entre
duas funções contínuas (função seno, função cosseno e
funções polinomiais)e em (^) ] 0 , + ∞[ por ser definida pelo
quociente entre de funções contínuas (funções polinomiais)
bem como no ponto x = 0. Logo apenas a reta de equação
x = − 2 πpoderá ser assíntota vertical do seu gráfico.
( )
( ) 2 2
2 π 2π
sin^ sin 4π lim lim x x 1 cos 0
x f x x → − +^ →− +^ +
Portanto, a reta de equação x = − 2 πé assíntota ao gráfico
de f.
Assíntotas não verticais (^) ( y = mx + b ):
( )
2 2
2 2
lim lim lim 1 x x x
f x (^) x x x m →+∞ (^) x →+∞ (^) x →+∞ x
( ( ) )
2 2 lim lim x x
x x b f x mx x →+∞ →+∞ x
2 2 2 2 lim lim 2 x x
x x x x
→+∞ (^) x →+∞ x
A reta de equação x = x + 2 é assíntota ao gráfico de f em +∞.
29.3. A função f é contínua no intervalo
3 π 6 , 2
, pois
3π 6 , 2
f
D
e como vimos na alínea anterior, f é
contínua.
▪ ( ) ( )
sin 36 6 24, 1 cos 6
f − = ≈ − − −
2 3π sin 3π (^2) 0, 2 3π 1 cos 2
f
−^ =^ ≈ −
^
π 1
Se 1, 0
y
x y
= −
→ →
2
Se 0 , 0
y x
x y − +
=
→ →
Como f é contínua no intervalo
3 π 6 , 2
e
( )
3 π 6 4 2
f f , podemos então concluir, pelo
Teorema de Bolzano que (^) ( )
3π 6 , : 4 2
c f c.
30.1. (^) ( )
( )
( )
0 2 2 3π 3π 2 2
sin lim 1 sin tan lim 1 sin x x cos
x x x x x
×∞
→ →
+ × = + × =
2 3π 2 3π 2 2
1 sin lim lim sin x cos x
x x →^ x →
= × =
2 0 2
3π 1 sin 2 3 π lim sin 3π^2 cos 2
y
y
y
→
= × =
^
( )
( )
( )( )
( )
2
0 2 0 2
1 cos 1 cos 1 cos lim 1 lim 1 y (^) sin y sin 1 cos
y y y
→ (^) y → y y
= × − = × =
2 2
0 2 0 0 2
1 cos 1 sin 1 1 lim lim lim y (^) sin y (^) 1 cos y sin 1 1 2
y y
→ (^) y → (^) y → y
= × = × =
( )
0 0
0 3 0 3
2sin sin 2 2sin 2sin cos lim lim x (^) cos x cos
x x x x x
x x x x
→ →
( ) ( )( )
( ) 0 3 0 2
2sin 1 cos 2sin 1 cos 1 cos lim lim x (^) cos x cos 1 cos
x x x x x
→ (^) x x → x x x
( )
( )
( )
( )
2 2
0 3 0 3
2sin 1 cos 2sin sin lim lim x (^) cos 1 cos x cos 1 cos
x x x x
→ (^) x x x → x x x
( ) ( )
3 3
0 3 0 0
2sin sin 1 lim 2 lim lim x (^) 1 cos cos x x 1 cos cos
x x
→ (^) x x x → (^) x → x x
( )
= × × =
+ ×
31. ▪ (^) ( )
( )
0 0
0 0
sin 3 lim lim 2 − −
→ →
x x −
x g x x
( )
0 0
sin (^3 3 3) sin 3 3 lim lim 1 x (^) 3 2 2 y 2 2
x (^) x y
x x y → −^ →+
= × = = × =
−^ −
▪ (^) ( )
0 0
0 0 0
2 tan tan 2 2 lim lim lim 2 x x x
x x x
g x x x
→ → →
0 0
sin 2
tan cos 2 2 2 lim 2 lim x x
x
x x
x x → +^ →+
0 0 0
sin sin 1 2 2 2 lim 2 lim lim
cos 2 cos 2 2 2
x x x
x x
x x x x
→ +^ → +^ →+
= − = − × =
×
0
sin 1 2 1 2 lim 2 1
2
x
x
→+ x
= − × =
0
1 sin 1 1 1 3 2 lim 1 2 1 2 2 y 2 1 2 2
y
y
= − × = − × × = − =
▪ (^) ( )
g =
Como (^) ( ) ( ) ( ) 0 0
lim lim 0 → +^ →−
x x
g x g x g , podemos então
concluir que existe (^) ( ) 0
lim x
g x →
pelo que a função g é
contínua no ponto x = 0.
