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6 Primitivas e cálculo integral
Ficha para praticar 19
Pág. 104
1. F é uma primitiva de f se F ′^ = f
1.1. F ( x ) ( sin 5( x )) ( 5 x ) cos 5( x ) 5cos 5( x )
′ ′^ ′
Como F ′^ ( x ) = f ( x ), então F é uma primitiva de f.
1.2. F ( x ) ( 3cos 2( x )) 3 2( x ) sin 2( x ) 6sin 2( x )
′ ′^ ′
Como F ′^ ( x ) = f ( x ), então F é uma primitiva de f.
(^4 2 ) 4 2 4 2 4 2
ln 2 8 2 8 2 8
x x (^) x x F x x x x x x x
′ +^ +^ +
Como F ′^ ( x ) = f ( x ), então F é uma primitiva de f.
2 2 2 2 e e 1 2 e
x x x x x x F x x x x
′ −^ ′ −^ −
Como F ′^ ( x ) = f ( x ), então F é uma primitiva de f.
( ) (^ )^ (^ )
2
x^ x^ x^ x^ x F x x (^) x
′ ′^ ′
−^ −^ −
2
x x x
x
2
2 2 2
x x (^) x x
x x x
x x x x
− + × − +
Como F ′^ ( x ) = f ( x ), então F é uma primitiva de f.
1.6. F ( x ) ( sin x cos 2( x ) )
( sin^ x^ ) cos 2( x^ ) sin^ x^ ( cos 2( x^ ))
cos x cos 2 ( x ) sin x ( 2 x ) sin 2( x )
= + ^ − ′ =
= cos x cos 2 ( x ) + sin x ( −2sin 2 ( x ))=
= cos x cos 2 ( x ) −2sin x sin 2( x )
Como F ′^ ( x ) = f ( x ), então F é uma primitiva de f.
2.1. ∫ 3d x = 3 x + c c , ∈ℝ
2.2. ∫ d x = x + c c , ∈ℝ
3 2 d , 3
x
∫ x^ x^ =^ +^ c c ∈ℝ
5 4 d , 5
x
∫ x^ x^ =^ +^ c c ∈ℝ
6 5 2 2 d , 6
∫ =^ +^ ∈^ ℝ=
x x x c c
6 , 3
x = + c c ∈ ℝ=
7 6 3 3 d , 7
x
∫ x^ x^ =^ +^ c c ∈ℝ
3 1 5 (^3 2 ) (^2) d x , , 3 5 1 2 2
x x x c c c c
= + ∈ = + ∈ =
∫ ℝ^ ℝ
5 (^2 ) , , 5 5
= x + c c ∈ ℝ = x + c c ∈ ℝ=
= x x + c c ∈ ℝ
(^1 ) (^1 ) (^2) d , 1 1 2
x x x c c
− + − = + ∈ =
− +
1 1 2 2 , , 1 1
2 2
x x = + c c ∈ ℝ = + c c ∈ ℝ=
= 2 x + c c , ∈ ℝ
3 1 3 3
d d , 3 1
x x x x c c x
− + − = = + ∈ = − +
2 , 2
x c c
− = + ∈ = −
2
c c x
1 2 1 1 1 x (^) d x x d x x (^2) d x x (^2) d x
x x
− −
∫ =^ ∫ =^ ∫ =∫ , por^ 2.8. , temos que
1 x^2 d x 2 x c c ,
− = + ∈
1 3 3 1 1 2 x (^) d x x d x x (^3) (^) d x x (^3) d x
x x
− −
∫ =^ ∫ =^ ∫ =^ ∫ =
2 1 1 3 3 , , 2 1 1 3 3
x x c c c c
− +
= + ∈ = + ∈ =
− +
