Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos: Aplicação em Biologia, Química e Física, Esquemas de Equações Diferenciais

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Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos

Suene Campos Duarte Período: 2023.

Disciplina: Equações Diferenciais

10 de Julho de 2023

Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos

Apresentaremos a noção de equações diferenciais como modelos matemáticos e apresentaremos alguns modelos específicos em biologia, química e física.

Definição 1 (Modelo Matemático):

A descrição matemática de um sistema ou fenômeno é chamado de modelo mate- mático e este é construído de a partir de dois fatores: Identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos optar por não incorporar todas as variáveis no modelo. Nessa etapa estamos especificando o nível de resolução do modelo. Elaboração de um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer leis empíricas aplicáveis ao sistema.

Equações Diferenciais como Modelos

Matemáticos: Objeto em Queda

Hipóteses e pressuposições sobre o sistema: A velocidade é positiva quando o sentido do movimento é para baixo. A força líquida que age no sistema é F = F 1 + F 2 = mg − kv F = ma (Segunda lei de Newton) F 1 = mg (Peso) F 2 = −kv (Força da resistência do ar)

Equações Diferenciais como Modelos

Matemáticos: Objeto em Queda

Escrevendo F = ma = m dv dt

, obte- mos a equação diferencial de pri- meira ordem para a velocidade v(t) do corpo no instante t,

m

dv dt

= mg − kv (1)

Equações Diferenciais como Modelos

Matemáticos: Dinâmica Populacional

Hipótese (Modelo Malthusiano): A taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante.

Variáveis: t=tempo P (t)=população total do instante t k=constante de proporcionalidade

dP dt

= kP (4)

Equações Diferenciais como Modelos

Matemáticos: Lei de Newton do

Esfriamento/Aquecimento

Hipótese (Lei empírica de Newton do Esfriamento/Aquecimento): A taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.

Variáveis: t=tempo T (t)= temperatura do corpo no instante t Tm= temperatura do ambiente no instante t dT dt

= Taxa de variação da temperatura do corpo k=constante de proporcionalidade Segue então uma EDO de primeira ordem: dT dt

= k(T − Tm) (5)

Equações Diferenciais de Primeira Ordem:

Curvas Integrais sem Solução

Vamos verificar como obter informações de uma EDO de primeira ordem sem resolvê-la analiticamente. Existem duas formas qualitativas de análise, ambas possibilitam a determinação aproximada da curva que uma solução deve apre- sentar.

Campos Direcionais Uma solução y = y(x) de uma EDO dy dx

= f (x, y) (6)

é uma função diferenciável em seu intervalo de definição I. Portanto, y = y(x) é contínua em I. Segue portanto as seguintes características da curva integral: Não deve ter interrupções em I Deve ter uma reta tangente em cada ponto (x, f (x))

Equações Diferenciais de Primeira Ordem:

Curvas Integrais sem Solução

Pelo que vimos nos cursos anteriores, devemos lembrar que na equação

dy dx

= f (x, y) (7)

a função f representa a taxa de variação.

Desse modo:

A inclinação da reta tangente sobre uma curva integral é o valor da sua primeira derivada dy dx

nesse ponto. Portanto, podemos considerar f (x, y(x)) como uma função inclinação.

Equações Diferenciais de Primeira Ordem:

Curvas Integrais sem Solução

Exemplo 1: Considere a equação y′^ = 0. 2 xy, dado o ponto P ( 2 , 3 ), qual a inclinação linear em P?

Equações Diferenciais de Primeira Ordem:

Curvas Integrais sem Solução

Exemplo 2: Campos direcional gerado computacionalmente da equação y′^ = sin(x + y) .

Figura: Campo direcional e curvas solução para y′^ = sin(x + y)

Equações Diferenciais de Primeira Ordem:

Curvas Integrais sem Solução

Exemplo 4 (Ratos do Campo e Corujas): Especificamente, suponhamos que o tempo é medido em meses e que a taxa r tem o valor de 0. 5 por mês. Então cada uma da EDO tem unidades de ratos por mês. Vamos aumentar o problema supondo que diversas corujas moram na mesma vizinhaça e que elas matam 15 ratos do campo por dia. Para incorporar essa informação no modelo precisamos escrever:

dp dt

= 0. 5 p − 450

(continua)

Equações Diferenciais de Primeira Ordem:

Curvas Integrais sem Solução

Exemplo 4 (Ratos do Campo e Corujas): A figura mostra um campo direcional para o problema. Para valores suficiente- mente grandes de p, dp/dt é positivo, de modo que a solução cresce. Por outro lado, se p é pequeno, dp/dt é negativo e a solução diminui. Fazendo dp/dt = 0 , encontramos p(t) = 900 , onde encontramos os equilíbrio.