Ficha para praticar 12
Pág. 62
1.1. (^) ( )
3cos 3 cos 3 sin sin 2 2 2 2 2 2
x x x x x f x
^
1.2. (^) ( ) ( )
π π g x 2 x sin 2 x sin x x
2 2
π π π π π π 2 cos 2 cos 2 cos x x x x x x
1.3. h (^) ( x (^) ) ( sin x cos x )
( sin^ x^ ) cos^ x^ sin^ x^ ( cos x )
= cos x cos x + sin x (^) ( −sin x )=
( )
2 2 = cos x − sin x =cos 2 x
1.4. (^) ( ) (^) ( ( )) ( ( ))
2 2 j x 4sin π x 4 sin π x
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 π x cos π x 4 2π x cos π x
( )
2 = 8 π cos π x x
1.5. (^) ( ) ( ) ( )
2 2 p x sin x sin x
2sin x (^) ( sin x ) (^) 2sin x cos x sin 2( x )
1.6. (^) ( )
1 sin cos
cos
x x r x x
+^ +
( ) ( ) ( )
( )
2
1 sin cos cos 1 sin cos cos
cos
x x x x x x
x
( ) ( ) ( ) 2
cos sin cos 1 sin cos sin
cos
x x x x x x
x
2 2
2
cos sin cos sin sin sin cos
cos
x x x x x x x
x
( )
2 2
2
cos sin sin
cos
x x x
x
( )( )
2 2
1 sin 1 sin 1 sin 1
cos 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
x x x
x x x x x
1.7. (^) ( ) ( )
2 tan cos 2
s x x x
( ) ( ) ( )
2 tan cos 2
x x
( )
( ( ))
( ( ))
2 2
1 1 cos 2 0 cos (^) cos 2
x
x (^) x
− ×
( ( ))
( )
( )
( )
2 2 2 2
1 2sin 2^1 2sin 2
cos cos cos cos 2
x (^) x
x x x x
3π 3π
2 2
3π Se 0 2
y x x y
x y
= − ⇔ = +
→ ⇒ →
3
Se 0 , 0
y x
x y − +
= −
→ →
2
Se 0 0
x y
x y
=
→ ⇒ →
π π π 2 π π 2sin cos 6cos sin 2 2 2 2 2
f
2 = 2 × 1 × 0 − 6 × 0 × 1 = 0
3.2. (^) ( ) sin cos 2
x g x x x
^
( ) sin ( sin ) sin 2 2
x x x x x x
′ ′ ^ ^
( )
sin cos sin 2 2
x x x x
sin cos sin 2 2
x = x − x x −
π π π π 1 π sin cos sin 2 2 2 2 2 4
g
π 1 2 2 1 0 1 2 2 2 4
= − × − × = −
3.3. (^) ( ) (^) ( ( ) )
2 2 h x sin x sin x
( ) ( ) ( )
2 2 x cos x 2sin x sin x
( )
2 = 2 x cos x −2sin x cos x
2 π π π π π 2 cos 2sin cos 2 2 2 2 2
h
′ = × − =
2 2 π π π cos 2 1 0 π cos 4 4
= − × × =
3.4. (^) ( ) (^) ( ( ) ( ))
3 j x cos x x cos 2 x
( ) ( ) (^ )^ (^ )^ ( (^ ))
3 3 x sin x x cos 2 x x cos 2 x
( ) ( ) ( ( ))
2 3 = − 3 x sin x − cos 2 x + x −2sin 2 x =
( ) (^ )^ (^ )
2 3 = − 3 x sin x − cos 2 x −2 sin 2 x x
2 3 π π π π π π 3 sin cos 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 2
j
′ = − − × − × × =
2 3 π π 3 sin cos π π sin π 4 8
( )
2 3 2 3 3π π 3π π sin 1 π 0 sin 1 4 8 4 8
= − − − − × = − +
4.1. (^) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 sin 2 sin 2 0 0 lim lim x (^) 0 x 0