3 = 3 x + c c , ∈ ℝ
1 3 1 4 4 4 3 3 4
d d d d
x x x x x x x x x x
− = = = =
1 1 5 4 4 (^44) , , 5 , (^1 5 ) 1 4 4
x x c c c c c c
= + ∈ = + ∈ = + ∈ =
= x x c ∈ ℝ
1 4 3 3 3 4 2 10 3 3 2 d^2 d^2 d^ d^ d
x x xx x x x x x x x x x x x
∫ − =^ ∫ − =^ ∫ − =^ ∫ =^ ∫ =
10 1 13 3 3 , , 10 13 1 3 3
x x c c c c
= + ∈ = + ∈ =
13 (^3 333 ) , , 13 13
= x + c c ∈ ℝ = x + c c ∈ ℝ=
= x x + c c ∈ ℝ
1 7 3 3 2 2 13 4 4 1 1 4 4
d d d d
x x x x x x x x x x x x x
×
∫ =^ ∫ =^ ∫ =^ ∫ =
13 1 17 4 4 , , 13 17 1 4 4
x x c c c c
= + ∈ = + ∈ =
17 (^4 444 ) , , 17 17
= x + c c ∈ ℝ = x + c c ∈ ℝ=
= x x + c c ∈ ℝ
Pág. 105
3.1. (^) ∫ sin d x = − cos x + c c , ∈ℝ
3.2. (^) ∫ cos x d x = sin x + c c , ∈ℝ
3.3. e d e ,
x x x = + c c ∈ ∫
d x ln x c c , x
∫ =^ +^ ∈ℝ
F x f x dx dx ln x c c , x
∫ ∫
O gráfico de F contém o ponto (^) ( )
2 P e , 3, portanto,
( )
2 2 F e = 3 ⇔ ln e + c = 3 ⇔ 2 + c = 3 ⇔ c = 1
Logo, a primitiva pedida é F ( x ) = ln x + 1.
4.2. F ( x ) = (^) ∫ f ( x ) d x = (^) ∫ cos x d x = sin ( x ) + c c , ∈ℝ
O gráfico de F contém o ponto
π , 1 3
P
, portanto,
π π 1 sin 1 3 3
F c
= −^ ⇔^ +^ = −^ ⇔
⇔ + c = − ⇔ c = − −
Logo, a primitiva pedida é ( ) ( )
sin 1 2
F x = x − −.
1 1 1 2 d d 2 d , 1 1 2
x F x f x x x x x x c c
= = = = + ∈ =
∫ ∫ ∫ ℝ
3 2 (^23) , , (^3 )
2
x = + c c ∈ ℝ = x + c c ∈ ℝ=
= x x + c c ∈ ℝ
O gráfico de F contém o ponto P ( 1 , 2), portanto,
F = ⇔ × × + c = ⇔
⇔ + c = ⇔ c = − ⇔ c =
Logo, a primitiva pedida é ( )
F x = x x +.
4.4. F (^) ( x ) (^) = (^) ∫ f (^) ( x ) (^) dx sin∫ x dx = − cos (^) ( x (^) )+ c c , ∈ℝ
O gráfico de F contém, o ponto
5π , 3 6
P
, portanto,
5π 5π 3 cos 3 6 6
F c
=^ ⇔ −^ +^ =^ ⇔
π cos 3 6
c
⇔ + c = ⇔ c = − ⇔ c =
Logo, a primitiva pedida é ( ) ( )
cos 2
F x = − x +.
4.5. ( ) ( )d e d e ,
x x F x = f x x x = + c c ∈ ∫ ∫
O gráfico de f contém o ponto P (^) (1 , − e), portanto,
1 F 1 = − e ⇔ e + c = − e ⇔ c = − e −e
Logo, a primitiva pedida é ( ) e e e
x F x = − −.