f x f x f → (^) x → x
− − ×
( ) ( )
0 0
sin 2 sin 2 lim 2 lim x x 2
x x
→ (^) x → x
= = × =
0
sin 2lim 2 1 2 y
y
→ y
= = × =
Portanto, f ′^ ( 0 )= 2
0 0
π π π π cos cos π (^2 2 2 ) lim lim 2 h^ h
f h f h
f → (^) h → h
+^ −^ +^ −
0 0
sin 0 sin lim lim 1 h h
h h
→ (^) h → h
Portanto
π 1 2
f
4.3. (^) ( )
( )
0
π tan π π lim h
f h f → h
( )
0
tan π tan π lim h
h
→ h
0
tan 0 lim h
h
→ h
0 0 0
sin
cos sin 1 1 lim lim lim 1 1 h h h cos 1
h
h h
→ (^) h → (^) h → h
= = × = × =
Portanto, f ′^ ( π (^) )= 1
4.4. (^) ( )
( ) ( )
0
0 lim → 0
x −
f x f f x
( ) ( )
0
2sin sin 2 0 lim x
x x
→ x
( )
0 0
sin sin 2 2lim lim x x
x x
→ (^) x → x
( )
0
sin 2 2 1 2lim x 2
x
→ x
= × − =
( )
0
sin 2 2lim 2 2 1 2 2 0 y
y
→ y
= − = − × = − =
Portanto, f ′^ ( 0 ) = 0.
5.1. ▪ (^) ( )
π π π 2sin 2 cos 3 3 3
x x x f x
2 π π cos 3 3
x
▪ (^) ( ) ( )
2 g x sin x cos x
2 sin ( x cos x (^) )( sin x cos x (^) )
= 2 sin ( x + cos x (^) )( cos x − sin x )=
( ) ( )
2 2 = 2 cos x − sin x =2cos 2 x
▪ h (^) ( x (^) ) ( x cos 2( x (^) )) x (^) ( cos 2( x ))
′ ′^ ′ ′
= 1 − −( 2sin 2 (^) ( x (^) )) = 1 +2sin 2( x )
Portanto, (^) ( )
2 π π cos 3 3
x f x , g ′^ ( x ) (^) =2cos 2( x (^) )e
( ) 1 2sin 2( ) h ′^ x = + x
5.2. Zeros de f ′:
( )
2π π π 0 cos 0 cos 0 3 3 3
x x f x
π π π, 3 2
x ⇔ = + k k ∈ ℤ⇔
3π 3 π 3 π, 3 , 2 2
⇔ x = + k k ∈ ℤ ⇔ x = + k k ∈ℤ
Zeros de g ′ :
g (^) ( x (^) ) 0 2cos 2( x (^) ) 0 cos 2( x ) 0
π π π 2 π, , 2 4 2
k ⇔ x = + k k ∈ ℤ ⇔ x = + k ∈ℤ
2
Se 0, 0
y x
x y
=
→ →
2
Se 0, 0
y x
x y
=
→ →
Zeros de h ′ :
( ) ( ) ( )
0 1 2sin 2 0 sin 2 2
h ′^ x = ⇔ + x = ⇔ x = − ⇔
( )
π sin 2 sin 6
x
π 7π 2 2 π 2 2 π, 6 6
⇔ x = − + k ∨ x = + k k ∈ ℤ⇔
π 7π π π, 12 12
⇔ x = − + k ∨ x = + k k ∈ ℤ
6.1. ( )
π f x 2 x sin x
( ) ( )
π π f x 2 x sin 2 x sin x x
2
π π π π 2 cos 2 cos x x x x
Uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa x = − 1 é:
( 1 )^ ( 1 )^ ( ( 1 )) y − f − = f ′ − x − −
f (^) ( − (^1) ) = − 2 + sin (^) ( −π (^) ) = − 2 + 0 = − 2
( ) ( )
2 (^ )
π π 1 2 cos 2 π cos π 2 π 1 1
f
y + 2 = (^) ( 2 + π (^) )( x + (^1) ) ⇔ y = 2 x + 2 + π x + π − 2
⇔ y = 2 x + π x + π ⇔ y = ( 2 + π ) x +π
Portanto, y = (^) ( 2 + π (^) ) x +πé uma equação da reta pedida.
6.2. ( )
2 f x = 3 + tan x −tan x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 f x 3 tan x tan x 3 tan x tan x
′ ′^ ′^ ′ ′
( ) 2 2 2
0 2 tan tan 2 tan cos cos cos
x x x x x x
= + − = − ×
( ) ( ) ( )
2 2 f π = 3 + tan π − tan π = 3 + 0 − 0 = 3
( ) 2 2
π 2 tan π 2 0 1 cos π cos π 1 1
f ′^ = − × = − × × =
y − 3 = (^1) ( x − π (^) )⇔ y = x − π + 3
Portanto, y = x − π + 3 é uma equação da reta pedida.
6.3. (^) ( )
2 2cos 2
x f x =
( )
2 2 cos 2 2cos cos 2 2 2
x x x f x
′ = = × =
4cos sin 4cos sin 2 2 2 2 2 2
x x x x x
= ^ − = − =
2cos sin sin ( ) 2 2
x x = − = − x
Uma equação de reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa
π
x = é:
π π π
y f f x
2 2 π 2 π π 2 2cos 2 cos 2 1 2 4 4 2
f
^ ^
π π sin 1 2 2
f
Assim,
π π 1 1 1 2 2
y x y x.
Portanto,
π 1 2
y = − x + + é uma equação da reta pedida.
6.4. (^) ( )
sin
1 2sin
x f x − x
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
sin^ sin^1 2sin^ sin^1 2sin
1 2sin (^1) 2sin
x^ x^ x^ x^ x f x x (^) x
′ ′^ ′
−^ −^ −
( ) ( )
( )
2
cos 1 2sin sin 2cos
1 2sin
x x x x
x
( )
( )
( )
2 2
cos 2sin cos 2sin cos cos
1 2sin 1 2sin
x x x x x x
x x
Uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa x = −πé:
( π^ ) ( π^ ) ( ( π)) y − f − = f ′ − x − −
( )
( )
( )
sin π (^0 ) π 0 1 2sin π 1 2 0 1
f
− − − ×
( )
( )
( ( )) (^ )
2 2
cos π (^1 ) π 1 1 2sin π 1 2 0 1
− − − ×
f
Assim, y − 0 = − (^1) ( x − −( π (^) ))⇔ y = − x −π
Portanto, y = − x −πé uma equação da reta pedida.
Pág. 64
7.1. f (^) ( x (^) ) =sin 2( x )
( ) ( sin 2( )) ( 2 ) cos 2( ) 2cos 2( )
′ ′^ ′
f x = x = x x = x
( ) ( 2cos 2( )) 2 cos 2( ( )) 2 ( 2 ) sin 2( )
f x x x x x =
= −4sin 2 ( x )
Logo, f ′′ (^) ( x (^) ) = −4sin 2( x (^) ).
7.2. ( ) ( )
2 f x = cos 2 x − x
( ) ( ( ) ) ( ( )) ( )
2 2 f x cos 2 x x cos 2 x x
′ ′^ ′ ′
( 2 ) sin 2( ) 2 2sin 2( ) 2
= − x x − x = − x − x
f (^) ( x (^) ) ( 2sin 2( x (^) ) 2 x (^) ) ( 2sin 2( x (^) )) ( 2 x )
2 sin 2( ( x (^) )) 2
2 ( 2 ) cos 2( ) 2 4cos 2( ) 2
x x x
Portanto, f ′′(^ x (^) ) = −4cos 2 (^) ( x )− 2
7.3. f ( x ) =tan 2( x )
( ) ( ( ))
( )
( ) ( )
2 2
tan 2 cos 2 cos 2
x f x x x x
( ) 0 0 0
sin sin lim lim lim 1 x x x
x x f x x x → −^ → −^ →−
Como ( ) ( ) 0 0
lim lim
x x
f x f x não existe ( ) 0
lim x →
f x pelo que a
função f não é contínua em x = 0.