5.1. (^) ( )
2 2 2 ∫ x^ +^3 x^ d^ x^ =^ ∫ x^ d^ x^ +^ ∫ 3 d x^^ x^ =^ ∫ x^ d^ x^ +^3 ∫ x^ d x
3 2 3 , 3 2
x x = + + c c ∈ ℝ
2 1 d 2
x x x x
−^ +^ −^ =
∫
d 2 d d 1d 2
= (^) ∫ x x − (^) ∫ x x + (^) ∫ x x − (^) ∫ x =
5 4 3 1 2 , 2 5 4 3
x x x = × − × + − x + c c ∈ ℝ=
5 4 3 , 10 2 3
x x x = − + − x + c c ∈ ℝ
5.3. (^) ( )
6 4 6 4 ∫ x^ −^2 x^ +^2 x^ d^ x^ =^ ∫ x^ d^ x^ −^2 ∫ x^ +^2 ∫ x^ d x =
7 5 2 7 5 (^22) 2 2 , , 7 5 2 7 5
x x x x x = − × + × + c c ∈ ℝ = − + x + c c ∈ℝ
2 d 4 2 2
x x x x
−^ −^ −^ +^ =
∫
2 d d d 1d 4 2 2
= − x x − x x − x x + x = ∫ ∫ ∫ ∫
4 3 2 1 1 3 2 , 4 4 3 2 2 2
x x x = − × − × − × + x + c c ∈ ℝ=
4 3 2 3 , 2 12 4 2
x x x = − − − + + c c ∈ ℝ
5.5. (^) ( )
1 2 2 2 2 ∫ x^ −^ x^^ dx^ =^ ∫ x^ dx^ −^ ∫ x^ dx^ =^ ∫ x^ dx^ −^ ∫ x dx=
(^1 ) 2 3 , (^1 ) 1 2
x x c c
= − + ∈ =
3 3 (^2 2) ,
3 3
x = x − + c c ∈ ℝ=
3 (^2 ) , 3 3
x = x − + c c ∈ ℝ=
3 2 , 3 3
x = x x − + c c ∈ ℝ
3 3
3 3
e 1 e d d 2 e 2 e
x x
x x ∫^ x^ =^ ∫ x =
3 3 3 2 3 2
1 e 1 d e d 2 2 e
x x x x x^ x
− = (^) ∫ = (^) ∫ =
3 3 (^1) e 2 d 1 2 e 2 ,
2 2 3
x x = (^) ∫ x = × + c c ∈ ℝ=
e , 3
x = + c c ∈ ℝ
6.20. (^) ( ) ( )
e cos e d 2e cos e d 2
x x x x ∫^ x^ =^ ∫ x =
( )
sin e , 2
x = + c c ∈ ℝ
cos d ln sin , sin
x x x c c x
∫ =^ +^ ∈ℝ
4 d 4 , 11
∫^ x^ +^ x^ =^ x^ +^ +^ c c ∈ℝ
6.23. (^) ( ) ( ) ( )
sin d 2 sin d cos , 2 2
∫^ x^ x^ x^ =^ ∫ x^ x^ x^ = −^ x^ +^ c c ∈ℝ
6.24. e sin e( ) d e sin e( )d
x x x x x x
∫ ∫
( cos e^ (^ )) ,^ cos e(^ ) ,
x x c c c c
− − = − − + ∈ ℝ = + ∈ℝ
6.25. (^) ( )
1 2 2 2
cos x d x cos d x cos d x x x x x x
− ^ ^ ^ ^
∫ ∫ ∫
sin c c , x
2 2
d 2 d 2 tan , 2 cos cos 2 2
x x x c c x x
∫ ∫ ℝ
sin 2 4 d 4sin 2 4 d 4
− x x = − − − x x = ∫ ∫
( ( ))
cos 2 4 , 4
= − − − x + c c ∈ ℝ=
cos 2 4 , 4
= − x + c c ∈ ℝ
cos 3 2 d 3cos 3 2 d 3
∫^ x^ +^ x^ =^ ∫ x^ +^ x =
sin 3 2 , 3
= x + + c c ∈ ℝ
d d ln 3 , 3 3
x x x c c x x
∫ ∫ ℝ
20 d ln 20 20 d , ln 20 ln 20
x x x ∫^ x^ =^ ∫ x^ =^ +^ c c ∈ℝ
2 1 2 2 2
d 2 d 2 d 2 , 2 1
x x x x x c c x x
− + − = = = + ∈ = − +
∫ ∫ ∫ ℝ
( )
x x c c c c x
− = − + ∈ ℝ = − + ∈ℝ
3 2 3 2
sin 2 3 2sin 2 3 d d cos 2 , cos 2 2 3 cos 2 2
x x x x x c c x x
∫ = −^ ∫ = −^ +^ ∈ℝ
Pág. 107
7. (^) ∫ a t ( )d t = (^) ∫ 5d t = 5 t + c c , ∈ℝ
Por outro lado, v t ( ) = 5 t + c c , ∈ ℝ e como v ( 8 )= 30
tem-se que:
5 × 8 + c = 30 ⇔ 40 + c = 30 ⇔ c = − 10
Portanto, v t ( ) = 5 t − 10.