9.2. Para x > 0 , tem-se:
( )
( ) 2 2
sin x sin x x x sin x x cos x f x x x x
Para x < 0 , tem-se:
( ) (^2 )
sin x sin x x cos x sin x x cos x f x x x x x
Por outro lado, como f não é contínua em x = 0 então não
é diferenciável em x = 0 , ou seja, não existe f ′( 0 ).
Assim, a função f pode caracterizar-se do modo seguinte:
{ }
2
2
: \ 0
cos sin se 0
sin cos se 0
f
x x x x x x x x x x x
10.1. Para
π π , 2 2
x
, tem-se:
( ) (^) ( ( )) ( ( ))
2 2 g x 2sin 2 x 2 sin 2 x
′ ^
2 2sin 2 ( x ) (^) ( sin 2( x ) (^) ) 2 ( 2sin 2( x ) (^) ) ( 2cos 2( x ))
= × = × =
= 4 × 2sin 2 ( x ) cos 2( x ) =4sin 4( x )
g (^) ( x ) (^) 0 4sin 4( x (^) ) 0 sin 4( x ) 0
π 4 π, , 4
k ⇔ x = k k ∈ ℤ ⇔ x = k ∈ℤ
Como
π π , 2 2
x
( )
π π π π 0 0 2 4 4 2
g ′^ x = ⇔ x = − ∨ x = − ∨ x = ∨ x = ∨ x =
x
π
2
−
π
4
− 0
π
4
π
2
g ′^0 +^0 –^0 +^0 –^0
g (^) (^0) ր 2 ց 0 ր 2 ց 0
Mín Máx Mín Máx Mín
A função g é estritamente decrescente em
π , 0 4
e em
π π , 4 2
e é estritamente crescente em
π π , 2 4
e em
π 0 , 4
. A função g tem mínimos relativos iguais a 0 para
π , 0 2
x = − x = e
π
x = e máximos relativos iguais a 2 para
π
x = − e
π
x =.
10.2. As abcissas pedidas são as soluções da equação g ′^ ( x ) = − 4.
Assim:
g (^) ( x (^) ) 4 4sin 4( x (^) ) 4 sin 4( x ) 1
π π π 4 2 π, , 2 8 2
k x k k x k
As abcissas dos pontos onde as retas tangentes ao gráfico
de g têm declive − 4 são, portanto,
π π , 8 2
k x = − + k ∈ ℤ.
Pág. 65
11.1. Para
π π , 2
x
, tem-se:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
cos^ cos^1 cos^ cos^1 cos
1 cos (^1) cos
x^ x^ x^ x^ x h x x (^) x
+^ −^ +
( ) ( )
( )
2
sin 1 cos cos sin
1 cos
x x x x
x
( )
( )
( )
2 2
sin sin cos cos sin^ sin
1 cos 1 cos
x x x x x^ x
x x
− − +^ −
( )
( )
( ( ))
2
sin 0 0 1 cos
x h x x
⇔ − sin ( x ) = 0 ∧ x ∈ Dh ⇔
( )
π sin 0 π , 0 2
x x x
x −π (^0)
π
h ′^ +^0 –
h ր
ց
Máx.
A função h é estritamente crescente em (^) ] −π , 0 (^) ]e é
estritamente decrescente em
π 0 , 2
. Tem um máximo
relativo igual a
para x = 0.
11.2. Uma equação da reta tangente ao gráfico de h no ponto de
abcissa
π
x
= é:
π π π
y h h x
^
^
π cos π 2 0 0 2 π 1 0 1 cos 2
h
^ +
( )
( )
2 2
π sin π 2 1 1 (^2) π 1 0 1 cos 2
h
+^ −
Assim:
π π 0 1 2 2
y x y x
A equação reduzida pedida é, portanto,
π
y = x +.
12.1. Para
π 3π , 2 2
x
, tem-se:
( ) ( ) 2
tan cos
f x x x
( )
( ) (^) ( )
( )
2 2
2 2 2
1 1 cos^ 1 cos
cos cos
x x f x x x
′^ ′
( ) ( ) 4 4 4
0 2cos sin (^) 2sin cos sin 2
cos cos cos
x x (^) x x x
x x x
Portanto,
π 3π , 2 2
x
, (^) ( )
( )
( )
4
sin 2
cos
x f x x
12.2. ( )
( )
( )
( ) 4
sin 2 0 0 sin 2 0 cos
f
x f x x x D x
2 π, f ⇔ x = k k ∈ ℤ∧ x ∈ D ⇔
π π 3π , , π 2 2 2
k x k x x
x
π
π
3 π
f ′′^ + 0 –
f (^) ∪ ∩
P.I.
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima
em
π , π 2
e voltada para baixo em
3 π π , 2
Tem um único ponto de inflexão cuja abcissa é x = π.
13.1. A função g é contínua no intervalo (^) ] 0 , 2π[ pois é definida
pela diferença e quociente defunções contínuas (função
cosseno e função polinomial).
( ) (^0 0) ( )
lim lim x x 1 cos 0
g x x → +^ →+^ +
( ) 2π 2π ( )
lim lim x x 1 cos 0
g x x → −^ → −^ +
Portanto, as retas de equação x = 0 e x = 2 πsão assíntotas
ao gráfico de g.
O gráfico de g não tem assíntotas não verticais, já que o
domínio é um conjunto limitado.
13.2. Para x ∈ (^) ] 0 , 2π[, tem-se:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1 cos^ 1 1^ cos
1 cos (^1) cos
x x g x x (^) x
( (^ ))
( ) ( )
2 2
0 sin (^) sin
1 cos 1 cos
x (^) x
x x
( )
( )
( ( ))
2 (^ )
sin 0 0 sin 0 1 cos
f
x g x x x D x
⇔ sin (^) ( x (^) ) = 0 ∧ x ∈ (^) ] 0 , 2π[ ⇔ x =π
x (^) 0 π (^2) π
g ′^ –^0 +
g (^) ց ր
Mín.
A função g tem, na realidade, um único mínimo, igual a
para x = π.
( ) ( ) ( )
0 0 0
1 1 sin 2 1 sin 2 lim lim lim x x x
f x x x x x
→ (^) x → (^) x → x
( ) ( )
0 0 0
sin 2 sin 2 lim lim 1 2lim x x x 2
x^ x^ x
→ (^) x → (^) x → x
0
sin 1 2lim 1 2 1 1 y
y
→ y
= − + = − + × =
14.2. Para x ∈ (^) [ 0 , π[, tem-se:
f (^) ( x ) (^) ( 1 x sin 2( x ) (^) ) 1 2cos 2( x )
f ′^ ( x (^) ) = 0 ⇔ − 1 + 2cos 2( x (^) ) = 0 ∧ x ∈ (^) [ 0 , π[⇔
( ) [ [
cos 2 2 0 , 2π 2
⇔ x = ∧ x ∈ ⇔
π π π 5π 2 2 2π 3 3 6 6
⇔ x = ∨ x = − ⇔ x = ∨ x =
x (^) 0
π
5 π
π
f ′^ +^ +^0 –^0 +
f (^) ր ց ր
Mín. Máx. Mín.