∫ v t^ (^^ )^ d^ t^ =^ ∫ (^5 t^ −^ 10 d)^ t^ =^ ∫ 5 d t^^ t^ −^ ∫10d t =
2 5 dt 10 1dt 5 10 , 2
t = (^) ∫ t − (^) ∫ = × − t + c c ∈ℝ
Logo, ( )
2 5 10 , 2
t
p t = − t + c c ∈ ℝ e como p ( 8 ) = 60 , vem:
2 5 8 8 60 10 8 60 2
p c
×
= ⇔ − × + = ⇔
⇔ 160 − 80 + c = 60 ⇔ c = − 20
Logo, ( )
2 5 10 20 2
t p t = − t −.
8.1. A aceleração automóvel, a t ( )é dada por a t ( ) = v ′( ) t.
Assim, (^) ( ) (^) ( )
2 v t 0,5 t 4 t t 4
Portanto, a t ( ) = t + 4.
8.2. A posição do automóvel relativamente ao ponto de partida é
dada por
p t ( (^) ) = (^) ∫ v t ( )dt
Assim,
( ) ( ) (^) ( )
2 p t = (^) ∫ v t d t = (^) ∫0,5 t + 4 t d t =
2 = 0,5 t d t + 4 t d t = ∫ ∫
3 2 0,5 4 , 3 2
t t = + + c c ∈ ℝ=
3 2 2 , 6
t = + t + c c ∈ ℝ
A distância pedida é dada por p ( 3 ) − p ( 1 ).
Logo,
3 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 6 6
p p c c
= + + c − − − c =
A distância pedida é
metros.
9.1. (^) ( )
2 2 ∫ 3 x^ −^5 x^ +^ 2 d^ x^ =^3 ∫ x^ d^ x^ −^5 ∫ x x d^^ +^ 2 1 d∫ x =
1 3 1 2 3 5 2 , 3 1 1 2
= × − × + × + ∈ =
x x x c c
3 2 3 5 2 , 3
2
= − × + + ∈ ℝ=
x x x c c
= x − x x + x + c c ∈ ℝ=
= x − x x + x + c c ∈ ℝ
1 (^2 ) 2
d d 2 d 3 d 2 2
−^ −
−^ +^ =^ −^ +^ =
∫ x^ ∫ x^ ∫ x^ x^ ∫ x^ x x x (^) x x
1 (^1 1 ) ln 2 1 3 2 , 2
− ^
x x x c c ℝ
ln 6 , 2
x x c c x
9.3. (^) ( )
3e ln 2 d 3 e d 8 d ln 2 1d
+^ +^ =^ +^ +^ =
∫ ∫ ∫ ∫
x x x x x x x x
= 3e + 8ln + (^) ( ln (^2) ) + , ∈ ℝ
x x x c c
2 6 d 2 2 6 d 2 6 , 2 2 6
∫ x^ +^^ x^ =^ ∫ x^ +^ x^ =^ ×^ x^ x^ +^ +^ c c ∈^ ℝ=
= x + + c c ∈ ℝ
e d 6 e d e , 6 6
− − − ∫ = −^ ∫ −^ = −^ +^ ∈ℝ
x x x x x x x c c
4 4 4
5 5 5
d 2 d d 1 1 5 1
∫ (^) + ∫ (^) + ∫ +
x x x x x x x x x
(^2 ) ln 1 , 5
= x + + c c ∈ ℝ
2ln ln 1 d = 2 d = 2 ln d = ∫ ∫ ∫
x x x x x x x x x
2 ln 2 2 , ln , 2
= × + ∈ ℝ = + ∈ℝ
x c c x c c
e d 2 e d e , 2 2
∫ ∫
x x x x x x x c c
3 3 3
4 2 4 2 4 2
d d 5 d 6 2 6 2 6
∫ ∫ ∫
x x x x x x x x x x x x x x x
= 5 x^4^ − x^2 + 6 + c c , ∈ ℝ
2 ∫ sin^ x^ cos^ x^ d^ x =
2 2 = (^) ∫ − − sin x cos x d x = − (^) ∫−sin x 3cos x d x =
3 cos , 3
x c c
3 (^1 ) 2
3 d 3 d , 3
2
∫ +^ =^ ∫ +^ =^ +^ ∈^ ℝ=
x x x x x c c
= x + + c c ∈ ℝ
1 2sin 2 1 tan 2 d d ln cos 2 , 2 cos 2 2
∫ = −^ ∫ = −^ +^ ∈ℝ
x x x x x c c x
Ficha para praticar 20
Pág. 108
3 2 3 3 (^2 )
1 1
d 3 − 3 3 3 3 3 −
^ −
^ ^ ^
∫
t t t
1.2. (^) ( )
3 2 3 (^2 2 2 )
0 0
5 2 d 2 0 3 3
×
∫
t t t t t
1.3. (^) ( )
4 3 1 (^1 3 )
2 1
2 3 d 3 − (^4 3) −
∫
t t t t t t
4 3 4 3 1 2 1 2 2 2 3 1 3 2 4 3 4 3
× ^ ^ − −
= − + × − − + × − =
3 4 2 2 2
1 1
d 2 2 8 2 2
−^ +^ =^ −^ +^ =
∫
t t t t t t
4 2 4 2 2 2 2 1 1 1
8 2 2 8 2 2
1.5. (^) ( ) ( )
e^2 e^2 2 4 2 e (^2) e
d ln 1 ln e 1 ln e 1 1
= ^ + = + − + =
∫
t t t t
4
2
e 1 ln e 1
4 ln 4 4 ln 4 0 ln 4^4 ln 4 (^4)
0 0
e e e e 1 e d 4 4 4 4 4
∫
t t t
4 4 1 255
4 4 4
1.7. (^) ( ) ( )( )
ln 2 ln 2 (^) ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
ln 2 ln 2
e e d e e e e e e
− − − − − −
+ = ^ − = − − =
∫
t t t t t
1.8. ( ) [ ( )]
π π 3 3 π π 3 3
π π 2sin d 2cos 2cos 2cos − − 3 3
^
∫ t^ t^ t
1 π 1 2 2cos 1 2 1 1 0 2 3 2
= − × + = − + × = − + =
π π (^3) 3 π 6 π 6
π 2π sin 2 sin sin 2 (^3 ) cos 2 d − (^2) − 2 2
∫
t t t
2π π (^3 ) sin sin (^3 3 2 )
2 2 2 2
−^ −
1.10. [ ]
2 2
e (^) e 1 1 e e
∫ d^ t^ =^ 3ln^ t^ ,^ t >^0 = t
( ) (^ )
2 2
3ln e 3ln 3 1 3ln e 3 3 2 9 e
= − = × − = − × − =
1.11. (^) ( ) ( ) ( ( ))
0 2 0
(^3 )
d 2ln 9 2ln 9 2ln 18 − (^9) −
= ^ + = − =
∫ (^) +
t t t t
2ln 9 2ln18 2 ln 9 ln18 2ln ln 18 2
2 1 1 ln ln ln 4 2 4
Ox e as retas de equações x = 0 e x = ln 3é igual a
2 + ln 3u.a..
(^3 )
1 1
e (^) e
e e
d ln 1 1
− =^ ^ +^ −=
∫ x^ x x
( ) ( )
3 3 1 1
e 1 ln e 1 ln e 1 ln e 1
− −
Geometricamente, significa que a medida da área da região
do plano delimitada pelo gráfico de f , o eixo Ox e as retas
de equações
1 x e
− = e
3 x = eé igual a
3
1
e 1 ln e 1
−
3. A área pedida, A , é dada por:
( )
3 1 (^1 )
2 2
9 d 9 − (^3) −
∫
x A x x x
3 1 2 26 8 9 9 2 18 3 3 3 3
^ −
= − + − − + × − = − − =
^
A medida da área pedida é igual a 24 u.a..