π π π π π π 3 1 sin 2 1 sin 1 6 6 6 6 3 6 2
f
=^ −^ +^ ×^ =^ −^ +^ =^ −^ +
f (^) ( 0 ) = 1 − 0 + sin 2( × (^0) ) = 1 + sin 0( ) = 1 + 0 = 1
5π 5π 5π 5π 5π 1 sin 2 1 sin 6 6 6 6 3
f
=^ −^ +^ ×^ =^ −^ +^ =
5 π π 5π 3 1 sin 1 6 3 6 2
^
Assim,
π
f
é o máximo absoluto e
5 π
f
é o mínimo
absoluto, logo:
π 3 5π 3 1 1 6 2 6 2
M m
π 3 5π 3 2π 3 6 2 6 2 3
14.3. Para x ∈ (^) [ 0 , π[, tem-se:
f ′′ ( x (^) ) = (^) ( − + 1 2cos 2( x ) (^) ) = 0 + (^2) ( −2sin 2 (^) ( x (^) )) = −4sin 2( x )
f ′′ ( x (^) ) ⇔ −4sin 2 (^) ( x (^) ) = 0 ⇔ sin 2( x )= 0 ⇔
π 2 π, , 2
k ⇔ x = k k ∈ ℤ ⇔ x = k ∈ℤ
Como x ∈ (^) [ 0 , π[, tem-se que (^) ( )
π 0 0 2
f ′′ x = ⇔ x = ∨ x =
x (^) 0
π
π
f ′′^0 – 0 +
f 1 ∩ ∪
P.I.
O gráfico de f tem um único ponto de inflexão de abcissa
π
x =.
2
Se 1, 0
y x
x y
=
→ →
17.5. A aceleração da partícula no instante t = 2 é dada por x ′′ (^) ( 2 ).
( )
2π π 2π π sin π sin π 3 6 3 6
t t x t
2π π π π cos π 3 6 6
t t
2π π π cos π 3 6 6
^ t = − (^) + (^) =
2 π π cos π 9 6
^ t = − +
Assim,
( )
2 2 π 2π π π 2 cos π cos π 9 6 9 3
x
2 2 2 π π π 1 π cos 9 3 9 2 18
^ ^ ^
A aceleração da partícula no instante t = 2 é, portanto,
π
18. ▪ Zeros
( )
π π 0 2cos π 0 cos π 0 4 4
t t x t
π π π = π, 4 2
t ⇔ + + k k ∈ ℤ⇔
π π π, 4 2
t ⇔ = − + k k ∈ ℤ⇔
⇔ π t = −2π + 4 π, k k ∈ ℤ⇔
⇔ t = − 2 + 4 , k k ∈ ℤ
Como t ∈ [ 0 , 8[, tem-se que x t ( ) = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = 6
▪ Contradomínio
[ [
π 0 , 8 , 1 cos π 1 4
t t
Ou seja,
π 2 2cos π 2 4
^ t − ≤ (^) + (^) ≤
, pelo que o
contradomínio é (^) [ −2 , 2 (^) ].
▪ Maximizantes
( )
π π 2 2cos π 2 cos π 1 4 4
t t x t
,
π π π 2 π, π 2 π 4 4
k
t t ⇔ + = k k ∈ ℤ ⇔ = − + k ∈ ℤ⇔
π 4π 8 π,
t k k
t k k
Como t ∈ (^) [ 0 , 8[tem-se que t = 4.
▪ Minimizantes
( )
π π 2 2cos π 2 cos π 1 4 4
t t x t
π π π 2 π, 4
π 2 π, 4
t k k
t k k
⇔ t = 8 , k k ∈ ℤ
Como t ∈ (^) [ 0 , 8[, tem-se que t = 0.
▪ Esboço do gráfico
Pág. 67
19.1. Para t ∈ (^) [ 0 , 3[, tem-se:
π 1 cos π 1 4
t
, portanto,
π π 3 3cos π 3 1 3cos π 7 4 4
t t
Logo, a distância máxima e mínima do corpo C ao solo é,
respetivamente, 7 metros e 1 metro.
19.2. A amplitude é 3.
19.3. O período é
2π 2 π
T = = e a frequência é
f T
19.4. A fase é
π
4
19.5. ▪ Contradomínio
[1 , 7 ]
▪ Maximizantes
( )
π 7 3cos π 4 7 4
D t t
π cos π 1 4
t
π π 2 π, 4
⇔ t + = k k ∈ ℤ⇔
π π 2 π, 4
⇔ t = − + k k ∈ ℤ⇔
π π 2 π, 4
⇔ t = − + k ∈ ℤ⇔
⇔ t = − + k k ∈ ℤ
Como t ∈[ 0 , 3[, tem-se que
t =
▪ Minimizantes
( )
π 1 3cos π 4 1 4
D t t
π cos π 4 1 4
t
π π π 2 π, 4
⇔ t + = + k k ∈ ℤ
3π π 2 π, 4
⇔ t = + k k ∈ ℤ
⇔ t = + k k ∈ ℤ
Como t ∈[ 0 , 3[, tem-se que
t = ∨ t =
▪ Esboço do gráfico
19.6. (^) ( )
π π 4 3cos π 4 4 3cos π 0 4 4
D t t t
,
π π π π π, π π 4 2 4
⇔ t + = + k k ∈ ℤ ⇔ t = + k k ∈ ℤ⇔
⇔ t = + k k ∈ ℤ
Assim, o corpo C está à distância de 4 metros do solo nos
instantes, em segundos,
t = ,
t = e
t =.
20. f (^) ( t (^) ) = A cos( wt + ϕ)
20.1. A = 8 ; T = 2 , pelo que
2 π w T
= , isto é,
2π π 2
w = =.
f (^) ( t (^) ) = 8cos π( t + ϕ)
Como
f
, vem
[ [
π 8cos 8 0 , 2π 2
[ [
π cos 1 0 , 2π 2
[ ]
π 2 π, 0 , 2π 2
⇔ + ϕ= k k ∈ ℤ∧ ϕ∈
[ ]
π 2 π, 0 , 2π 2
⇔ ϕ= − + k k ∈ ℤ∧ ϕ∈
3 π
2
Assim, A = 8 ; w = π ; T = 2 e
3 π
20.2. (^) ( )
3 π 8cos π 2
f t t
, para t ∈ (^) [ 0 , 4].
20.3. f ( t ) = 4 ∧ t ∈ (^) [ 0 , 4]⇔
[ ]
3π 8cos π 4 0 , 4 2
t t
[ ]
3π 1 cos π 0 , 4 2 2
t t
3π π 3π π π 2 π π 2 π, 2 3 2 3
t k t k k
∧ ∈ t (^) [ 0 , 4]⇔
[ ]
7π 11π π 2 π π 2 π, 0 , 4 6 6
t k t k k t
[ ]
7π 11 2 2 , 0 , 4 6 6
t k t k k t
⇔ t = ∨ t = ∨ t = ∨ t =
Pág. 68
21.1. Tem-se ( ) ( ) ( )
π 3sin π 3cos π 2
x t t x t t
Portanto, trata-se de um oscilador harmónico já que, é dada
por uma expressão da forma x t ( (^) ) = A cos( wt + ϕ), onde
A > 0, w > 0 e^ ϕ^ ∈^ [ 0 , 2π[.
21.2. Amplitude = A = 3
Período =
2π 2π 2 π
T
w
Frequência =
T 2
Ângulo de fase =
π
21.3. Determinemos uma expressão da função x ′′.
( )
π 3cos π 2
x t t
^
π π 3 π sin π 2 2
t t
= ^ − + + =
π 3π sin π 2
t
( )
π 3πsin π 2
x t t
^
π π 3π π cos π 2 2
t t
π 2 π 3π π cos π 3π cos π 2 2
t t
( )
2 = 3 π sin π t
Logo, (^) ( ) ( )
2 x ′′ t = 3 π cossin π t.
Assim, vem que:
( ) ( ) ( ) ( ( ))
2 x ′′^ t = − k × x t ⇔ 3π sin π t = − k × −3sin π t ⇔
2 ⇔ 3π = 3 k ⇔
2 ⇔ k = π
Portanto,
2 k = π.
22.1. Tem-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )
π 8sin 2 8cos 2 2
8cos 2 0
x t t x t t
x t t
Portanto, trata-se de um oscilador harmónico já que, é dada
por uma expressão da forma x t ( ) = A cos( wt + ϕ), onde
A > 0, w > 0 e ϕ ∈ (^) [ 0 , 2π[.
22.2. Amplitude = A = 8
Período =
2π π 2
T = =
Frequência =
π
f T
Ângulo de fase = 0