4. A área pedida, A , é dada por:
[ ]
5π 5π 4 4 π π 6 6
5π π sin d cos cos cos 4 6
A (^) ∫ x x x
A medida da área pedida é igual a
u.a..
Pág. 110
2 3 3 3
2 2 2
d 3 2 d 3 2 2
∫ ∫
x f x x x x x
2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2
= − × + × − − × + × =
Geometricamente, significa que o simétrico do integral
3
2 ∫ f^ x dxé igual à medida da área da região do plano
delimitada pelo gráfico de f , pelo eixo Ox e pelas retas de
equações x = 2 e x = 3 , ou seja, essa área é igual a
dx 2
− (^) ∫ f x =.
6. Seja A a medida da área pedida.
π 5π 3 4 π (^) π 4
A = (^) ∫ cos x d x − (^) ∫ cos x d x =
[ ] [ ]
π (^) 5π (^3 ) π (^) π 4
= sin x − sin x =
π π 5π sin sin sin sin π 3 4 4
Portanto, a medida da área da região do plano representada a
sombreada é igual a
u.a..
7.1. (^) ( )
3 0 3 3 (^0 2 2 )
2 2
2 d 0 2 − (^3) − 3 3
^ −
∫
x x x x
e (^) e
1 1
d x ln x ln e ln1 1 0 1 x
−^ =^ ^ −^ = −^ − −^ = −^ +^ = −
∫
2 1 2
2 2 1
1 d 1 d 1 d
−
− − − ∫ x^^ +^ x^ =^ ∫ −^ x^ −^ x^ +^ ∫ x^ +^ x =
2 1 2 2
2 1
−
− −
x x x x
2 2 1 2 1 2 2 2
2 2 2 1 2 1 2 2
^ −
+ + − ^ + − =
2 2 2
3 3 2
2 4 d 2 4 d 2 4 d
−
− − − ∫ x^^ +^ x^ =^ ∫ −^ x^ −^ x^ +^ ∫ x^ +^ x =
2 2 2 2 3 2
x 4 x x 4 x
−
− −
( (^ )^ (^ )) ( (^ )^ (^ ))
2 2 = − − 2 − 4 × − 2 − − × − 3 3 − 4 × − 3 +
( ) ( (^ )^ (^ ))
2 2
- ^2 + 4 × 2 − − 2 + 4 − 2 =
7.5. (^) ( )
5 2 5
2 2 2
d ln 1 4
x x x x
= ^ + =
∫
( ) (^) ( ( ) )
2 2 = ln 5 + − 1 ln 2 + 1 =
ln 6 ln 3 ln ln 2 3
4 3 4
2 2 3 ∫ x^ −^ 3 d^ x^ =^ ∫ −^ x^ +^ 3 d^ x^ +^ ∫ x^ −^ 3 d x =
2 3 2 4
2 3
x x x x
2 2 2 2 3 2 4 3 3 3 3 2 3 4 3 3 2 2 2 2
^
= − + × − − + × + − × − − × =
7.7. (^) ( ) ( )
(^2 2 1 2 )
1 1 1
1 d 1 d 1 d − − ∫ −^ x^ +^ x^ =^ ∫ −^ x^ +^ x^ +^ ∫ x^ −^ x =
3 1 3 2
x x x x
3 3 3 3 1 1 2 1 1 1 2 1 3 3 3 3
^ −
^
π π 2 π 2 4 2 4 4 0 0 2 0 2
sin 1 cos tan d d d cos cos
∫ ∫ ∫
x x x x x x x x
[ ]
π (^) π (^4 ) 0 2 0
1 dx tan cos
∫
x x x
( ( ) )
π π π π tan tan 0 0 1 0 1 4 4 4 4
8. Determinemos as abcissas dos pontos do gráfico de f que
têm ordenada nula.
( ) (^) ( )
3 2 2 f x = 0 ⇔ x − 3 x + 2 x = 0 ⇔ x x − 3 x + 2 = 0 ⇔
2 ⇔ x = 0 ∨ x − 3 x + 2 = 0 ⇔
x x
x x x
± − × ×
1 2
0 1 ∫ f^ x^^ d^ x^ −^ ∫ f^ x^ d x =
( ) ( )
(^1 3 2 23 )
0 1
= (^) ∫ x − 3 x + 2 d x − (^) ∫ x − 3 x + 2 x d x =
4 3 2 1 4 3 22
0 1
x x x x x x
4 1 4 2 3 2 3 2
(^4 0 )
x x x x x x
4 1 0 2 3 2 1 1 1 0 0 2 2 1 1 4 4 4 4
^ ^
A medida da área pedida é igual a
u.a..
Pág. 111
0
− 0 = (^) ∫ d=
t P t P v t t
0
= (^) ∫ 2 − 0,8 d=
t t t
2
0
t t t
2 0
t t t
( ) ( )
2 2 = 2 t − 0, 4 t − 2 × 0 − 0, 4 × 0 =
2 = 2 t −0,4 t
Assim,
2 2 P t − P 0 (^) = 2 t − 0,4 t ⇔ P t = −0, 4 t + 2 t + P 0
Como P ( 0 )=2,2m, vem que ( )
2 p t = − 0,4 t + 2 t + 2,2é a
função variação do ponto material P.
10.1. a ( 6 ) = 4 × 6 − 1 = 23
No instante t = 6 a partícula desloca-se com uma aceleração
de
2 23 m/s.
0
− = (^) ∫ d=
t v t v a t t
0
= 4 − 1 d= ∫
t t t
2 2 0 0
t t t t t t
= − = ^ − =
( ) ( )
2 2 = 2 t − t − 2 × 0 − 0 =
2 = 2 t − t
Assim,
2 2 v t − v 0 (^) = 2 t − t ⇔ v t = 2 t − t + v 0
Como v ( 2 )= 26 , vem que:
2 v 2 = 26 ⇔ 2 × 2 − 2 + v 0 = 26 ⇔
⇔ 8 − 2 + v 0 (^) = 26 ⇔ v 0 = 20
Portanto, ( )
2 v t = 2 t − t + 20
Logo, ( ) ( ) ( )
2 v 6 = 2 × 6 − 6 + 20 ⇔ v 6 = 72 + 14 ⇔ v 6 = 86.
No instante t = 6 a partícula desloca-se a uma velocidade de
86 m/s.
0
− = (^) ∫ d=
t s t s v t t
3 2 2 0 0
2 20 d 20 3 2
t t (^) t t t t t t
∫
3 2 3 2 2 2 0 0 20 20 0 3 2 3 2
×
= − + − − + × =
t t t
3 2 2 20 3 2
t t = − + t
Assim, ( )
3 2
0
t t s t − s = − + t
Como s 0 = 0 , vem que ( )
3 2 2 20 3 2
t t s t t é a função
posição desta partícula.
Por outro lado, pretende-se determinar a posição desta
partícula no instante t = 6 , logo,
3 2 2 6 6 6 20 6 6 246 3 2
s s
×
= − + × ⇔ =.
No instante t = 6 a partícula encontrava-se a 246 m do ponto
em que se encontrava no instante t = 0.
11.1. Ponto A : g ( x ) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 , portanto,
A ( 2 , 0)
Ponto B : (^) ( ) ( ) (^) ( ) ( )
(^2 ) f x = g x ⇔ x = x − 2 ⇒ x = x − 2 ⇔
2 2 ⇔ x = x − 4 x + 4 ⇔ x − 5 x + 4 = 0 ⇔
± − ×
⇔ x = ⇔
⇔ x = 1 ∨ x = 4
Sabemos que v ( 2 ) = 18 , logo,
18 − v 0 (^) = 6 × 2 ⇔ 18 − 12 = v 0 (^) ⇔ v 0 = 6.
v t ( ) = 6 t + 6
Como P se encontra no instante t = 0 na origem, a função
posição, em função do tempo, é dada por:
2 2 6 6 0 3 6 2
t s t = × + t + ⇔ s t = t + t
2 5 25 5 6 6 5 0 6 30 75 30 105 2 2
s = × − × + = × + = + =
A posição que o ponto P ocupa ao fim de 5 segundos é de
105 unidades de comprimento.
Resposta: (B)
5. (^) ( ) ( ) ( )
(^2 ) 3 2 6 0
cos d 2 cos 0 2 cos
∫
x t t x x x x
Resposta: (C)
Pág. 113
4 5 2 2 π d 10
−^ +^ −^ +^ =
∫
x x x x
d d 2 d π 1 d 10
= − (^) ∫ x x + (^) ∫ x x − (^) ∫ x x + (^) ∫ x =
6 5 3 1 2 π , 6 10 5 3
= − + × − × + + ∈ ℝ=
x x x x c c
6 5 (^2 ) π , 6 50 3
x x = − + − x + x + c c ∈ ℝ
2 2
3 3 3
d d d
∫ =^ ∫ −^ ∫ =
x x x x x x x x x x
1 2 2 2 1 1 1 3 2 3 1 1 3 3
d d d d
− − = (^) ∫ − (^) ∫ = (^) ∫ − (^) ∫ =
x x x x x x x x
x x 5 1 5 1 1 1 3 6 (^3) d 6 d , 5 1 1 1 3 6
= − = − + ∈ =
∫ ∫
x x x x x x c c
8 7 3 6 (^3 2 32 ) , , (^8 7 8 )
3 6
x x = − + c c ∈ ℝ = x x − x x + c c ∈ℝ
3 3 4 4 4
d d ln 2 , 2 2 2 2
∫ ∫
x x x x x c c x x
( )
ln 2 , 2
= x + + c c ∈ ℝ
5 5 e 1 5 1 1 5 e d e d 5e d , 15 15 15 5 75
= = × = + ∈
∫ ∫ ∫
x x x x x x x c c
7.1. (^) ( ) ( )
ln 1 1 ln^1 2 2 2 ln 1 ln 1 ln^1 8 8 8
2e e d 2 e e d 2 e e
− − − ∫ +^ =^ ∫ +^ =^ ^ −^ =
t t t t t t t t
1 1 1 1 ln ln ln ln 2 e 2 e 2 e 8 e^8
1 ln 2 (^1) ln 8 2 e e 2 8
^ ^ ^
e^2 e 2 e^2
e e e
d 2 d 2 d ln ln ln
∫ t^^ =^ ∫ t^ =^ ∫ t t = t t t t t
( ) (^) ( ) ( )
e^2 2 e
= 2 ln ln = 2 ln ln e^ − ln ln e=
t
= 2 ln 2 ( − ln1) = 2ln 2 − 0 =
2 = ln 2 =ln 4
8. Determinemos as abcissas dos pontos de interseção dos dois
gráficos.
2 2 f x = g x ⇔ x − 2 x = − x + 4 ⇔
2 2 ⇔ 2 x − 2 x − 4 = 0 ⇔ x − x − 2 = 0 ⇔
⇔ x = ⇔ x = ∨ x = ⇔
⇔ x = 2 ∨ x = − 1
Assim, a medida da área pedida pode ser dada por:
( ) ( ) ( ) ( )
(^2 2 2 )
1 1
d 4 2 d − −
− = ^ − + − − =
∫ g^ x^ f^ x^ x^ ∫ x^ x^ x^ x
( )
2 (^2 2 3 )
1 1
2 2 4 d 4 − (^3) −
∫
x x x x x x
= − × + + × − − × − + − + × − =
Portanto, a medida da área da região do plano representada a
sombreado é igual a 9 u.a..
9. Determina-se as abcissas dos pontos de interseção dos
gráficos de f e de g.
2 2 f x = g x ⇔ x = x + 6 ⇔ x − x − 6 = 0 ⇔
± − × − + −
⇔ x = ⇔ x = ∨ x = ⇔
⇔ x = 3 ∨ x = − 2
Assim, a medida da área pedida é dada por:
3 5
2 3
d d − ∫ ^ g^ x^ −^ f^ x^ ^ x^ +^ ∫^ f^ x^ −^ g^ x^ ^ x =
(^3 2 )
2 3
6 6 d −
∫ (^) ∫ x x dx x x x
2 3 3 3 2 5
2 3
−
x x x x x x
Portanto, a medida da área da região do plano representado a
sombreado é igual a
u.a..
